Лекции Муницына 2 курс / ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА-2-10
.pdf
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА
Лекция 10
Частное решение и его физический смысл
Рассматриваем неоднородное дифференциальное уравнение
|
4 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= − |
|
4 |
2 |
|
|||
В этом уравнении это константа, определяемая из условий на границах оболочки. Давление ( ) - постоянная величина, если это газовое давление и линейная функция, если это гидростатические давление. В дальнейшем будем предполагать, что
( ) = ( ) −
это полином не выше третьей степени. Полагая решением неоднородного уравнения полином той же степени, получаем
|
|
( |
|
) |
= |
|
|
2 |
|
( |
− |
|
|
|
) |
||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Выясним физический смысл полученного решения. Для этого вспомним безмоментную теорию оболочек. Уравнение Лапласа
+ =
в обозначениях нашей лекции имеет вид
+ =
для цилиндрической оболочки = = ∞, = , получаем
= =
1
C другой стороны меридианальные (продольные) напряжения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По закону Гука |
= |
1 |
( − ) = |
1 |
( |
|
− |
|
) |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из (2.2) имеем значение прогиба |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
= |
|
|
( − |
|
|
) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Делаем важный вывод: частное решение неоднородного уравнения осесимметричного изгиба круговой цилиндрической оболочки имеет смысл нормального прогиба оболочки, найденного по безмоментной теории.
Типичные граничные условия.
Решение
( ) = 00( ) + ( )
( ) = 1 − cos + 2 − sin + 3 cos + 4 sin +
|
2 |
|
|
|
|
+ |
|
( − |
|
) |
(6) |
|
|
||||
|
|
|
|
||
содержит четыре константы интегрирования, которые определяются из граничных условий. Рассмотрим некоторые из них
Шарнирное опирание |
Жесткая заделка |
|||||
= 0; = |
2 |
= 0 |
= 0; |
|
= 0 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
Свободный край |
|
|
Загруженный край |
|
|
|||||
= |
2 |
= 0; = |
3 |
= 0 |
= |
2 |
= ; = |
3 |
= |
|
2 |
3 |
2 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Теория краевого эффекта для круговой цилиндрической оболочки
Рассмотрим бесконечную цилиндрическую оболочку. Пусть, для примера, она жестко закреплена слева.
Влияние закрепления оболочки уменьшается по мере удаления от левого края. В этой части оболочка работает только на растяжение. Граничные условия на правом краю заменяем на условие ограниченности решения на бесконечности.
lim ( ) = ( )
→∞
Тогда в решении
( ) = 1 − cos + 2 − sin + 3 cos + 4 sin + ( )
следует положить 3 = 4 = 0. Получаем решение, основанное на затухании краевого эффекта
( ) = |
− cos + |
− sin + ( ) |
(7) |
||
1 |
2 |
|
|
|
|
Введем понятие длины краевого эффекта |
= |
|
, так что |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
( ) = 1 − cos + 2 − sin + ( )
3
Оценим, насколько быстро затухают слагаемые, описывающие изгиб
оболочки с ростом координаты x. Графики − |
|
cos |
|
и |
− |
|
sin |
|
: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видим влияние краевого эффекта становится несущественным уже при = . ( − = 0.0433), а при = 2 это влияние практически полностью исчезает.
Оценим величину . Поскольку
= √4 2
то принимая = 0.3 имеем = 1.28√, тогда = 1.28 √ ≈ 2.5√ = 2.5 √ .
Вывод. Для оболочки длиной > можно использовать решение, основанное на теории краевого эффекта, то есть рассматривать ее как полубесконечную.
Например, в следующей задаче не следует брать решение в виде (6) и определять константы из четырех граничных условий. Достаточно взять решение
(7) и определить константы из двух граничных условий.
Другой пример. Бесконечная оболочка в некотором сечении нагружена равномерно распределенной по окружности силой q
4
Воспользовавшись условием симметрии, рассмотрим две задачи
Получим решение для правой части в виде (7)
( ) = 1 − cos + 2 − sin + ( )
Константы определим из граничных условий
|
= 0; = |
3 |
= − /2 |
|
3 |
Решение для левой половины оболочки может быть получено из условий симметрии.
5
6