5семестр / типовой_расчет
.pdf
Исходные данные:
(1)
1 Построение математической модели описания САР в форме структурной схемы
Преобразуем левые и правые части уравнений исходной системы (1) по Лапласу с учетом, что все переменные при t<0 равны нулю:
а) δ(p)=X(p)-Y(p)
б) |
X1(p)=50δ(p) |
|
в) |
0,05p2 X2(p)+0,6p X2(p)+ X2(p)=100 X1(p) |
(2) |
г) |
X3(p)=X2(p)+F(p) |
|
д) |
p2Y(p)+pY(p)=0,1X3(p) |
|
Представим каждое уравнение системы (2) типовыми соотношениями элементов структурной схемы САР:
а) |
δ(p)=X(p)-Y(p) |
б) |
X1 (p)= 50δ(p)=W1(p)δ(p) |
в) |
(3) |
г) |
X3 (p)= X2 (p)+F(p) |
д) |
|
Отобразим каждое из уравнений системы (3) соответствующим элементом структурной схемы. В результате получим структурную схему исходной системы
(рис. 1).
2 Преобразование структурной схемы к одноконтурному виду
Преобразование структурной схемы к одноконтурному виду не требуется, так как полученная схема имеет одноконтурный вид.
3 Определение передаточной функции и выражения для частотных характеристик разомкнутой системы: амплитудно-фазовой, амплитудно-частотной и фазо-частотной
По структурной схеме (рис. 1) найдем передаточную функцию разомкнутой системы как произведение всех звеньев, входящих в замкнутый контур: Wр(p)=W1(p)W2(p)W3(p) (4)
Подставим в выражение (4) выражения передаточных функций из соотношений
(3) и преобразуем полученное выражение к дробно-рациональному виду:
(5)
Найдем из выражения (5) выражения для АФХ, АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы:
2
4 Построение ожидаемых асимптотической логарифмической амплитудно-частотной и логарифмической фазо-частотной, а также амплитудно-фазовой характеристик разомкнутой системы
Выражение для ЛАЧХ имеет вид:
Найдем сопрягающие частоты:
Запишем выражения для асимптотической ЛАЧХ L в различных диапазонах частот.
1)
2)
3)
4)
Асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ представлены на рис.2.
Определим значения A(ω), φ(ω) при ω → 0 и при ω → ∞:
при ω → 0: A(ω) → ∞, φ(ω) → - π/2;
при ω → ∞: A(ω) → 0, φ(ω) → - 2π.
3
На рис.3 Приложения представлен ожидаемый характер изменения АФХ.
5 Построение точной логарифмической амплитудно-частотной и точной логарифмической фазо-частотной, а также точной амплитуднофазовой характеристик разомкнутой системы с помощью стандартного ППП
Построим точные характеристики с помощью ППП Mathcad. Для этого запишем формулы для АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ:
A(w) := |
|
|
500 |
|
|
w |
w2 + 1 0.25 w2 + 1 0.01 w2 + 1 |
||
|
|
|||
fi(w) := |
−π |
− atan(w) − atan(0.1 w) − atan(0.5 w) |
||
|
2 |
|
|
|
L(w) := 20 log(A(w))
Точные ЛАЧХ, ЛФЧХ, АФХ приведены на рис. 4, 5, 6 соответственно. Общий вид ожидаемых и точных частотных характеристик совпал.
6 Определение для замкнутой системы запаса по фазе, запаса по модулю, предельного коэффициента усиления по частотным характеристикам разомкнутой ЛАЧХ
Рассмотрим ЛАЧХ на участке от ω = 1 c-1 до ω = 10 c-1 (рис. 7), чтобы определить искомые величины более точно.
ЛАЧХ пересекает ось частот при ω = 9 c-1, следовательно, частота среза ωср = 9 c-1. По графику ЛФЧХ (рис. 7) видно, что φ(ωср) = -290°.
Запас по фазе γ = 180° + φ(ωср) = 180 - 290 = -110°.
γ < 0, следовательно, САР неустойчива.
4
Ограничим график ЛФЧХ снизу прямой φ = -π (φ = -180°), чтобы определить искомые величины более точно (рис. 8).
ЛФЧХ пересекает прямую φ = -180° при ω = 1,2 c-1, следовательно, ωπ = 1,2 c-1.
Значение ЛАЧХ на частоте ωπ: L(ωπ) = 47 дБ. L = 20lg β = - 20lg A(ωπ) = - L(ωπ) = - 47 дБ.
Запас по модулю β = 10 L/20 = 20-47/20 = 0,0045.
Предельное значение коэффициента усиления Кпр = K × 1/A(ωπ) = K×β. Коэффициент усиления разомкнутой САР определим из выражения (5) пункта 3: K = 500
Следовательно, Кпр = 500 × 0,0045 = 2,25.
7 Определение Кпр с помощью алгебраического критерия устойчивости Гурвица
Составим характеристическое уравнение замкнутой системы, просуммировав полиномы числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы и приравняв сумму к нулю:
p(p+1)(0,5p+1)(0,1p+1) + K = 0 0,05p4 + 0,65p3 + 1,6p2 + p + K = 0
Для системы 4-го порядка с характеристическим уравнением вида:
d0 p4 + d1 p3 + d2 p2 + d3 p + d4 = 0 необходимым и достаточным условием устойчивости по Гурвицу является выполнение следующих требований:
а) d0 > 0, d1 > 0, d2 > 0, d3 > 0, d4 > 0; б) d3 (d1d2 – d0d3) – d12d4 > 0.
С учетом, что рассматривается только положительное значение К, требование а) выполняется. Соотношение б) приводит к требованию выполнения неравенства: 1× (0,65×1,6 - 0,05×1) - 0,652×K > 0
5
0,99 - 0,652×K > 0 K < 2,3
Kпр = 2,3
Сравнив значение Kпр = 2,3 с полученным в п.6 (Kпр = 2,25), можем сделать вывод, что они практически совпадают.
8 Определим передаточную функцию ошибки по управляющему воздействию x(t) - Wδ(p) и передаточную функцию ошибки по возмущению – Wf(p) по структурной схеме рис.1
Найдем статическую ошибку по управляющему воздействию ст с использованием теоремы о предельном значении функции:
Аналогично найдем статическую ошибку по возмущению f:
Найдем кинетическую ошибку кин:
6
Для определения динамической ошибки по амплитуде дин по ЛАЧХ (рис. 4)
найдем L(ω0), где ω0 = 0,1ωср = 0,9 с-1: L(0,9) = 20lgA (0,9) = 51 дБ. Следовательно, A(0,9) = 354,8.
Значение дин определяем при a = 1:
7
Приложение
Рис. 1 – Структурная схема системы автоматического регулирования
8
Рис. 2 – Асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ
9
Рис. 3 – АФХ
10