3. Задания к лабораторной работе

3.1 Ознакомьтесь с методами составления рассматриваемых математических моделей.

3.2 Проанализируйте решение задачи оптимизации симплекс-методом, изложенные в приложении, а также методы решения задач в Mathcad.

3.3 Выполните в программе Mathcad оптимизацию задачи из пункта 2. Сравните результаты.

3.4 Оформите отчёт по ЛР (п. 4).

4. Содержание отчёта по лабораторной работе

- титульный лист (см. приложение на последнем листе);

- описание решенных задач;

- скриншоты программ и результатов их выполнения;

- выводы.

Приложение 1. Титульный лист отчета по лабораторной работе

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Омский государственный технический университет»

Кафедра «Информатика и вычислительная техника»

Отчёт по лабораторной работе № ____

по дисциплине

«____»

Выполнил Студент гр. АБВ-101 Серый И.А. ______________ (подп., дата) Проверил Старший преподаватель каф. ИВТ Звонов А.О. ______________ (подп., дата)

Омск, 201_

Приложение 2. Аналитическое решение задачи

Рассмотрим определение минимального значения целевой функции

F(X) =  - x₁ - 2x₂ + x₃

при следующих условиях.  -x₁ + 4x₂ - 2x₃≤6  x₁ + x₂ + 2x₃≥6  2x₁ - x₂ + 2x₃=4

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).  -1x₁ + 4x₂-2x₃ + 1x₄ + 0x₅ = 6  1x₁ + 1x₂ + 2x₃ + 0x₄-1x₅ = 6  2x₁-1x₂ + 2x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 4

Введем искусственные переменные x.  -1x₁ + 4x₂-2x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆+ 0x₇ = 6  1x₁ + 1x₂ + 2x₃ + 0x₄-1x₅ + 1x₆+ 0x₇ = 6  (1) 2x₁-1x₂ + 2x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 1x₇= 4

Для постановки задачи на минимум целевую функцию запишем так:  F(X) = -1x₁-2x₂+x₃+Mx₆+Mx₇ => min  За использование искусственных переменных, вводимых в целевую функцию, накладывается так называемый штраф величиной М, очень большое положительное число, которое обычно не задается.  Полученный базис называется искусственным, а метод решения называется методом искусственного базиса.  Причем искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, однако они позволяют построить стартовую точку, а процесс оптимизации вынуждает эти переменные принимать нулевые значения и обеспечить допустимость оптимального решения.

Из уравнений (1) выражаем искусственные переменные:  x₆ = 6-x₁-x₂-2x₃+x₅  x₇ = 4-2x₁+x₂-2x₃  которые подставим в целевую функцию:  F(X) = -x₁-2x₂ + x₃ + M(6-x₁-x₂-2x₃+x₅) + M(4-2x₁+x₂-2x₃) => min  или  F(X) = (-1-3M)x₁+(-2)x₂+(1-4M)x₃+(1M)x₅+(10M) => min

Матрица коэффициентов A = a(ij) системы уравнений (1) имеет вид:

-1	4	-2	1	0	0	0
1	1	2	0	-1	1	0
2	-1	2	0	0	0	1

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x₄, x₆, x₇

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:  X1 = (0,0,0,6,0,6,4)

План	Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
0	x4	6	-1	4	-2	1	0	0	0
	x6	6	1	1	2	0	-1	1	0
	x7	4	2	-1	2	0	0	0	1
Индексная строка	F(X0)	10M	1+3M	2	-1+4M	0	-1M	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Дополним таблицу столбцом минимумов.

План	Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
1	x4	6	-1	4	-2	1	0	0	0	-
	x6	6	1	1	2	0	-1	1	0	3
	x7	4	2	-1	2	0	0	0	1	2
Индексная строка	F(X1)	10M	1+3M	2	-1+4M	0	-1M	0	0	0

Итерация №0.  Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.  В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₃, так как это наибольший коэффициент .  Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления:

и из них выберем наименьшее:  min (- , 6 : 2 , 4 : 2 ) = 2  Следовательно, 3-ая строка является ведущей.  Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.  Формируем следующую часть симплексной таблицы.  Вместо переменной x в план 1 войдет переменная x₃ .  Строка, соответствующая переменной x₃  в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₇ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=2  На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.  В остальных клетках столбца x₃ плана 1 записываем нули.  Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₃  и столбец x₃ .  Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.  Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (2), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
6-(4 • -2):2	-1-(2 • -2):2	4-(-1 • -2):2	-2-(2 • -2):2	1-(0 • -2):2	0-(0 • -2):2	0-(0 • -2):2	0-(1 • -2):2
6-(4 • 2):2	1-(2 • 2):2	1-(-1 • 2):2	2-(2 • 2):2	0-(0 • 2):2	-1-(0 • 2):2	1-(0 • 2):2	0-(1 • 2):2
4 : 2	2 : 2	-1 : 2	2 : 2	0 : 2	0 : 2	0 : 2	1 : 2
(10M)-(4 • (-1+4M)):2	(1+3M)-(2 • (-1+4M)):2	(2)-(-1 • (-1+4M)):2	(-1+4M)-(2 • (-1+4M)):2	(0)-(0 • (-1+4M)):2	(-1M)-(0 • (-1+4M)):2	(0)-(0 • (-1+4M)):2	(0)-(1 • (-1+4M)):2

План	Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
2	x4	10	1	3	0	1	0	0	1	31/3
	x6	2	-1	2	0	0	-1	1	-1	1
	x3	2	1	-1 /2	1	0	0	0	1 /2	-
Индексная строка	F(X2)	2+2M	2-1M	11/2+2M	0	0	-1M	0	1 /2-2M	0

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.  В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент .  Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления:

и из них выберем наименьшее:

min (10 : 3 , 2 : 2 , - ) = 1

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.  Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.  Формируем следующую часть симплексной таблицы.  Вместо переменной x в план 2 войдет переменная x₂ .  Строка, соответствующая переменной x₂  в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x₆ плана 1 на разрешающий элемент РЭ=2  На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.  В остальных клетках столбца x₂ плана 2 записываем нули.  Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x₂  и столбец x₂ .  Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
10-(2 • 3):2	1-(-1 • 3):2	3-(2 • 3):2	0-(0 • 3):2	1-(0 • 3):2	0-(-1 • 3):2	0-(1 • 3):2	1-(-1 • 3):2
2 : 2	-1 : 2	2 : 2	0 : 2	0 : 2	-1 : 2	1 : 2	-1 : 2
2-(2 • -1/2):2	1-(-1 • -1/2):2	-1 /2-(2 • -1/2):2	1-(0 • -1/2):2	0-(0 • -1/2):2	0-(-1 • -1/2):2	0-(1 • -1/2):2	1 /2-(-1 • -1/2):2
(2+2M)-(2 • (11/2+2M)):2	(2-1M)-(-1 • (11/2+2M)):2	(11/2+2M)-(2 • (11/2+2M)):2	(0)-(0 • (11/2+2M)):2	(0)-(0 • (11/2+2M)):2	(-1M)-(-1 • (11/2+2M)):2	(0)-(1 • (11/2+2M)):2	(1/2-2M)-(-1 • (11/2+2M)):2

План	Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
3	x4	7	21/2	0	0	1	11/2	-11/2	21/2	24/5
	x2	1	-1 /2	1	0	0	-1 /2	1 /2	-1 /2	-
	x3	21/2	3 /4	0	1	0	-1 /4	1 /4	1 /4	31/3
Индексная строка	F(X3)	1 /2	23/4	0	0	0	3 /4	-3 /4-1M	11/4-1M	0

Итерация №2.  Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.  В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент .  Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления:

и из них выберем наименьшее:

min (7 : 2¹/₂ , - , 2¹/₂ : ³/₄ ) = 2⁴/₅

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.  Разрешающий элемент равен (2¹/₂) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.  Формируем следующую часть симплексной таблицы.  Вместо переменной x в план 3 войдет переменная x₁ .  Строка, соответствующая переменной x₁  в плане 3, получена в результате деления всех элементов строки x₄ плана 2 на разрешающий элемент РЭ=2¹/₂  На месте разрешающего элемента в плане 3 получаем 1.  В остальных клетках столбца x₁ плана 3 записываем нули.  Таким образом, в новом плане 3 заполнены строка x₁  и столбец x₁ .  Все остальные элементы нового плана 3, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
7 : 21/2	21/2 : 21/2	0 : 21/2	0 : 21/2	1 : 21/2	11/2 : 21/2	-11/2 : 21/2	21/2 : 21/2
1-(7 • -1/2):21/2	-1 /2-(21/2 • -1/2):21/2	1-(0 • -1/2):21/2	0-(0 • -1/2):21/2	0-(1 • -1/2):21/2	-1 /2-(11/2 • -1/2):21/2	1 /2-(-11/2 • -1/2):21/2	-1 /2-(21/2 • -1/2):21/2
21/2-(7 • 3/4):21/2	3 /4-(21/2 • 3/4):21/2	0-(0 • 3/4):21/2	1-(0 • 3/4):21/2	0-(1 • 3/4):21/2	-1 /4-(11/2 • 3/4):21/2	1 /4-(-11/2 • 3/4):21/2	1 /4-(21/2 • 3/4):21/2
(1/2)-(7 • (23/4)):21/2	(23/4)-(21/2 • (23/4)):21/2	(0)-(0 • (23/4)):21/2	(0)-(0 • (23/4)):21/2	(0)-(1 • (23/4)):21/2	(3/4)-(11/2 • (23/4)):21/2	(-3/4-1M)-(-11/2 • (23/4)):21/2	(11/4-1M)-(21/2 • (23/4)):21/2

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

План	Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
4	x1	24/5	1	0	0	2 /5	3 /5	-3 /5	1
	x2	22/5	0	1	0	1 /5	-1 /5	1 /5	0
	x3	2 /5	0	0	1	-3 /10	-7 /10	7 /10	-1 /2
Индексная строка	F(X4)	-71/5	0	0	0	-11/10	-9 /10	9 /10-1M	-11/2-1M

0. Оптимальный план можно записать так:  x₁ = 2⁴/₅  x₂ = 2²/₅  x₃ = ²/₅  F(X) = -1•2⁴/₅ -2•2²/₅ + 1•²/₅ = -7¹/₅