Элементы классической и зонной теории твердых тел. Основные положения классической теории электропроводности металлов

Электронная теория проводимости металлов была впервые создана в 1900 г. физиком Друде и впоследствии разработана Лоренцем. Основным ее положением является то, что носителями тока в метал­лах служат свободные электроны. Это подтверждалось рядом классических опытов.

В опыте Рикке (1901 г.) электрический ток в течение года пропускался че­рез три последовательно соединенных металлических цилиндра (Cu, Al, Cu) с от­шлифованными торцами одинакового радиуса. Общий заряд, прошедший через ци­линдры, равнялся 3.510⁶ Кл. Проведенное после этого взвешивание показало, что вес цилиндров не изменился, также не было обнаружено проникновения одного металла в другой. Следовательно, перенос заряда осуществлялся не ионами, а общими для всех металлов частицами - электронами.

Рис.1.

Для подтверждения этого положения необходимо было определить знак и ве­личину удельного заряда q/m, то есть заряда, приходящегося на единицу массы частицы, носителей тока. Эксперименты проводились российскими физиками Мандельштамом и Папалекси, а также американскими физиками Толменом и Стюартом (1913г., 1916-1917г.). Если движущийся поступательно проводник резко остановить, то, подклю­ченный к нему гальванометр зафиксирует кратковременный ток (рис.1). Это объясняется тем, что носители тока не связаны жестко с кристаллической решеткой и при тор­можении продолжают двигаться по инерции.

По направлению тока гальванометра было определено, что знак заряда носителя тока - отрицательный. Мандельштам и Папалески взяли катушку с намотанным на нее проводом индуктивности L , концы которой соединили с неподвижной телефонной трубкой. При быстрых крутильных колебаниях катушки вокруг ее оси по цепи шел переменный электрический ток и раздавались сигналы в трубке.

Стюарт и Толмен заменили телефонную трубку гальванометром и определили, что носители тока имеют отрицательный заряд q < 0. Расчеты показали, что удельный заряд носителей равен удельному заряду электрона. Таким образом, было доказано, что носителями электрического тока в метал­лах являются свободные электроны.

Свободные электроны - это валентные электроны атомов металла, наиболее слабо связанные с ядрами атомов. Они легко отрываются, переходят от одного атома к другому и являются как бы “обобществленными”. Атомы, оставшиеся без нескольких электронов, становятся положительными ионами, которые колеблются около положений равновесия, называемых узлами кристаллической решетки, и мешают свободному движению электронов. При своем движении электроны проводимости сталкиваются с узлами решетки металла, поэтому можно говорить о средней длине свободного пробега электронов , которая по порядку величины должна равняться периоду кристаллической решетки металла, то есть порядка 10^-10 м.

С позиций классической электронной теории высокая электропроводность металлов обусловлена наличием огромного числа свободных электронов, движение которых подчиняется законам идеального газа. Электроны образуют так называемый электронный газ. У одновалентного металла на один атом приходится 1 электрон. Поэтому число электронов проводимости в единице объеме одновалентного металла:

где – N_A – число Авогадро, μ – молярная масса металла, ρ – плотность. Для меди: μ = 0, 0636кг/моль; ρ = 8,93∙10³кг/моль. Тогда для меди: n₀= 8,5∙10²⁸ (1/м³ ).

Средняя кинетическая энергия теплового движения электрона будет равна:

, где m_e - масса электрона, v_кв - его среднеквадратичная скорость, k = 1,38∙10^-23 Дж/К - постоянная Больцмана, Т - термодинамическая температура. При температуре порядка комнатной Т=300 К среднеквад­ратичная скорость теплового движения электронов будет: ,

соответственно, средняя скорость теплого движения по величине получается порядка 110км/с.

Найдем среднюю скорость упорядоченного движения электронов. Рассмотрим медный проводник с площадью поперечного сечения S=1мм² , для такого проводника максимально допустимая плотность тока равна j_max = 11∙10⁶А/м² .Тогда, по формуле плотности тока: j = e∙ n₀ ∙v = 1,6 ∙10^-19 ∙8,5∙10²⁸ ∙v = 11∙10⁶ , и, соответственно, скорость направленного движения:

v = .

То есть средняя скорость направленного движения v имеет порядок .

Вывод закона Ома в дифференциальной форме.

Предположим, что при соударении с узлами кристаллической решетки электроны полностью теряют скорость упорядоченного движения, которую они приобретают под действием внешнего электрического поля в течении времени τ свободного пробега. В процессе свободного пробега электроны движутся равноускоренно. По 2 закону Ньютона:

ma= eE; m = eE; mdv=eE dt. Возьмем определенный интеграл от левой и правой сторон последнего уравнения:

m , отсюда . Средняя скорость направленного движения в два раза меньше максимальной: .

Электроны проводимости одновременно участвуют также в тепловом движении. Если - средняя скорость направленного движения, а - средняя скорость теплового движения, то результирующая скорость: , и среднее время свободного пробега: .

Но , поэтому: .

Подставим полученную формулу в выражение для средней скорости направленного движения:

= и, соответственно, плотность тока:

j = e∙n∙ = e∙n∙ = =

Величина γ = получила название удельной проводимости, тогда выражение для плотности тока получаем выражение:

= γ .

Таким образом, в рамках классической теории электропроводности было получено выражение для закона Ома. Также выводится и закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Кроме того, классическая теория дала качественное объяснение закону Видемана-Франца. В середине 19 века Видеман и Франц установили, что при определенной темпе­ра­туре отношение коэффициента теплопроводности  к удельной проводимости  оди­наково для всех металлов. Закон Видемана-Франца имеет вид , где  - постоянная, не зависящая от природы металла. Электр­оны проводимости, перемещаясь в металле, переносят с собой не только электриче­ский заряд, но и кинетическую энергию беспорядочного теплового движения. Поэтому те метал­лы, кото­рые хорошо проводят электрический ток, являются хорошими проводни­ками тепла. Классическая электронная теория качественно объяснила природу электриче­с­кого сопротивления металлов. Можно считать, что движение электрона в металле происходит с трением, подобным внутреннему трению в газах. Это трение и создает сопротивление металла.

Вместе с тем классическая теория встретилась с су­щественными затруднениями. Перечислим некоторые из них :

1. Несоответствие теории и эксперимента возникло при расчете теплоемко­сти металлов. Согласно кинетической теории молярная теплоемкость металлов должна складываться из теплоемкости атомов и теплоемкости свободных электронов. Так как атомы в твердом теле совершают только колебательные движения, то их молярная теплоемкость равна С=3R, где R=8.31Дж/(мольК) - молярная газовая постоянная; свободные электроны двигаются только поступательно и их молярная теплоемкость равна С=(3/2)R. Общая теплоемкость должна быть С4.5R , но согласно опытным данным С=3R.

2.  По расчетам электронной теории, сопротивление R должно быть пропор­цио­нальным , где Т - термодинамическая температура. Согласно опытным дан­ным, RТ.

3. Полученные опытным путем значения электропроводности  дают для сред­ней длины свободного пробега электронов в металлах величину порядка сотен меж­доузельных расстояний. Это гораздо больше, чем по классической теории .

Расхождение теории с опытом объясняется тем, что движение электронов в ме­талле подчиняется не законам классической механики, а законам квантовой ме­ханики. Достоинством классической электронной теории являются простота, на­глядность и правильность многих качественных ее результатов.