Добавил:

KiberSamuray Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

Лекции Муницына 2 курс / ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА-2-5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.06.2021

Размер:

612.08 Кб

Скачать

☆

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

Лекция 5

Расчет закрытого толстостенного цилиндра

Различаем открытый и закрытый цилиндр

Для открытого цилиндра = 0, , - находим по формулам Ламе.

Закрытый цилиндр

Уравнение равновесия

(22 − 12) + 2 22 − 1 12 = 0

			−
			−
=
=			−

Полученные формулы справедливы для сечений, достаточно удаленных от краев.

−

(

−

)

, =

−

Частный случай. Толстостенный цилиндр, нагруженный внутренним давлением.

Положим 1 = , 2 = 0. Из второй формулы Ламе

		2		− 2		( −		) 2	2	1
	=	1	1	2	2	1	2	1	2
	=		2	− 2		2	− 2				2
,			2	− 2		2	− 2				2
			2	1		2		1

получаем

		2			2
	=		1	(1	2	)
		2	− 2
,					2
		2	1

На внутренней поверхности = 1:

= −
	(2		+ 2)
=	2		1
=	2	− 2
	2	− 2
	2		1

На внешней поверхности = 2:

212= 22 − 12

Опасной является точка на внутренней поверхности = 1

Главные напряжения

			(2		+ 2)
	=	=	2		1
	=	=	2	− 2
1			2	− 2
			2		1

2 = 0 - для открытого цилиндра, 2 = = 2 1 2 – для закрытого

2−1

3 = = −

Условия прочности по критерию Сен-Венана

		1 − 3 < [ ]
(2		+ 2)		22
2		1	+ =		2	< [ ]
2	− 2		+ =	2	− 2	< [ ]
2		1	2		1
			2

По критерию Мизеса

√12 + 22 + 32 − 1 2 − 1 3 − 2 3 < [ ]

Частный случай. Тонкостенный цилиндр, нагруженный внутренним давлением. Формулы Мариотта.

h – толщина оболочки, 1, 2 = 1 +
						2										2									2															( + )2
			=		1					(1							2		) =					1											(1						1					) =
			=		2 − 2					(1									) =			( + )2								− 2					(1						2					) =
	,				2 − 2											2						( + )2								− 2											2
				2					1													1										1
			2										2					+ 2 + 2																2							2 + 2
	=			1					(1					1							1							) ≈				1					(1				1				1		)
	=	2 + 2							(1											2								) ≈					2				(1						2				)
			1																													1
На внутренней поверхности
											2 + 2																															2			+ 2
= :	=			1			(1		+		1						1			)		≈		1		,					=							1	(1 −				1				1	) = −
= :	=						(1		+				2							)		≈				,					=								(1 −						2			) = −
1				2									2																								2								2
														1																															1
На внешней поверхности
												2	+ 2																															2 + 2
= :	=					1		(1 +				1					1				) ≈				1				,			=						1		(1 −				1			1		) = 0
= :	=							(1 +				( + )2									) ≈								,			=						2		(1 −				( + )2					) = 0
2						2						( + )2																										2						( + )2
										1																																			1
Для закрытого цилиндра не зависит от

																						2																1
													=									1										≈						1
													=																			≈
																		( 1		+ )2 − 12																2
																		( 1		+ )2 − 12																2
Радиальные напряжения малы и ими можно пренебречь
															= − =												,							1
															= − =												,							1
																							1							1
																							1							1

Формулы Мариотта:

=	,	=	,	=
=	,	=	,	=

Частный случай. Цилиндр с бесконечно большой толщиной стенки, нагруженный внутренним давлением.

При увеличении толщины стенки напряжения уменьшаются, но не

беспредельно.
		2			2
	=		1	(1	2	)
	=	2	− 2	(1		)
,		2	− 2		2
		2	1

Пусть 1 и константы

= 1 : lim , =

2→∞

= 2 = ∞: , = 0

Опасная точка


= :		= ,	= 2 < [ ],	(	= √3 < [ ])
1	,	экв		экв

(√3 - по критерию Мизеса).

Как бы мы не увеличивали толщину стенки, давление < (0.5 ÷ 0.6)[ ]

Температурные напряжения в толстостенных цилиндрах*

Задано осесимметричное температурное поле ( ). Имеем

			−
	+			= 0	(1)


=		,		=	(2)

Вместо (3) запишем закон Гука с учетом температурного расширения

=	1			[	− (		+	)] + ( )
=				[	− (		+	)] + ( )


=		1	[		− (		+	)] + ( )	(3)
=			[		− (		+	)] + ( )	(3)


						4

1= [ − ( + )] + ( )

Повторяя выкладки лекции				4		получаем			уравнение равновесия в
перемещениях
	2	+	1	−		=	1	+		( )

	2				2		1	−

При равномерном нагреве ( ) = , ( ) = 0 справа 0, температурные

напряжения отсутствуют.

При логарифмическом законе изменения температуры

		2
( ) = 2 + (1 − 2)
( ) = 2 + (1 − 2)		2
		1

Температурные напряжения (без вывода)

	E T			r
			ln	2
r		r		r
r

	2(1 ) ln	2
	2(1 ) ln	r
		r
		1

		r	2

r		1

	2	r		2

2			1

	r	2		r
1	2		ln	2
	2			2
	r	2		r
	r			r
				1

  

E T			ln	r
		1	ln	2
				2
	r			r
	r			r
2(1 ) ln	2
2(1 ) ln	r
	r
	1

		r	2

r		1

	2	r		2

2			1

	r	2
1	2
	2
	r	2
	r

		r
	ln	2
		2
		r
		r
		1

  

	E T			r		2r		2			r
			1 2 ln	2			1			ln	2
				2			1				2
z		r		r	r	2	r		2		r
		r
	2(1 ) ln	2
	2(1 ) ln	r			2			1			1
		r
		1

Для 2 > 1

Соседние файлы в папке Лекции Муницына 2 курс

#
29.06.2021652.35 Кб5ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА-2-10.pdf
#
29.06.2021695.08 Кб3ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА-2-3.pdf
#
29.06.2021555.69 Кб3ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА-2-4.pdf
#
29.06.2021612.08 Кб7ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА-2-5.pdf
#
29.06.2021564.4 Кб3ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА-2-6.pdf
#
29.06.2021714.85 Кб6ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА-2-7.pdf
#
29.06.2021996.37 Кб4ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА-2-8.pdf