Контрольная работа №1

Компьютерный практикум по алгебре и геометрии

Никитина Дарья ПИН-21д

Задание 1

Даны координаты векторов: в правом ортонормированном базисе (первый базис). Показать, что векторы тоже образуют базис и найти координаты в базисе . Сделать рисунки в Matlab. На первом рисунке показать вектор, разложенный по первому базису; на втором рисунке –вектор, разложенный по второму базису.

Решение

Проверим образуют ли векторы базис:

так как то векторы образуют базис. Разложим вектор в этом базисе:

x=[-2;7;7];

a=[3;1;2];

b=[1;3;1];

c=[-1;2;4];

A=[a b c];

detA=det(A);

detA=det(A)         % detA = 35 (определитель не равен нулю)

A1=[x b c];

A2=[a x c];

A3=[a b x];

x1=det(A1)/det(A) % -0.5714

y1=det(A2)/det(A) % 1.4000

z1=det(A3)/det(A) % 1.6857

quiver3(0,a(1), a(2), a(3));

hold on;

quiver3(0,b(1), b(2), b(3));

hold on;

quiver3(0,c(1), c(2), c(3));

hold on;

quiver3(0,x1, y1, z1);

или

line([0;a(1)],[0;a(2)],[0;a(3)], 'LineWidth',2 )

line([0;b(1)],[0;b(2)],[0;b(3)], 'LineWidth',2 )

line([0;c(1)],[0;c(2)],[0;c(3)], 'LineWidth',2 )

line([0;x1],[0;y1],[0;z1], 'Color','red','LineWidth',2 ) ;grid

view(127,23)

% Построение осей координат

line([-5 0 0;5 0 0],[ 0 -5 0;0 5 0],[ 0 0 -5;0 0 5], 'LineWidth',0.5, 'Color', 'black' )

тогда .

Ответ: .

Задание 2

Даны координаты точек в правой прямоугольной системе координат. Вычислить в Matlab в форме «rational».

а) проекцию вектора на вектор ; сделать рисунок в Matlab? все элементы рисунка подписать.

A=[2 4 -2]

B=[0 1 -3]

C=[1 4 7]

D=[-3 0 5]

AB=B-A

AD=D-A

p=(dot(AB,AD)/(AD*AD'))*AD

figure;

quiver3(0,AB(1), AB(2), AB(3));

hold on;

quiver3(0,AD(1), AD(2), AD(3));

quiver3(0,p(1), p(2), p(3));

б) площадь треугольника АВС; изобразить плоскость треугольника АВС, построить векторы и .

A=[2 4 -2]

B=[0 1 -3]

C=[1 4 7]

D=[-3 0 5]

AB=B-A

AC=C-A

BC=B-C

d= cross(AB,AC)

S = 1/2*sqrt(sum(d .* d))

figure;

quiver3(0,AB(1), AB(2), AB(3));

hold on;

quiver3(0,AC(1), AC(2), AC(3));

quiver3(0,BC(1), BC(2), BC(3));

quiver3(0,d(1), d(2), d(3));

A =

2 4 -2

B =

0 1 -3

C =

1 4 7

D =

-3 0 5

AB =

-2 -3 -1

AC =

-1 0 9

S =

16.5756

в) объем тетраэдра АВСD; показать на рисунке как связаны смешанное произведение, с помощью которого вычисляется объем тетраэдра, и привычная «школьная» формула.

A=[2 4 -2]

B=[0 1 -3]

C=[1 4 7]

D=[-3 0 5]

AB=B-A

AC=C-A

AD=D-A

d= cross(AB,AC)

V = 1/6*dot(AD, d)

V =

6.3333

Задание 3

Решить систему по формулам Крамера, используя М-функцию Matlab. M-функция должна диагностировать: а) можно ли решить данную систему по правилу Крамера; б) выдать решение; в) делать проверку.

Решение

формулы Крамера: , где – главный определитель квадратной матрицы коэффициентов системы уравнений ; – вспомогательный определители, полученные из главного заменой столбца коэффициентов при соответственный неизвестных столбцом правой части

Найдем значения неизвестных: , ,

% Метод Крамера

A = [3 4 -5; 2 -3 3; 1 -2 1];

b = [2;2;0]; % Проверим невырожденность системы

rank(A) % По правилу Крамера

A1 = A;

A2 = A;

A3 = A;

A1(:,1) = b;

A2(:,2) = b;

A3(:,3) = b;

x1 = det(A1) / det(A) %= 1

x2 = det(A2) / det(A) %= 1

x3 = det(A3) / det(A) %= 1

x=[x1;x2;x3];

% Проверим решение

A*x - b

ans = 3

x1 = 1.0000

x2 = 1.0000

x3 = 1.0000

ans = 1.0e-14 *

-0.1776

0

0.0444