Контрольная работа №2

Математическая логика и теория алгоритмов

Никитина дарья пин-21Д

Задание 1.

Построим биекцию между множеством всех таких рядов и декартовым произведением Q (множества рац. чисел) на себя счётное число раз, сопоставив ряд последовательности . Ясно, что |Q^N| = |N^N|, т.к. Q счётно (где N множество нат. чисел, A^B — множество функций из B в A). Теперь имеем неравенства |N^N| |(2^N)^N| = |2^{(N x N)}| = |2^N| = C и |N^N| |2^N| = C, так что по теореме Кантора - Бернштейна ответ - континуум.

Задание 2.

Построим биекцию, сохраняющую порядок, из левой части в правую. Элементы (n, x) отправим в (n, x) (где — значок принадлежности), а элементы из второго слагаемого отправим в (n, 2) . То, что это биекция, очевидно. Она сохраняет порядок на элементах каждого слагаемого по отдельности, и все элементы первого слагаемого переходят в элементы, меньшие всех образов элементов второго слагаемого, так что биекция сохраняет порядок.

Задание 3.

Используем лемму Цорна. Пусть X наше упорядоченное множество, C цепь. Возьмём множество всех цепей в X, содержащих C, обозначим это множество через M. В нём порядок получается из отношения включения цепей. Нам нужен максимальный элемент в M, по условию. Лемма Цорна говорит, что такой элемент существует, если любая непустая цепь в M имеет верхнюю грань (тут ещё важно, что M непусто, оно содержит C).

Итак, пусть L непустая цепь в M, это семейство цепей в X, любые два из которых связаны отношением включения. Возьмём объединение всех элементов L, обозначим его D. Это подмножество X, содержащее все элементы L, так что остаётся проверить, что D цепь. Пусть a, b D. По определению, найдутся A, B L такие, что a A, b B. Т.к. L цепь, то, не умаляя общности, A подмножество B. Следовательно, a, b B. Так как B цепь, то a b или b  a. И так для всех a, b D, то есть D — это цепь.