Лекции Муницына 2 курс / ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА-2-8
.pdf
ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА
Лекция 8
Безмоментная теория осесимметричных тонкостенных оболочек
Оболочками называются тела криволинейного очертания, один из размеров которых (толщина) мал по сравнению с двумя другими размерами. Срединной поверхностью называется поверхность, делящая толщину оболочки пополам.
Полагаем, что срединная поверхность оболочки – поверхность вращения, полученная путем вращения плоской кривой вокруг неподвижной оси. Нагрузки тоже осесимметричны.
В безмоментной теории оболочек пренебрегаем жесткостью на изгиб и полагаем, что оболочка работает только на растяжение (сжатие).
Вывод уравнения равновесия
Проведем меридиональные сеченияи 1 1 плоскостями, проходящими через ось симметрии. Окружные сечения 1 и 1 – проводятся коническими сечениями, составляющими с меридианом в данной точке прямой угол.
Рассмотрим равновесие элемента оболочки, выделенного двумя окружными и двумя меридиональными сечениями.
1
– центр кривизны меридиана,
– центр кривизны параллели,
- меридиональный радиус кривизны,
– окружной радиус кривизны,
- меридиональные напряжения,
- окружные напряжения, h – толщина оболочки.
Рассматриваемые площадки являются главными.
Для удобства изобразим две проекции
∑ = 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
+ 2 |
|
|
|
− |
= 0 |
|||||
2 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Делим на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По определению
2
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
, |
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Получаем уравнение равновесия. Уравнение Лапласа.
+ =
Две неизвестные , .
Частные случаи:
1. Сферическая оболочка под внутренним давлением
= =
В силу центральной симметрии =
= =
2. Цилиндрическая оболочка под внутренним давлением
= ∞, |
|
= |
|
|
|
=
Определение меридиональных напряжений
В качестве второго уравнения используем уравнение равновесия для части оболочки, выделенной коническим сечением.
∑ = 0
2 cos =
- равнодействующая всех внешних сил, приложенных к отсеченной части оболочки, включая опорные реакции.
=
3
Пример.
4
5
6
7