Никитина ДС Лабораторная работа 2

Лабораторная работа №2

КОМПЬЮТЕРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

НИКИТИНА ДАРЬЯ ПИН-21Д

Упражнение 2.1. Вычисление определителей II порядка

Введите

>> syms a11 a12 a21 a22

Создадим матрицу 2х2:

>> A=[a11 a12; a21 a22]

1. Мы можем вычислить определитель матрицы A, обращаясь к индексам элементов массива A:

>>detA=A(1,1)*A(2,2)-A(2,1)*A(1,2)

detA=

a11*a22-a12*a21

2. Мы можем вычислить определитель матрицы A

с помощью стандартной функции det(имя квадратной матрицы), тем самым сделав проверку:

>> detA=det(A)

detA =

a11*a22-a12*a21

И мы получили известную формулу для вычисления определителя.

Код:

>> syms a11 a12 a21 a22

>> A=[a11 a12; a21 a22]

A =

[ a11, a12]

[ a21, a22]

>> detA=A(1,1)*A(2,2)-A(2,1)*A(1,2)

detA =

a11*a22 - a12*a21

>> detA=det(A)

detA =

a11*a22 - a12*a21

Упражнение 2.2. Вычислить определители второго порядка.

Код:

>> A=[-1 4; -5 2]

A =

-1 4

-5 2

>> detA=A(1,1)*A(2,2)-A(2,1)*A(1,2)

detA =

18

>> detA=det(A)

detA =

18

>> syms a b

>> B=[a+b a-b; a+b a-b]

B =

[ a + b, a - b]

[ a + b, a - b]

>> detB=B(1,1)*B(2,2)-B(2,1)*B(1,2)

detB =

0

>> detB=det(B)

detB =

0

>> syms x

>> C=[x x+1; -4 x+1]

C =

[ x, x + 1]

[ -4, x + 1]

>> detC=C(1,1)*C(2,2)-C(2,1)*C(1,2)

detC =

4*x + x*(x + 1) + 4

>> collect(detC)

ans =

x^2 + 5*x + 4

>> detC=det(C)

detC =

x^2 + 5*x + 4

Упражнение 2.3. Решение систем по формулам Крамера

Код:

>> syms x y

>> A=[3 -5; 2 7]

A =

3 -5

2 7

>> D1=[13 -5; 81 7]

D1 =

13 -5

81 7

>> D2=[3 13;2 81]

D2 =

3 13

2 81

>> d=det(A)

d =

31

>> d1=det(D1)

d1 =

496

>> d2=det(D2)

d2 =

217

>> x=d1/d

x =

16

>> y=d2/d

y =

7

>> A=[3 -4; 3 4]

A =

3 -4

3 4

>> D1=[-6 -4; 18 4]

D1 =

-6 -4

18 4

>> D2=[3 -6;3 18]

D2 =

3 -6

3 18

>> d=det(A)

d =

24

>> d1=det(D1)

d1 =

48

>> d2=det(D2)

d2 =

72

>> x=d1/d

x =

2

>> y=d2/d

y =

3

Упражнение 2.4. Вычисление определителей III порядка

Код:

>> syms a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

>> B=[a1 b1 c1; a2 b2 c2; a3 b3 c3]

B =

[ a1, b1, c1]

[ a2, b2, c2]

[ a3, b3, c3]

>> detB=B(1,1)*B(2,2)*B(3,3)+B(1,2)*B(2,3)*B(3,1)+B(1,3)*B(2,1)*B(3,2)-B(1,3)*B(2,2)*B(3,1)-B(1,2)*B(2,1)*B(3,3)-B(1,1)*B(2,3)*B(3,2)

detB =

a1*b2*c3 - a1*b3*c2 - a2*b1*c3 + a2*b3*c1 + a3*b1*c2 - a3*b2*c1

>> detB=B(1,1)*(B(2,2)*B(3,3)-B(2,3)*B(3,2))-B(1,2)*(B(2,1)*B(3,3)-B(3,1)*B(2,3))+B(1,3)*(B(2,1)*B(3,2)-B(2,2)*B(3,1))

detB =

c1*(a2*b3 - a3*b2) - b1*(a2*c3 - a3*c2) + a1*(b2*c3 - b3*c2)

>> detB=det(B)

detB =

a1*b2*c3 - a1*b3*c2 - a2*b1*c3 + a2*b3*c1 + a3*b1*c2 - a3*b2*c1

Упражнение 2.5. Вычислить определители третьего порядка

Код:

>> B=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 1]

B =

1 2 3

4 5 6

7 8 1

>> detB=B(1,1)*B(2,2)*B(3,3)+B(1,2)*B(2,3)*B(3,1)+B(1,3)*B(2,1)*B(3,2)-B(1,3)*B(2,2)*B(3,1)-B(1,2)*B(2,1)*B(3,3)-B(1,1)*B(2,3)*B(3,2)

detB =

24

>> detB=B(1,1)*(B(2,2)*B(3,3)-B(2,3)*B(3,2))-B(1,2)*(B(2,1)*B(3,3)-B(3,1)*B(2,3))+B(1,3)*(B(2,1)*B(3,2)-B(2,2)*B(3,1))

detB =

24

>> detB=det(B)

detB =

24

>> B=[3 4 -5; 8 7 -2; 2 -1 8]

B =

3 4 -5

8 7 -2

2 -1 8

>> detB=B(1,1)*B(2,2)*B(3,3)+B(1,2)*B(2,3)*B(3,1)+B(1,3)*B(2,1)*B(3,2)-B(1,3)*B(2,2)*B(3,1)-B(1,2)*B(2,1)*B(3,3)-B(1,1)*B(2,3)*B(3,2)

detB =

0

>> detB=B(1,1)*(B(2,2)*B(3,3)-B(2,3)*B(3,2))-B(1,2)*(B(2,1)*B(3,3)-B(3,1)*B(2,3))+B(1,3)*(B(2,1)*B(3,2)-B(2,2)*B(3,1))

detB =

0

>> detB=det(B)

detB =

0

>> syms a b c x

>> B=[a+x x x; x b+x x; x x c+x]

B =

[ a + x, x, x]

[ x, b + x, x]

[ x, x, c + x]

>> detB=B(1,1)*B(2,2)*B(3,3)+B(1,2)*B(2,3)*B(3,1)+B(1,3)*B(2,1)*B(3,2)-B(1,3)*B(2,2)*B(3,1)-B(1,2)*B(2,1)*B(3,3)-B(1,1)*B(2,3)*B(3,2)

detB =

2*x^3 - x^2*(b + x) - x^2*(c + x) - x^2*(a + x) + (a + x)*(b + x)*(c + x)

>> collect(detB)

ans =

(a*b + c*(a + b))*x + a*b*c

>> detB=B(1,1)*(B(2,2)*B(3,3)-B(2,3)*B(3,2))-B(1,2)*(B(2,1)*B(3,3)-B(3,1)*B(2,3))+B(1,3)*(B(2,1)*B(3,2)-B(2,2)*B(3,1))

detB =

(a + x)*((b + x)*(c + x) - x^2) - x*(x*(b + x) - x^2) - x*(x*(c + x) - x^2)

>> collect(detB)

ans =

(b*c + a*(b + c))*x + a*b*c

>> detB=det(B)

detB =

a*b*c + a*b*x + a*c*x + b*c*x

>> B=[sin(a) cos(a) 1; sin(b) cos(b) 1; sin(c) cos(c) 1]

B =

[ sin(a), cos(a), 1]

[ sin(b), cos(b), 1]

[ sin(c), cos(c), 1]

>> detB=B(1,1)*B(2,2)*B(3,3)+B(1,2)*B(2,3)*B(3,1)+B(1,3)*B(2,1)*B(3,2)-B(1,3)*B(2,2)*B(3,1)-B(1,2)*B(2,1)*B(3,3)-B(1,1)*B(2,3)*B(3,2)

detB =

cos(b)*sin(a) - cos(a)*sin(b) + cos(a)*sin(c) - cos(c)*sin(a) - cos(b)*sin(c) + cos(c)*sin(b)

>> detB=B(1,1)*(B(2,2)*B(3,3)-B(2,3)*B(3,2))-B(1,2)*(B(2,1)*B(3,3)-B(3,1)*B(2,3))+B(1,3)*(B(2,1)*B(3,2)-B(2,2)*B(3,1))

detB =

sin(a)*(cos(b) - cos(c)) - cos(a)*(sin(b) - sin(c)) - cos(b)*sin(c) + cos(c)*sin(b)

>> detB=det(B)

detB =

cos(b)*sin(a) - cos(a)*sin(b) + cos(a)*sin(c) - cos(c)*sin(a) - cos(b)*sin(c) + cos(c)*sin(b)

Упражнение 2.6. Решение систем по формулам Крамера

Код:

>> A=[7 2 3; 5 -3 2; 10 -11 5]

A =

7 2 3

5 -3 2

10 -11 5

>> D1=[15 2 3; 15 -3 2; 36 -11 5]

D1 =

15 2 3

15 -3 2

36 -11 5

>> D2=[7 15 3; 5 15 2; 10 36 5]

D2 =

7 15 3

5 15 2

10 36 5

>> D3=[7 2 15; 5 -3 15; 10 -11 36]

D3 =

7 2 15

5 -3 15

10 -11 36

>> d=det(A)

d =

-36

>> d1=det(D1)

d1 =

-72

>> d2=det(D2)

d2 =

36

>> d3=det(D3)

d3 =

-36

>> x=d1/d

x =

2

>> y=d2/d

y =

-1

>> z=d3/d

z =

1

>> A=[2 1 0; 1 0 3; 0 5 -1]

A =

2 1 0

1 0 3

0 5 -1

>> D1=[5 1 0; 16 0 3; 10 5 -1]

D1 =

5 1 0

16 0 3

10 5 -1

>> D2=[2 5 0; 1 16 3; 0 10 -1]

D2 =

2 5 0

1 16 3

0 10 -1

>> D3=[2 1 5; 1 0 16; 0 5 10]

D3 =

2 1 5

1 0 16

0 5 10

>> d=det(A)

d =

-29

>> d1=det(D1)

d1 =

-29

>> d2=det(D2)

d2 =

-87

>> d3=det(D3)

d3 =

-145

>> x=d1/d

x =

1

>> y=d2/d

y =

3

>> z=d3/d

z =

5