Оптика,элементы ядерной и квантовой физики / Занятия от Иванова / ЗАНЯТИЕ 13 ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

ЗАНЯТИЕ 13 ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ: волны де Бройля, соотношение Гайзенберга,

волновая функция

Квантовая механика – физическая теория, описывающая явления атомного масштаба, движение микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и состоящих из них систем (например, кристаллов). Линейные размеры объектов микромира, изучаемых квантовой механикой, имеют порядок 10 – 6 – 10 – 13 см.

Частицы, имеющие конечный импульс p, обладают волновыми свойствами и их движение сопровождается волновым процессом. Длина волны, связанной с движущейся частицей ( волны де Бройля), связана с импульсом p частицы соотношением

Корпускулярные свойства частицы определяются ее энергией W и импульсом p ,

волновые свойства – частотой и длиной волны де Бройля. Эти параметры связаны соотношениями:

где W = p2/2m – энергия свободной частицы.

Волновые свойства микрочастиц ограничивают возможность одновременного точного определения координаты частицы и величины ее импульса. Координаты частицы x, y, z и проекции ее импульса px, py, pz на соответствующие оси координат могут иметь значения, заданные с точностью, определяемой соотношениями неопределенностей

Гейзенберга

x px 2 ,

где x – интервал координаты x, в которых может быть локализована частица, описываемая волной де Бройля, если проекция ее импульса заключена в интервале px.

Соотношение неопределенностей для энергии W и времени t

W t

показывает, что точность определения энергии частицы, находящейся в состоянии с энергией W, тем больше (неопределенность энергии W – меньше), чем большее время t частица находится в этом состоянии.

частица находится в элементе объема dV.

dP = 2 dV ,

где 2 = * ( * – функция, комплексно сопряженная с ). Величина 2 определяет

интенсивность волны де Бройля.

Волновая функция должна быть однозначной функцией своих аргументов, кроме того она и ее первые производные по всем переменным должны быть конечными и непрерывными.

Условие нормировки вероятностей

2 dV = 1.

V

Среднее значение физической величины F, характеризующей частицу, находящуюся в состоянии, описываемом волновой функцией , определяется по формуле

F F 2 dV .

V

Основное дифференциальное уравнение квантовой механики – временнóе уравнение Шредингера, определяющее функцию (x, y, z, t) для микрочастиц, движущихся в силовом поле с потенциальной энергией U(x, y, z, t) :

где W – энергия частицы.

Функции , удовлетворяющие уравнению Шредингера при заданном виде U = U(x, y, z), называются собственными функциями. Они существуют лишь при определенных значениях W, называемых собственными значениями энергии. Энергетический спектр частицы – это совокупность собственных значений W.

В случае одномерного ( вектор скорости частицы r = const направлен вдоль v

оси x) свободного движения частицы (U = 0) ее энергия W равна кинетической энергии. Стационарное уравнение Шредингера имеет следующее решение

следствием которого является классическое соотношение между энергией и импульсом частицы при отсутствии внешних сил

W = p2 .

2m

Движение свободной частицы описывается плоской монохроматической волной де Бройля

ВОПРОСЫ

1.Принцип неопределенности Гейзенберга. Поясните на примере дифракции электрона на щели.

2.Волновая функция. Квадрат модуля волновой функции. Нормировка.

3.Соответствие: динамические переменные – операторы. Примеры операторов.

4.Соответствие: собственные значения – результаты измерений. Пример: энергия и импульс свободной частицы.

5.Уравнение Шредингера.

6.Волновая функция свободной частицы (одномерный случай).

ЗАДАЧИ

125.Пороговая чувствительность сетчатки человеческого глаза к желтому свету (600 нм) составляет 1.7·10-18 Вт. Сколько фотонов падает ежесекундно на сетчатку? Постоянная Планка h = 6.6·10-34 Дж·с; скорость света c = 3·108 м/с.

126.Определите длину волны де Бройля, соответствующую движению электрона по стационарной круговой орбите атома водорода. Сопоставьте длину орбиты с длиной волны.

127.Две очень тонкие щели раздвинуты на 0,01 мм. На эти щели падает пучок электронов с энергией 1 эВ. Экран находится на расстоянии 10 м от щелей. Какое расстояние между соседними максимумами на экране? Заряд электрона e = 1,6·10-19 Кл; масса электрона me = 9.1·10-31 кг; постоянная Планка h = 6,6·10-34 Дж·с.

128.Оцените минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в

области размером L = 0,10 нм. Масса электрона me = 9.1·10-31 кг; постоянная Планка h = 6,6·10-34 Дж·с.

129.Частица находится в состоянии, являющемся собственной функцией гамильтониана. Найдите общий вид волновой функции такой частицы.

130.Найдите длину волны де Бройля электрона, ускоренного в электрическом поле при разности потенциалов U = 100 В.

131.Исходя из соотношения неопределенностей, оцените энергию основного состояния атома водорода. Найдите длину волны де Бройля пылинки массой m = 0,001 г, имеющей ту же скорость, что и электрон, ускоренный в электрическом поле при разности потенциалов U = 100 В.

132.Положение центра масс шарика массой m = 10–3 кг и положение электрона определены с погрешностью x 10–5 см. Какова будет неопределенность проекции скорости vx для шарика и электрона?

133.Каковы должны быть масштабы периодических пространственных неоднородностей, на которых можно обнаружить волновые свойства электрона и пылинки (см. задачи 130 и 131)?

134.Кинетическая энергия электрона в атоме водорода по порядку величины равна Wк 2 10–18 Дж. Исходя из соотношения неопределенностей Гейзенберга оцените минимальный линейный размер атома водорода.