metod_tr
.pdf
ОТЧЁТ по расчётно-графической работе
по дисциплине «МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ»
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
Составить модель оптимального выпуска продукции для цеха кондитерской фабрики. Виды выпускаемой продукции (M), виды основного сырья (П) и его запасы, нормы расхода сырья на единицу, уровни прибыли приведены в таблице. Рассчитать план и провести его анализ.
Виды сырья |
Расходы сырья на единицу продукции |
Общий запас |
|||
сырья, ед. |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
M1 |
M2 |
M3 |
|
|
П1 |
2 |
4 |
3 |
266 |
|
П2 |
1 |
3 |
4 |
200 |
|
П3 |
3 |
2 |
1 |
303 |
|
Уровень прибыли |
20 |
24 |
28 |
|
|
на ед. продукции |
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Составим математическую модель задачи. Для этого введем переменные, которые требуется определить:
x1 — количество выпускаемой продукции вида M1, x2 — количество выпускаемой продукции вида M2, x3 — количество выпускаемой продукции вида M3.
Система ограничений устанавливает, что общий запас сырья не должен быть превышен. Ограничение количества сырья вида П1:
2x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 266
Ограничение количества сырья вида П2:
x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 200
Ограничение количества сырья вида П3: 3x1 + 2x2 + x3 ≤ 303
Все переменные в задаче неотрицательные (количество выпускаемой продукции не может быть отрицательным):
x1 , x2 , x3 ≥ 0
Целевая функция в задаче выражает суммарную прибыль, ее надо максимизировать:
Е = 20x1 + 24x2 + 28x3 → max
Таким образом, формальная постановка задачи имеет вид:
2x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 266 x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 200 3x1 + 2x2 + x3 ≤ 303 x1 , x2 , x3 ≥ 0
Е = 20x1 + 24x2 + 28x3 → max
Для решения задачи воспользуемся симплекс-методом, так как этот метод предназначен для решения задач линейного программирования любой размерности.
3.СИМПЛЕКС-МЕТОД
3.1ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ К СТАНДАРТНОЙ ФОРМЕ
Для приведения задачи к стандартной форме необходимо ввести дополнительные балансовые неотрицательные переменные x4 , x5 , x6 :
Е = 20x1 + 24x2 + 28x3 → max 2x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 266
x1 + 3x2 + 4x3 + x5 = 200 3x1 + 2x2 + x3 + x6 = 303 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0
Здесь x4 , x5 , x6 — остаточные переменные.
3.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО ДОПУСТИМОГО РЕШЕНИЯ
Каждая из переменных x4 , x5 , x6 входит в уравнение с коэффициентом 1 и не входит в другие уравнения, x4 , x5 , x6 — базисные переменные.
x4 = 266 - 2x1 - 4x2 - 3x3 x5 = 200 - x1 - 3x2 - 4x3 x6 = 303 - 3x1 - 2x2 - x3
Начальное допустимое решение: (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) = (0, 0, 0, 266, 200, 303), при нем целевая функция Е = 0.
Составим симплекс-таблицу №1 для начального допустимого решения:
Симплекс-таблица №1
БП |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
БР |
Е |
-20 |
-24 |
-28 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
2 |
4 |
3 |
1 |
0 |
0 |
266 |
x5 |
1 |
3 |
4 |
0 |
1 |
0 |
200 |
x6 |
3 |
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
303 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3 ИТЕРАЦИОННАЯ ПРОЦЕДУРА СИМПЛЕКС-МЕТОДА
Начальное допустимое решение не является оптимальным — в строке с целевой функцией есть отрицательные переменные.
Поэтому осуществляем следующие действия:
по строке с Е определим наибольшее по модулю отрицательное значение: max(|-20|, |-24|, |-28|) = 28
Столбец x3 — ведущий.
2
Определим по столбцу x3 симплексные отношения: x4 (266 / 3 ≈ 88,7)
x5 (200 / 4 = 50) x6 (303 / 1 = 303)
Определим ведущую строку по минимальному из полученных значений: min(88,7; 50; 303) = 50
Строка x5 — ведущая.
Внесем x3 в базис вместо x5 и пересчитаем коэффициенты симплекс-таблицы:
x3 = 50 - 1/4×x1 - 3/4×x2 - 1/4×x5
x4 = 266 - 2x1 - 4x2 - 3x3 = 266 - 2x1 - 4x2 - 3×(50 - 1/4×x1 - 3/4×x2 - 1/4×x5) = 116 - 5/4×x1 - - 7/4×x2 + 3/4×x5
x6 = 303 - 3x1 - 2x2 - x3 = 303 - 3x1 - 2x2 - (50 - 1/4×x1 - 3/4×x2 - 1/4×x5) = 253 - 11/4×x1 - 5/4×x2 + + 1/4×x5
E = 20x1 + 24x2 + 28x3 = 20x1 + 24x2 + 28×(50 – 1/4×x1 – 3/4×x2 – 1/4×x5) = 1400 +13x1 + 3x2 + + 7x5
Составим новую симплекс-таблицу №2:
Симплекс-таблица №2
БП |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
БР |
Е |
-13 |
-3 |
0 |
0 |
7 |
0 |
1400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
5/4 |
7/4 |
0 |
1 |
-3/4 |
0 |
116 |
x3 |
1/4 |
3/4 |
1 |
0 |
1/4 |
0 |
50 |
x6 |
11/4 |
5/4 |
0 |
0 |
-1/4 |
1 |
253 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение не является оптимальным, так как в строке с целевой функцией есть отрицательные переменные.
Поэтому осуществляем следующие действия:
по строке с Е определим наибольшее по модулю отрицательное значение: max(|-13|, |-3|) = 13
Столбец x1 — ведущий.
Определим по столбцу x1 симплексные отношения: x4 (116 / (5/4) = 92,8)
x3 (50 / (1/4) = 200) x6 (253 / (11/4) = 92)
Определим ведущую строку по минимальному из полученных значений: min(92,8; 200; 92) = 92
Строка x6 — ведущая.
Внесем x1 в базис вместо x6 и пересчитаем коэффициенты симплекс-таблицы:
x1 = 92 - 5/11×x2 + 1/11×x5 - 4/11×x6
x3 = 50 - 1/4×x1 - 3/4×x2 - 1/4×x5 = 50 - 1/4×(92 - 5/11×x2 + 1/11×x5 - 4/11×x6) - 3/4×x2 - 1/4×x5 = = 27 - 7/11×x2 - 3/11×x5 +1/11×x6
3
x4 = 116 - 5/4×x1 - 7/4×x2 + 3/4×x5 = 116 - 5/4×(92 - 5/11×x2 + 1/11×x5 - 4/11×x6) - 7/4×x2 + + 3/4×x5 = 1 – 13/11×x2 + 7/11×x5 + 5/11×x6
E = 1400 +13x1 + 3x2 + 7x5 = 1400 +13×(92 - 5/11×x2 + 1/11×x5 - 4/11×x6) + 3x2 + 7x5 = 2596 – - 32/11×x2 - 64/11×x5 - 52/11×x6
Составим новую симплекс-таблицу №3:
Симплекс-таблица №3
БП |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
БР |
Е |
0 |
32/11 |
0 |
0 |
64/11 |
52/11 |
2596 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
0 |
13/11 |
0 |
1 |
-7/11 |
-5/11 |
1 |
x3 |
0 |
7/11 |
1 |
0 |
3/11 |
-1/11 |
27 |
x1 |
1 |
5/11 |
0 |
0 |
-1/11 |
4/11 |
92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Все элементы строки Е неотрицательны, то есть критерий остановки итерационного процесса выполнен.
Оптимальный план состоит в том, чтобы:
-выпускалось 92 ед. продукции вида М1 (x1 = 92),
-выпускалось 27 ед. продукции вида М3 (x3 = 27),
-продукция вида М2 не выпускалась (x2 = 0),
-при этом суммарная прибыль будет максимальна и составит 2596.
4.АНАЛИЗ МОДЕЛИ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ
4.1 СТАТУС РЕСУРСОВ
По значениям остаточных переменных x4 , x5 , x6 из симплекс-таблицы №3 определим остатки ресурсов П1 , П2 и П3 в оптимальном плане.
Сырье П1 является недефицитным, его остаток положительный и составляет
x4 = 1 ед.
Сырье П2 является дефицитным (оно используется полностью), его остаток равен нулю
x5 = 0.
Сырье П3 является дефицитным (оно используется полностью), его остаток равен нулю x6 = 0.
4.2 ЦЕННОСТЬ РЕСУРСОВ
Ценность ресурсов проанализируем при помощи коэффициентов при остаточных переменных в строке Е симплекс-таблицы №3.
Для сырья П1 теневая цена равна 0, то есть изменение запасов данного сырья в пределах допустимых колебаний не изменит оптимальный план и оптимальное значение целевой функции.
Для сырья П2 теневая цена равна 64/11 ≈ 5,82, то есть рост запасов сырья П2 на 1 ед. увеличит
4
суммарную прибыль после пересчета оптимального плана на 5,82, а снижение запасов сырья П2 на 1 ед. снизит суммарную прибыль после пересчета оптимального плана на 5,82. Такая закономерность действует только в пределах допустимых колебаний.
Для сырья П3 теневая цена 52/11 ≈ 4,73, то есть рост запасов сырья П3 на 1 ед. увеличит суммарную прибыль после пересчета оптимального плана на 4,73, а снижение запасов сырья П3 на 1 ед. снизит суммарную прибыль после пересчета оптимального плана на 4,73. Такая закономерность действует только в пределах допустимых колебаний.
4.3 АНАЛИЗ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ К ИЗМЕНЕНИЯМ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ ОГРАНИЧЕНИЙ
Используя столбцы остаточных переменных симплекс-таблицы №3 и столбец БР, рассчитаем допустимые колебания запасов ресурсов, при которых базис оптимального решения сохраняется.
Пусть запас сырья вида П1 изменился на a. Из столбцов БР и x4:
x4 = 1 + 1×a > 0
Следовательно, a < 1.
То есть базис оптимального решения сохраняется до тех пор, пока изменение запасов сырья П1 будет удовлетворять неравенству: a < 1.
Пусть запас сырья вида П2 изменился на a. Из столбцов БР и x5:
x4 = 1 - 7/11×a > 0 x3 = 27 + 3/11×a > 0 x1 = 92 - 1/11×a > 0 E = 2596 + 64/11×a
Следовательно, -99 < a < 11/7.
То есть базис оптимального решения сохраняется до тех пор, пока изменение запасов сырья П2 будет находиться в интервале: -99 < a < 11/7.
Пусть запас сырья вида П3 изменился на a. Из столбцов БР и x6:
x4 = 1 - 5/11×a > 0 x3 = 27 - 1/11×a > 0 x1 = 92 + 4/11×a > 0 E = 2596 + 52/11×a
Следовательно, -253 < a < 11/5.
То есть базис оптимального решения сохраняется до тех пор, пока изменение запасов сырья П3 будет находиться в интервале: -253 < a < 11/5.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, решив задачу оптимизации, получаем оптимальный план выпуска продукции для цеха кондитерской фабрики, который состоит в том, чтобы выпускалось 92 ед. продукции вида М1 и 27 ед. продукции вида М3, а продукция вида М2 не выпускалась.
5
При этом суммарная прибыль будет максимальна и составит 2596.
Определение статуса применяемого для производства сырья показало, что сырье П1 является недефицитным; сырье П2 является дефицитным; сырье П3 является дефицитным.
Анализ симплекс-таблицы № 3 показал, что изменения запасов сырья П1 в пределах допустимых колебаний не изменят оптимальный план и оптимальное значение целевой функции.
Рост запасов сырья П2 на 1 ед. увеличит суммарную прибыль после пересчета оптимального плана на 5,82, а снижение запасов сырья П2 на 1 ед. снизит суммарную прибыль после пересчета оптимального плана на 5,82.
Рост запасов сырья П3 на 1 ед. увеличит суммарную прибыль после пересчета оптимального плана на 4,73, а снижение запасов сырья П3 на 1 ед. снизит суммарную прибыль после пересчета оптимального плана на 4,73.
Анализ на чувствительность к изменениям правых частей ограничений показал, что базис оптимального решения сохраняется до тех пор, пока:
-изменение запасов сырья П1 будет удовлетворять неравенству: a < 1,
-изменение запасов сырья П2 будет находиться в интервале: -99 < a < 11/7,
-изменение запасов сырья П3 будет находиться в интервале: -253 < a < 11/5.
6