Тема 14 Задачи оптимизации

1 Общий случай задачи оптимизации

2 Классификация методов математического программирования

3 Формы записи задач линейного программирования

4 Задача о наилучшем использовании ресурсов

5 Задача о распределении заказа

6 Задача о назначениях

7 Транспортная задача

14.1 Общий случай задачи оптимизации

Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных. С точки зрения инженерных расчетов методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции, наилучшее распределение ресурсов и т.д.

В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо найти оптимальные значения некоторых параметров, определяющих данную задачу. При решении инженерных задач их принято называть проектными параметрами, а в экономических задачах их обычно называют параметрами плана. В качестве проектных параметров могут быть, в частности, значения линейных размеров объекта, массы, температуры и т.п. Число n проектных параметров x1,x2,…,xn характеризует размерность ( и степень сложности) задачи оптимизации.

Выбор оптимального решения или сравнение двух альтернативных решений проводится с помощью некоторой зависимой величины (функции), определяемой проектными параметрами. Эта величина называется целевой функцией (или критерием качества). В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения проектных параметров, при которых целевая функция имеет минимум (или максимум). Таким образом, целевая функция – это глобальный критерий оптимальности в математических моделях, с помощью которых описываются инженерные или экономические задачи.

Несмотря на различные содержательные постановки задачи, структура оптимизационной задачи однотипна и содержит следующие компоненты.

1. Целевая функция F(x) n-мерного векторного аргумента x= (x₁,x₂,…, x_n) , т.е. F(x)  Rⁿ.

2. Ограничения (условия) в виде неравенств g_j(x)  0.

3. Ограничения (условия) в виде равенств h_k (x) 0.

4. Область допустимых значений xD  Rⁿ.

Ограничения неизбежно появляются при проектировании технических объектов и вытекают из конкретной физической и технологической реализуемости внутренних параметров элементов, ограниченности ресурсов и т.п.

Для решения задач оптимизации в MS Excel используется инструмент Поиск решения.

Общий алгоритм решения оптимизационных задач в MS Excel 2010 следующий:

1 Составить математическую модель.

2 Ввести на рабочий лист Excel условия задачи:

а) создать таблицу на рабочем листе для ввода условий задачи;

б) ввести исходные данные, целевую функцию, ограничения и граничные условия.

3 Выполнить команду Данные  Анализ  Поиск решения.

4 Указать параметры в диалоговом окне Параметры поиска решения, выполнить решение.

5 Проанализировать полученные результаты.

14.2 Классификация методов математического программирования

Математическое программирование – раздел высшей математики, разрабатывающий теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Характерной особенностью вычислительной стороны методов решения задач математического программирования является то, что применение этих методов неразрывно связано с использованием ЭВМ. В первую очередь это обусловлено тем, что указанные задачи, формализующие ситуации управления реальными системами, являются задачами большого объема, недоступными для ручного счета.

Чтобы использовать методы математического программирования для нахождения оптимального решения, необходимо экономическую проблему записать в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. д., описывающих характеристики объекта моделирования и взаимосвязи между ними, т. е. составить математическую модель задачи.

Модель задачи математического программирования включает:

1) совокупность неизвестных величин X=(x₁,x₂,…, x_n), влияющих на достижение сформулированной цели. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведением и др.);

2) целевую функцию F(x) (функцию цели, показатель эффективности, критерий оптимальности, функционал задачи и др.) – функцию, в математической форме выражающую поставленную цель с точки зрения выбранного критерия оптимальности. Целевая функция может быть выражением прибыли, объема выпуска продукции, затрат производства, издержек обращения, величины отходов производства и т. д. По значениям целевой функции из множества возможных вариантов выбирается наилучший вариант, который доставляет целевой функции экстремальное значение;

3) условия (или систему ограничений), налагаемые на неизвестные величины. Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает предприятие в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов. Ограниченными могут быть возможности технического, технологического, научного потенциала.

Краткая классификация методов математического программирования.

1. По характеру взаимосвязи между переменными

а) линейные, если все функциональные связи в системе ограничений и функция цели – линейные функции;

б) нелинейные при наличии нелинейности хотя бы в одном из упомянутых элементов;

2. по характеру изменения переменных

а) непрерывные, если значения каждой из управляющих переменных могут заполнять сплошь некоторую область действительных чисел;

б) дискретные если все или хотя бы одна переменная могут принимать изолированные числовые значения из некоторого множества;

3. по учету фактора времени

а) статические, если моделирование и принятие решений осуществляются в предположении о независимости от времени элементов модели в течение периода времени, на который принимается планово-управленческое решение;

б) динамические если необходимо учитывать фактор времени;

4. По наличию информации о переменных

а) задачи в условиях полной определенности (детерминированные);

б) задачи в условиях неполной информации, когда отдельные элементы являются вероятностными величинами, однако известны или дополнительными статистическими исследованиями могут быть установлены их законы распределения.

в) задачи в условиях неопределенности, когда можно сделать предположение о возможных исходах случайных элементов, но нет возможности сделать вывод о вероятностях исходов.

5. По числу критериев оценки альтернатив

а ) простые, однокритериальные;

б) сложные, многокритериальные.

Экономически приемлемо использование одного критерия оптимальности или удается специальными процедурами (например, «взвешиванием приоритетов») свести многокритериальный поиск к однокритериальному.

В зависимости от вида целевой функции и функций, задающих ограничения, в математическом программировании принято выделять ряд разделов (рисунок 14.1)

Рисунок – 14.1 – Классификация методов математического программирования

Задачи математического программирования, в которых целевая функция и функции, определяющие систему ограничений, линейны относительно входящих в задачу неизвестных, рассматриваются в разделе, называемом линейным программированием (ЛП). Методы и модели линейного программирования широко применяются при разработке производственных программ предприятий, распределении их по исполнителям, при размещении заказов между исполнителями, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; в задачах развития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов и т. д. Особенно широкое применение методы и модели линейного программирования получили при решении задач экономии ресурсов, производственно-транспортных и других задач.

Линейное программирование характеризует линейные взаимосвязи элементов рассматриваемой системы. Однако при более глубоком исследовании в ряде задач появляются и связи нелинейного характера, когда с изменением одного элемента другие изменяются непропорционально первому. Поэтому вслед за разработкой моделей линейного программирования начались интенсивные исследования нелинейных моделей.

Задачи математического программирования, в которых целевая функция и (или) хотя бы одна из функций системы ограничений нелинейна, являются предметом изучения раздела математического программирования с названием нелинейное программирование (НЛП). В частности, если указанные функции обладают свойствами выпуклости, то полученная задача является задачей выпуклого программирования. Методы и модели нелинейного программирования могут применяться при решении перечисленных выше задач, когда хотя бы одна из функций Z(X), ϕi (x ; x ;...; xn ) нелинейна. Кроме того, методы НЛП получили широкое применение при расчете экономически выгодных партий запуска деталей в производство, при определении экономически выгодной партии поставки, размеров запасов, распределении ограниченных ресурсов, размещении производительных сил, при решении многих производственно-экономических задач.

Если, исходя из содержательного смысла задачи, на все или некоторые переменные xj наложено условие дискретности, например целочисленности (xj = 0,1,2,...), то такие задачи рассматриваются в разделе математического программирования, называемом дискретным, в частности целочисленным (ЦП) программированием. Методами ЦП решается широкий круг задач оптимизации с неделимостями, комбинаторного типа, с логическими условиями, с разрывной целевой функцией и т. д., в частности, задачи выбора (о назначениях), о контейнерных перевозках (о рюкзаке), о маршрутизации (коммивояжера), теории расписаний, комплектных поставок и т. п.

Если параметры целевой функции и (или) системы ограничений изменяются во времени или целевая функция имеет аддитивный либо мультипликативный вид, или сам процесс выработки решения имеет многошаговый характер, то такие задачи решаются методами динамического программирования (ДП). Методами ДП могут решаться задачи перспективного и текущего планирования, управления производством, поставками и запасами в условиях изменяющегося спроса, распределения ограниченных ресурсов, в частности размещения капитальных вложений, замены оборудования и т. д.

В перечисленных выше разделах математического программирования предполагается, что вся информация о протекании процессов заранее известна и достоверна. Такие методы оптимизации называются детерминированными или методами обоснования решений в условиях определенности. Если параметры, входящие в функцию цели, или ограничения задачи являются случайными, недостоверными величинами или если приходится принимать решения в условиях риска, неполной или недостоверной информации, то говорят о проблеме стохастической оптимизации, а соответствующий раздел называется стохастическим программированием (СП). К нему в первую очередь следует отнести методы и модели выработки решений в условиях конфликтных ситуаций (математическая теория игр), в условиях неполной информации (экспертные оценки), в условиях риска (статистические решения) и др.

Если целевая функция и функция ограничений зависят от параметров, то получаем задачу параметрического программирования.

Позднее появились другие типы задач, учитывающих специфику целевой функции и системы ограничений, в связи с чем возникли дробно-линейное, блочное, сетевое (потоковое), многоиндексное, булевское, комбинаторное и другие типы программирования.

Отметим, наконец, что реальные ситуации настолько сложны, что нередко приходится одновременно учитывать комплекс целей, стоящих перед моделируемым объектом. Это приводит к нескольким целевым функциям, которые должны принимать экстремальные значения. Например, дать продукции больше, высокого качества и с минимальными затратами. Задачи, где находят решение по нескольким целевым функциям, относятся к векторной оптимизации – это так называемые многокритериальные задачи.

Из перечисленных методов математического программирования наиболее распространенными и разработанными являются линейное и динамическое программирование. В рамки этих методов укладывается широкий круг задач математического программирования.