Контрольная работа №1

Математическая логика и теория алгоритмов

Никитина дарья пин-21Д

Задание 1.

Исходя из правил З и Ж получаем равнозначность секвенций:

Далее воспользуемся эквивалентностью:

По правилу Г:

Снова воспользуемся эквивалентностью:

В итоге мы получаем:

Что является истиной

Задание 2.

Аксиома:

По правилу 12:

По правилу 2:

По правилу 12:

По правилу 11(1):

Аксиома:

По правилу 12:

По правилу 11:

По правилу 7:

По правилам Ж и З:

По правилу 12:

По правилу 11:

По правилу 12:

По правилу Г(2):

Из (1) и (2) по правилу 1:

По правилу 11:

По правилу 7:

Что и требовалось доказать.

Задание 3.

Дано:

По правилу 12(1):

Дано:

По правилу 7:

По правилу 12(2):

Из (1) и (2) по правилу 8:

Что и требовалось доказать.

Задание 4.

По определению доказательство эквивалентности можно заменить на доказательство двух секвенций, что мы и сделаем.

Докажем секвенцию:

Аксиома:

По правилу 12:

По правилу 7:

Воспользуемся эквивалентностью формул:

Что и требовалось доказать. В обратную сторону доказательство стоится аналогично.

Задание 5.

1. Допустим, что существует формула А выводимая из Г. Тогда:

По правилу Ж:

По правилу Б:

По правилу Г:

По правилу Ж:

По правилу Д:

Что означает, что Г противоречиво.

2. Если Г противоречиво, то по правилу Е для любой формулы

Таким образом мы доказали, что множество Г непротиворечиво тогда и только тогда, когда существует формула невыводимая из Г.