Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
15.06.2021
Размер:
730 Кб
Скачать

Оглавление

 

Занятие 2. Определители II и III порядков. Формулы Крамера...............................................

1

Определитель второго порядка ................................................................................................

1

Упражнение 2.1. Вычисление определителей II порядка..................................................

1

Упражнение 2.2. Вычислить определители второго порядка. ..........................................

2

Приложение определителя 2-го порядка к решению систем по ...........................................

2

формулам Крамера. ...................................................................................................................

2

Упражнение 2.3. Решение систем по формулам Крамера .................................................

3

Определитель третьего порядка...............................................................................................

3

Упражнение 2.4. Вычисление определителей III порядка.....................................................

5

Упражнение 2.5. Вычислить определители третьего порядка ..........................................

5

Приложение определителя 3-го порядка к решению систем по ...........................................

5

формулам Крамера. ...................................................................................................................

5

Упражнение 2.6. Решение систем по формулам Крамера .................................................

6

Занятие 2. Определители II и III порядков. Формулы Крамера.

(технический аппарат)

Определитель второго порядка

Определителем второго порядка называется число, соответствующее квадратной матрице второго порядка, равное a11a22 a21a12. Для обозначения определителя обычно используют прямые скобки (или символ det):

 

a

a

 

det A

 

A

 

d

a

a

a

a

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

a

a

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнение 2.1. Вычисление определителей II порядка

Посмотрите/Вспомните Упражнения 1.4 и 1.5 из Занятия 1. Выполните их, затем перейдите к выполнению данного упражнения.

Введите

>> syms a11 a12 a21 a22

Создадим матрицу 2х2:

>> A=[a11 a12; a21 a22]

1

1. Мы можем вычислить определитель матрицы A, обращаясь к индексам элементов массива A:

>>detA=A(1,1)*A(2,2)-A(2,1)*A(1,2) detA=

a11*a22-a12*a21

2. Мы можем вычислить определитель матрицы A

с помощью стандартной функции det(имя квадратной матрицы), тем самым сделав проверку:

>> detA=det(A)

detA =

a11*a22-a12*a21

И мы получили известную формулу для вычисления определителя.

Упражнение 2.2. Вычислить определители второго порядка.

,

,

.

1)в тетради

2)обращаясь через индексы к элементам массива

3)сделать проверку с помощью стандартной функции det()

Приложение определителя 2-го порядка к решению систем по

формулам Крамера.

Возникновение математической конструкции «определитель» связывают с задачей исследования и отыскания: решения системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

2

a x

a x b ,

 

a x b ,

a x

где коэффициенты a11,

a21, a12, a22

при неизвестных x1, x2 и свободные члены b1, b2

системы уравнений считаются заданными.

 

 

 

 

 

 

Если ввести обозначения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

d

 

a

a

 

 

d

 

b

a

 

 

d

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

 

b

a

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

,

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если d , то решение системы может быть записано при помощи

формул Крамера:

x

d

 

x

d

 

d ,

d .

 

 

Формулы определяют единственное решение. Если d , то применение формул Крамера

невозможно, и дальнейшее исследование системы уравнений требует рассмотрения ряда случаев.

Упражнение 2.3. Решение систем по формулам Крамера

Решить системы по формулам Крамера

2.

Определитель третьего порядка

Пусть имеем квадратную матрицу третьего порядка:

 

a

a

a

 

 

 

 

 

 

 

a

a

a

 

 

 

a

 

 

A =

a

a

,

 

 

 

элементами aij

, которой могут быть элементы любого числового поля.

Определителем третьего порядка называется число:

a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a12 a21 a33 - a11 a23 a32 ,

3

составленное из элементов матрицы A. Слагаемые суммы называют членами определителя 3-го порядка. Обозначения определителя 3-го порядка аналогичны введенным для определителя 2-го порядка:

 

 

 

a

a

a

det A

A

d

a

a

a

 

 

 

a

a

a

Формула для вычисления определителя третьего порядка по определению:

 

 

 

a11

a12

a13

 

det A

A

d

a21

a22

a23

 

 

 

 

a31

a32

a33

 

=a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a12 a21 a33 - a11 a23 a32 ,

называется правилом Саррюса.

Для запоминания этого правила нередко используют геометрическую схему составления членов определителя и выбора их знаков.

1) положительные члены определителя составляют по схеме С1:

a11

 

 

a12

 

a13

a22

 

 

a23

 

a21

a33

 

a31

 

 

a32

 

 

 

 

 

 

2) отрицательные члены определителя составляют по схеме С2:

 

a13

 

 

a12

 

a11

a22

 

 

a21

 

 

a23

a31

 

 

 

a33

 

a32

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление определителя третьего порядка разложением по первой строке:

4

(это одно из свойств определителя, но пока мы будем работать с этим свойством, не вникая в его происхождение)

a11

a12

a13

a

 

a22

a23

 

a

 

a21

a23

 

a

 

a21

a22

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

a

 

 

 

 

 

 

21

22

23

11

 

a

a

 

12

 

a

a

 

13

 

a

a

 

 

a31

a32

a33

 

 

32

33

 

 

 

31

33

 

 

 

31

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11 a22a33 a23a32 a12 a12a33 a13a32 a13 a12a23 a13a22

=a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a12 a21 a33 - a11 a23 a32

Упражнение 2.4. Вычисление определителей III порядка

Создать квадратную матрицу

размером 3х3.

Вычислить определитель матрицы B

1)по правилу Саррюса, обращаясь через индексы к элементам массива

2)разложить по первой строке, обращаясь через индексы к элементам массива

3)сделать проверку, обращаясь к стандартной функции det()

Упражнение 2.5. Вычислить определители третьего порядка

Вычислить определители третьего порядка, при необходимости вводя символьные переменные, а также прибегая к упрощениям. Предварительно введите help sin и help cos, узнайте, как пользоваться синусом и косинусом. Упрощайте выражения.

1) по правилу Саррюса, обращаясь к индексам элементов массива

2)разложением по первой строке, обращаясь к индексам элементов массива

3) сделать проверку с помощью стандартной функции det()

, 2.

, 3.

, 4.

.

Приложение определителя 3-го порядка к решению систем по

формулам Крамера.

Пусть имеем систему уравнений с тремя неизвестными:

5

a x a x a x b ,a x a x a x b ,a x a x a x b ,

где коэффициенты aij,

 

i , , ; j , , при неизвестных xi , i , , и свободные члены bi ,

i , , системы уравнений считаются заданными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем обозначения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

a

 

 

 

 

 

 

b

a

a

 

 

 

 

a

b

a

 

 

 

 

a

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

a

a

a

 

 

 

d

 

b

a

a

 

 

d

 

a

b

a

 

 

d

 

a

a

b

 

 

 

a

a

a

 

 

,

 

 

b

a

a

 

,

 

 

a

b

a

 

,

 

 

a

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если d , то для записи решения системы можно использовать формулы Крамера:

x

 

d

 

 

x

 

 

d

 

 

 

x

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

,

 

d

,

 

 

d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулы определяют единственное решение. Если d , то применение формул Крамера невозможно, и дальнейшее исследование системы уравнений требует рассмотрения ряда случаев.

Упражнение 2.6. Решение систем по формулам Крамера

Решить системы по формулам Крамера,

сначала в тетради, затем в MATLAB.

1.

,

2.

6

Соседние файлы в предмете Линейная алгебра