Корень дерева

ТП изготовления фотошаблона

AB

Фотомеханический

Линзо-растровый

С защитой маскируешего слоя

Планарные

Дочерние вершины

AC

ABD

ABE

Рис.6.3

Полученное множества вершин анализируется на присутствие целевой вершины, т.е. вершины, не имеющей дочерних вершин. Процедура продолжается до обнаружения целевой вершины. На прошлом рисунке целевыми вершинами являются ABDK и ABDL - вершины 4-ого уровня.

Поиск решений имеет итеративный характер, причем число итераций и вершин, раскрытых до нахождения целевого состояния, существенно зависит от порядка, в котором раскрываются вершины. Порядок раскрытия вершин называется СТРАТЕГИЕЙ ПОИСКА.

Можно выделить два основных типа стратегий поиска (рис. 6.4):

Рис.6.4

Слепой перебор характеризуется тем, что расположение целевых вершин и их близость не влияют на порядок раскрытия. Существует несколько методов слепого перебора, представленных на рисунке 6.5.

Рис.6.5

Для структурированной записи методов поиска решений в пространстве состояний введем понятия списков открытых вершин (ОТК) и закрытых (ЗКР). Список закрытых вершин - это список, где размещаются идентификаторы раскрытых вершин и идентифткатор вершины, которую предстоит раскрыть в данный момент. Вершины из списка ЗКР, кроме последней, раскрывать нельзя. Список открытых вершин - это список, где размещаются вершины, которые могут и должны быть раскрыты. Стратегии поиска или принятия решений различаются правилами размещения вершин в списке ОТК и выбора очередной вершины для раскрытия.

1. Метод полного перебора.

Здесь вершины раскрываются в том порядке, в котором они были порождены.

Алгоритм, реализующий этот метод можно представить следующим образом:

1.1. Поместить начальную вершину в список ОТК.

1.2. Если список ОТК пуст, то подать сигнал о неудаче поиска, в ином случае перейти к следующему шагу.

1.3. Взять первую вершину из списка ОТК и перенести ее в список ЗКР. Присвоить вершине идентификатор V.

1.4. Раскрыть вершину V. Поместить все дочерние вершины, не встречающиеся в списке ЗКР, в конец списка ОТК и построить указатели, ведущие от них к вершине V. Если вершина V не имеет дочерних вершин, то перейти к шигу 1.2.

1.5. Проверить, не является ли одна из дочерних вершин V целевой. Если является, то выдать решение; в ином случае перейти к шагу 1.2.

В этом алгоритме предполагается, что начальная вершина не удовлетворяет поставленной цели, хотя нетрудно ввести этап проверки такой возможности. Вершины и указатели, построенные в процессе перебора, образуют поддерево всего неявно определенного дерева пространства состояний. Мы  будем называть такое поддерево деревом перебора.

В методе полного перебора непременно будет найден самый короткий путь к целевой вершине при условии, что такой путь вообще существует. (Если такого пути нет, то в указанном методе будет объявлено о неуспехе в случае конечных графов, а в случае бесконечных графов алгоритм никогда не кончит свою работу.)

2. Метод равных цен.

Могут встретиться задачи, в которых решению предъявляются какие-то иные требования, отличные от требования получения наикратчайшей последовательности операторов. Присваивание дугам деревьев определенных цен (с последующим нахождением решающего пути, имеющего минимальную стоимость) соответствует многим из таких обещанных критериев. Более общий вариант метода полного перебора, называемый методом равных цен, позволяет во всех случаях найти некоторый путь от начальной вершины к целевой, стоимость которого минимальна. В то время как в выше описанном алгоритме распространяются линии равной длины пути от начальной вершины, в более общем алгоритме, который будет описан ниже, распространяются линии равной стоимости пути.

Пусть каждой дуге поставлена в соответствие некоторая функция стоимости CIJ. Суть метода состоит в поиске пути минимальной стоимости. В ином случае перейти к следующему шагу. Раскрытие вершин осуществляется в порядке возрастания их стоимости. Если обозначить через G(v) - стоимость раскрытия некоторой вершины v, то алгоритм, реализующий данный метод можно представить следующим образом:

2.1. Поместить начальную вершину S0 в список ОТК. Положить G(S0)=0.

2.2. Если список ОТК пуст, то подать сигнал о неудаче поиска; в ином случае перейти к следующему шагу.

2.3. Взять из списка ОТК ту вершину, для которой величина G(v) имеет наименьшее значение, и поместить ее в список ЗКР. Присвоить этой вершине идентификатор v.

2.4. Если v есть целевая вершина, то выдать решающий путь;

2.5. Раскрыть вершину v. Для каждой дочерней вершины vi вычислить стоимость G(vi) по формуле G(vi)=G(v)+C(v,vi). Поместить эти вершины вместе с соответствующими им G(vi) в список ОТК и построить указатели, идущие от них к вершине v. Если вершина v не имеет дочерних вершин, то сразу перейти к шагу 2.

2.6. Перейти к шагу 2.

Алгоритм, работающий по методу равных цен, может быть также использован для поиска путей минимальной длины, если просто положить стоимость каждого ребра равной единице. Если имеется несколько начальных вершин, о алгоритм просто модифицируется: на шаге (1) все начальные вершины помещаются в список ОТКРЫТ. Если состояния, отвечающие поставленной цели, могут быть описаны явно, то процесс перебора можно пустить в обратном направлении, приняв целевые вершины в качестве начальных и используя обращение оператора Г.

3. Метод перебора в глубину.

Если определить глубину вершины числом, равным номеру ее уровня, то при использовании метода перебора в глубину всегда раскрывается та из вершин, которая имеет наибольшую глубину. Так как несколько вершин могут иметь одинаковую наибольшую глубину, то предполагается, что имеется правило выбора одной из них. Т.е. задается граничная глубина. Вершины, имеющие глубину, равную граничной глубине, не раскрываются. Таким образом, метод перебора в глубину можно определить как метод перебора, при котором раскрывается та из вершин, которая имеет наибольшую глубину, меньшую граничной.

Такой подход может привести к процессу, разворачивающемуся вдоль некоторого бесполезного пути, поэтому нужно ввести некоторую процедуру возвращения. После того как в ходе процесса строится вершина с глубиной, превышающей некоторую граничную глубину, мы раскрываем вершины наибольшей глубины, не превышающей этой границы и т.д.

Алгоритм, реализующий метод перебора в глубину, можно представить в следующем виде:

3.1. Поместить начальную вершину в список ОТК.

3.2. Если список ОТК пуст, то выдать сообщение о неудачном поиске, в ином случае перейти к шагу 3.

3.3. Взять первую вершину из списка ОТК и перенести ее в список ЗКР. Этой вершине присвоить идентификатор v.

3.4. Если глубина вершины v равна граничной глубине, то перейти к шагу 2, в ином случае к шагу 5.

3.5. Раскрыть вершину v. Поместить все дочерние вершины в начало списка ОТК и построить указатели, идущие от них к вершине v. Если v не имеет дочерних вершин, то перейти к шагу 2.

3.6. Если одна из этих вершин целевая, то на выход выдать решение, получаемое путем просмотра назад в соответствии с указателями, в ином случае перейти к шагу 2.

В алгоритме поиска в глубину сначала идет перебор вдоль одного пути, пока не будет достигнута максимальная глубина, затем рассматриваются альтернативные пути той же или меньшей глубины, которые отличаются от него лишь последним шагом, после чего рассматриваются пути, отмечающимися последними двумя шагами, и т.д.

Во всех рассмотренных методах перебора предполагается, что начальная вершина только одна.

2. Методы упорядоченного перебора.

Для большинства практических задач удается сформулировать эмпирические правила, позволяющие уменьшить объем перебора. Эти правила используют специфическую информацию о решаемой задаче, формируемую на основе опыта, интуиции и здравого смысла эксперта и инженера знаний.

Информацию такого рода называют эвристической, и основанные на ней методы и алгоритмы эвристическими. Основная идея эвристических методов заключается в упорядочении списка открытых вершин в соответствии с некоторой мерой, оценивающей "перспективность" вершины или пути, на котором находится данная вершина.

Такую меру называют ОЦЕНОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ, а процедуры токого типа методами упорядоченного перебора. Для очередного раскрытия из списка ОТК выбирается вершина, которая имеет минимальное значение оценочной функции. После каждого шага раскрытия производится переупорядочение вершин в списке в соответствии со значениями оценочной функции.

В качестве оценочных функций можно выбрать функции, приведенные на рисунке 6.6.

Рис.6.6

Не существует каких-либо конструктивных рекомендаций к способам определения оценочных функций. Рассмотрим ее смысл на примере (рис.6.7)

Для примера рассмотрим расположение кубиков на площадках

3

2 - 1

1

2

3 - -