Добавил:

anaaaaaaka Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

Физика

Файл:

формулы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.06.2021

Размер:

3.27 Mб

Скачать

☆

I. Кинематика

Движущаяся точка А

Траектория точки А — линия, по которой движется точка.

1. Основные понятия

Радиус-вектор — вектор, описывающий расположение точки в

Система отсчета —

ry = y

пространстве. Это направленный отрезок, проведенный из начала

координат в точку, положение которой он задает.

совокупность тела отсчета,

системы координат, связанной

Координата точки равна проекции радиус-вектора на координатную ось

с телом отсчета, и часов,

Тело отсчета — тело, относительно которого рассматривается

неподвижных относительно

rx = x

движение других тел.

Скорость точки

тела отсчета.

∆rr- Перемещение точки — изменение радиус-вектора

∆r

= dr = rr′(t)

(направленный отрезок, проведенный из начального

∆t

v = lim

положения точки в ее конечное положение).

∆t→0

∆t

∆rr = rr2 −rr1

s – путь, пройденный точкой —

если

v =const

Перемещение точки за время ∆t

r1 r

длина участка траектории между начальным

Ускорение точки

положением (1) и конечным положением (2),

если точка не проходит по одному участку

ar =

∆v

ar = lim

∆v

= dv = vr′(t) = rr′′(t)

траектории более одного раза (иначе путь

∆t

проекция

∆rx = ∆x = x2 – x1

находят как сумму путей на отдельных

∆t→0

участках).

если a = const

вектора ∆r

Проекция перемещения на координатную ось

Изменение скорости за время ∆t

на ось ОХ

равна изменению координаты

		Среднее ускорение		Средний вектор скорости				Средний модуль скорости
			= ∆vr	(средняя скорость перемещения)				(средняя путевая скорость)
численно	= ∆x	ar	= ∆vr	Изменение	r	∆r	Вектор перемещения		s
±Sпод	= ∆x	ср	∆t	скорости	vср	= ∆t	точки за время ∆t		v = t
граф vx (t )				за время ∆t				Путь, пройденный за время t
vx + - площадь выше оси t								Путь, пройденный за время t
vx + - площадь выше оси t
– - площадь ниже оси t				v		численно		ax
	t	численно				±Sпод		= ∆vx
	t	Sпод	= s			±Sпод		= ∆vx
		Sпод	= s	t		граф ax (t )			t
		граф v (t )				+ - площадь выше оси t			t
		граф v (t )

						– - площадь ниже оси t

2. Законы сложения скоростей и ускорений

r	r	r
r	r	r	Скорость «подвижной» системы отсчета (ПСО) относи-	v 1/2 = v 1 − v 2
vт/нсо =vт/псо +vпсо/нсо			тельно «неподвижной» (НСО) (переносная скорость)	v 1/2 = v 1 − v 2

Скорость точки (т) относительно «неподвижной» системы отсчета (НСО)

(абсолютная скорость)

Ускорение точки в «неподвижной» системе отсчета (НСО)

(абсолютное ускорение)

Скорость точки (т)	Скорость первой точки	Скорость первой точки	Скорость второй
относительно «подвижной»	относительно второй	Скорость первой точки	точки
системы отсчета (ПСО)		(в «неподвижной»	(в «неподвижной»
(относительная скорость)		системе отсчета)	системе отсчета)

		Ускорение «подвижной» системы отсчета (ПСО)
	aт/нсо =aт/псо +aпсо/нсо		относительно «неподвижной» (НСО)
			(переносное ускорение)
Если ПСО			Ускорение точки в «подвижной» системе отсчета
не вращается, движется поступательно			Ускорение точки в «подвижной» системе отсчета
относительно НСО			(ПСО)
относительно НСО

3. Нормальное и тангенциальное ускорения					Вектор скорости точки
	arn — нормальное ускорение —		an	v	Вектор ускорения («полное ускорение») представляют
составляющая полного			an	v	как сумму двух векторов (составляющих), один из
ускорения, перпендикулярная				a	которых (aτ ) параллелен скорости, а другой (an )
вектору скорости. Это ускорение
характеризует быстроту			aτ		перпендикулярен скорости:			ar =arτ +an
изменения направления вектора
изменения направления вектора				aτ — тангенциальное ускорение — составляющая полного ускорения,
скорости.		Радиус кривизны
	v 2	Радиус кривизны		параллельная вектору скорости. Это ускорение характеризует быстроту
	an = r	траектории в той точке,
	an = r	где имеет место данное		изменения модуля вектора скорости:		aτ =	dv
		нормальное ускорение.		изменения модуля вектора скорости:		aτ =	dt

4. Типы движений

4.1. Равномерное движение— движение, при котором точка за любые равные промежутки времени проходит

(v = const)

= v t

одинаковые пути (Вектор скорости не изменяется по модулю, но может меняться по

направлению)

Модуль скорости

Путь, пройденный точкой за время t

4.1.1 Равномерное прямолинейное движение — движение, при котором точка за любые равные промежутки

(vr =const )

s = v

x = x0 + vx t

времени совершает одинаковые перемещения. (Вектор скорости

( a =

0 )

не меняется ни по модулю, ни по направлению)

Проекция вектора скорости на координатную ось

Координата точки в начальный момент t = 0

Координата точки в момент t

4.1.2 Равномерное движение по окружности

(равномерное вращение — движение твердого тела, при котором любая его точка движется по окружности,

причем, центры всех этих окружностей лежат на одной прямой перпендикулярной плоскости вращения, и за

любые равные промежутки времени тело поворачивается на одинаковые углы.)

(ω = const)

∆ϕ

Угол, на который тело поворачивается за

s = v t

ω=

∆t

время ∆t (угол измеряется в радианах)

aц1

∆ϕ

2π

ω— Угловая скорость (измеряется в рад/с)

aц

ω=

v = ω R

R — Радиус окружности,

При равномерном движении по R

окружности точка обладает

по которой движется точка

ускорением, которое в любой

T - Период вращения — время,

момент направлено к центру

T =

за которое происходит один

этой окружности. Такое

ν =

полный оборот.

ускорение называется

t — время, за которое

ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫМ.

происходит N оборотов

v - скорость движения точки

ν - частота вращения — число,

aц

R – радиус окружности, по

оборотов, происходящих за единицу времени (за 1 секунду).

которой движется точка

Измеряется в герцах. 1 Гц = 1 оборот/с

vx , vy - проекции скорости в момент t

4.2 Движение с постоянным ускорением

(ar = const )

∆v

vx = v0x

+ ax t

v =v0 +at

vy = v0y

+ ay t

ax , ay - проекции ускорения

При a =const :

∆t

численно

v0x , v0y - проекции начальной скорости

±Sпод

= ∆x

∆x =vx +v0x t

(т. е. скорости в момент t = 0)

граф vx (t )

∆x ,

∆y – изменение координат:

+ - площадь выше оси t

+v0y

∆x = x – x0 ; ∆y = y – y0

– - площадь ниже оси t

+v0

∆y =

∆r

x , y – конечные координаты

2ar∆rr =v 2 −v02

(координаты в момент t)

2ax ∆x = vx2 - v x2

t 2

x = x0 + v0x t +

rr =rr +vr

2ay ∆y = vy2 - v0y2

t + at 2

Форма траектории

y = y0 + v0y t + ayt 2

при движении с постоянным ускорением:

Прямолинейная траектория (ar

иvr параллельны)

x0 , y0 – начальные координаты

(координаты в момент t = 0)

4.2.1 Равноускоренное движение ar ↑↑vr 4.2.2 Равнозамедленное движение a ↑↓v

Параболическая траектория

(ar иvr

не параллельны)

v = v0 − a t

2a s = v02 − v2

v = v0 + a t

2a s = v2 − v02

s =v0t +

at 2

s =

v +v0

s =v0t −

at 2

s =

v +v0

t ≤ tост

= v0/а

4.3 Гармоническое движение x = A cos(ωt + ϕ0) ,

vx = −A ω sin(ωt + ϕ0) , ax = −A ω2 cos(ωt + ϕ0)

(вдоль оси ОХ)

vm = A ω

am = A ω2

x — координата колеблющегося тела (смещение от равновесного

максимальная

максимальное

положения); ω — циклическая частота колебаний,

ω = 2π

ax = −ω2 x

скорость

ускорение

A — амплитуда колебаний (максимальное смещение)

период

колебаний (время одного полного колебания)

ϕ = ωt + ϕ0 — фаза колебаний, ϕ0 — начальная фаза.

В инерциальных системах отсчета (ИСО)

II. Динамика

1. Второйr законr Ньютонаr

mar = F1 + F2 + F3 +...

m — масса материальной точки,

ar— ускорение этой материальной точки,

F1 + F2 + F3 +... = Fравн — сумма всех сил, действующих на эту

материальную точку (равнодействующая сила). ИСО — системы отсчета, относительно которых любая материальная точка, свободная от действия сил, не имеет ускорения.

Инерциальной может приближенно считаться:

•Система отсчета, связанная с поверхностью Земли (если не требуется учитывать вращение Земли и силы притяжения к Солнцу и планетам)

•Система отсчета, с центром в центре Земли, оси которой направлены на звезды (если надо учесть вращение Земли вокруг своей оси, но вращение вокруг Солнца и притяжение к Солнцу и планетам можно не учитывать).

•Система отсчета, с центром в центре Солнца, оси которой направлены на звезды (если можно не учитывать вращение солнечной системы вокруг ядра галактики и притяжение к другим звездам).

Теорема о движении центра масс

Мсист — масса системы материальных точек (масса

тела или системы тел),

M систaц.м.

= F1внеш + F2внеш

+ F3внеш +...

arц.м. — ускорение центра масс этой системы,

В ИСО

F1внеш + F2внеш +... — сумма внешних сил,

Внешние силы —

силы, действующие на тела, входящие в систему, со

действующих на эту систему.

стороны тел, не входящих в эту систему.

3. Третий закон Ньютона

•

F21 = F12

Если одно тело (1) действует на другое тело (2) силой ( F12 ), то

•

F21 ↑↓ F12

второе тело (2) обязательно действует на первое (1) такой силой F21 , что →

•

F21 и F12

— лежат на одной прямой

•

F21 и F12

— имеют одну природу:

F21 = −F12

"1"

F12

например, если F12

- сила трения, то

"2"

F21 тоже сила трения.

Силы, действующие на тело со стороны тел, соприкасающихся с ним

4. Силы, которые могут действовать

(действие через контакт).

на тело, можно разделить на две группы:

Силы, действующие на тело со стороны тел, не соприкасающихся с ним

(действие через силовые поля: гравитационное, электрическое или

магнитное) — гравитационная, электрическая или магнитная сила.

5. Гравитационная сила

F21 = F12

= Fграв — сила гравитационного притяжения между

m m

F12 m2

= γ

двумя материальными точками или однородными шарами

(сферами), массы которых m1 и m2 .

грав

т. е. телами, размеры

r — расстояние между этими материальными

которых пренебрежимо

малы по сравнению с

γ — гравитационная постоянная

точками, или центрами шаров (сфер).

расстоянием между ними.

— измеряется в специальных экспериментах, очень важная

γ ≈ 6,67 10-11 Н м2/кг2

величина (фундаментальная константа)

≈F

=γ

Mпл

m =gm

Первая космическая скорость —

скорость спутника, который

тяж

грав.наповерхн.

Fтяж = mg ≈ Fграв. на поверхн. вращается вокруг планеты по

пл

круговой орбите минимального

g - ускорение

g =γ

Mпл

Rпл

возможного радиуса r ≈ Rпл

свободного

Для такого спутника по II закону Ньютона: ma = Fтяж

падения на

поверхности

Rпл

Ускорение спутника — центростремительное

планеты

ускорение (т. к. он равномерно движется по

Вес тела — сила, с которой это тело, благодаря наличию у него массы,

окружности) a = aц = v2/r , сила тяжести Fтяж = mg.

Учитывая, что r ≈ Rпл, получим:

давит на подставку, на которой лежит, или действует на подвес,

v 2

на котором висит.

= mg

vI =

gRпл

Перегрузка — превышение весом величины mg. Возникает в ракетах,

Rпл

лифтах и пр. при движении с ускорением, направленным вверх.

Невесомость — состояние, в котором вес равен нулю (т. е. тело не давит на подставку). Невесомость может возникать не только при отсутствии гравитационной силы, но и в лифтах, самолетах, космических кораблях и пр., движущихся с a = g .

6. Силы, действующие через контакт (со стороны прикасающихся тел)

6.1. Если к телу прикасается твердая поверхность , то со стороны этой поверхности на тело могут действовать

две силы:

Nr - сила

Сила трения - Fтр

нормальной

Fтр - направлена всегда параллельно поверхности,

реакции

со стороны которой действует (по касательной к

N - направлена

поверхности, если поверхность не плоская).

всегда

Эта сила мешает телу скользить по поверхности (иногда делает скольжение

перпендикулярно

совсем невозможным).

к поверхности,

По своей природе она является результатом взаимного притяжения молекул

со стороны которой

тела и поверхности, а также зацепления микронеровностей тела и поверхности.

она действует.

Эта сила мешает телу "пройти сквозь

Сила трения может отсутствовать: Fтр = 0, если

поверхность" (т. е. ограничивает область

1. В задаче указано, что "поверхность гладкая".

возможного движения тела).

2. Тело "не стремится скользить", т. е. оно не скользило бы по поверхности

По своей природе она является силой

даже, если бы поверхность вдруг стала абсолютно гладкой и скользкой.

упругости.

Сила нормальной реакции действует всегда,

Fтр

= µN

Если

µ- коэффициент трения

когда между телом и поверхностью есть

происходит

между телом и поверхностью.

контакт.

скольжение

Он зависит от материала,

≤ µN

степени шероховатости

Если нет

тела и поверхности,

тр

скольжения

а также от скорости тела

относительно поверхности v. (см. график)

6.2. Если к телу прикреплена нерастяжимая натянутая нить (трос, веревка и т. п.), то со стороны этой нити на

тело действует сила реакции нити (сила натяжения нити)

T - сила реакции нити- направлена всегда по нити (или по

T - сила, действующая на

касательной к нити, если нить не прямолинейна).

потолок со стороны веревки,

прикрепленной к нему.

Если мысленно разделить нить на две части, то сила реакции будет

Деформация считается упругой,

действовать со стороны одной части нити на другую часть этой нити. (В этом

если после прекращения действия

случае чаще употребляют название "сила натяжения нити".)

деформирующих сил тело

возвращается к начальной форме

6.3. Если к телу прикасается

упруго

деформированное тело (пружина, упругий

стержень, резиновый шнур и т. п.),

то со стороны упруго деформированного тела действует сила упругости ( Fупр ) на тела, мешающие ему вернуться в

недеформированное состояние. (Если мысленно рассечь деформированное тело на части, то со стороны одной части на другую тоже может действовать сила упругости.)

l0 - длина недеформированной (свободной) пружины

l0 - длина недеформированного стержня

∆l = l − l0 - удлинение пружины

∆l

l −l0

- относительное

k - коэффициент жесткости

ε =

пружины

удлинение

стержня

l - длина

деформированной пружины

l - длина деформированного стержня

Fупр

= k ∆l

При

F12 - сила упругости, действующая со

Fупр

малых упругих деформациях

F21

стороны части "1" на часть "2".

сила упругости,

↑

S - площадь

Fупр

действующая со стороны

σ =

части "2" на часть "1".

поперечного сечения

- механическое

Из закона Гука:

стержня (S Fупр )

напряжение, возникающее в

Fупр

= E

∆l

Fупр =

∆l

стержне

Е- модуль упругости

Закон Гука:

σ = Eε

При малых

(модуль Юнга)

Значит, для упругого стержня Fупр = k ∆l ,

упругих деформациях

материала стержня.

где k = ES/l0 - коэффициент жесткости упругого стержня.

III. Законы сохранения. Работа и мощность.

m - масса материальной точки

pr ↑↑ vr

Импульс материальной точки

p =m v

v - скорость этой материальной точки

↑

Импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов всех

всегда!

точек, входящих в эту систему.

= pr

+ pr

+K+ pr

Пример: импульс однородного диска, вращающегося

вокруг неподвижной оси, проходящей через центр

сист

prдиск = pr1

+ pr

2 + pr

3 + pr

4 +K+ prn =0

3. Теорема об изменении импульса материальной точки

∆t

∆pr = pr

2 − pr1 - изменение импульса материальной точки.

∆p

=∑F

∑Fr

- сумма всех сил, действующих на материальную точку.

∑Fr =const

Выводится из II закона Ньютона: mar =∑Fr . Если ∑Fr =const , то ar =const и

ar = ∆vr

=vr2 −vr1

Подставив в уравнение↑и, домножив обе части на ∆t , получим …

∆t - время действия сил.

∆t

F ∆t - импульс силы.

4. Теорема об изменении импульса системы материальных точек

Из п. 2: ∆prсист =∆pr1 +∆pr2 +K+∆prn =∑Fr∆t ;

∑Fr =∑Frвнеш +∑Frвнутр =∑Frвнеш +0

↑

∑Fr — сумма всех сил, действующих на все мат. точки системы

Из п.3: ∆pr1 = ∑Fr1∆t , ∆pr

= ∑Fr2 ∆t , …

∑Frвнеш — сумма внешних сил, действующих на все мат. точки системы

∑Fr

внутр— сумма внутренних сил, действующих на все мат. точки системы

∑Frвнутр =

Fr21

+ Fr31 +K+

Fr12

+ Fr32 +K+ Fr13 + Fr23 +K=0 — по III закону Ньютона Fr12 + Fr21 =0,

Fr13 + Fr31 =0, K

∆prсист =∑Frвнешн ∆t

∑F внеш =const

5. Закон сохранения импульса:

prсист′ = prсист′′

Если, 1) ∑Frвнеш =0

2) ∆t ≈ 0 - при быстрых взаимодействиях (взрывах, выстрелах, соударениях), если внешние силы не возрастают до больших значений и остаются малы по сравнению с внутренними силами.

∑Frвнеш — сумма внешних сил, действующих на все мат. точки системы

∆t — время, в течение которого действовали силы.

∆prсист — изменение импульса системы материальных точек за время ∆t

Импульс системы материальных точек сохраняется, если

1)Сумма внешних сил, действующих на эту систему равна нулю.

2)Время действия внешних сил мало так, что импульс системы не успевает

существенно измениться - выстрелы, взрывы, соударения, при которых внешние силы малы по сравнению с внутренними силами.

Кроме того, 3) сохраняется проекция импульса на ту координатную ось, к которой

перпендикулярна сумма внешних сил.

pсист′ x = pсист′′ x , если ∑Frвнеш OX

6. Работа силы

A r

cos α

— работа силы Fr

Единица измерения

∆r

= F ∆r

работы в СИ

r F

(и движение по прямой, в

∆r — перемещение материальной точки, на

1Дж = 1Н м

F =const

неизменном направлении.)

α ∆rr

которую действует сила F .

А > 0, если α — острый угол. r

α— угол между силой Fr и перемещением ∆rr.

А < 0, если α — тупой угол. F

∆r

Чтобы найти работу не постоянной силы над точкой, которая движется по произвольной

А = 0, если

α = 90о.

∆r

траектории, надо мысленно разбить движение на такие малые перемещения dr1

, dr2 ,K,

∆r

чтобы на каждом из них с достаточной точностью можно было бы считать движение

прямолинейным, а силу постоянной. Тогда

drr2

A = F dr

+F dr +K

dr1

7. Мощность

N =

Работа, совершенная за время t.

Единица измерения

мощности в СИ

Если мощность не постоянна, то вычисляется

1 Вт = 1Дж/с

средняя мощность:

мгновенная мощность:

N = const

Nср =

r r

= F v cosα

= Fdr = Fr vr

8. Механическая энергия

Потенциальная энергия — этой энергией обладают тела, на которые

Емех = Ек + Ер

действуют консервативные силы: Fграв (Fтяж), Fупр, Fэлектр

Консервативны, если они неизменны во времени для каждого

Кинетическая энергия

положения, или являются внутренними для системы.

Силы, работа которых над системой при ее перемещении зависит только от

Этой энергией обладают движущиеся тела.

начального и конечного положений этой системы. Работа консервативных

mv 2

Ekсист

= Ek1 +Ek 2 +K

сил не зависит от того, каким способом (по какой траектории) система была

переведена из начального положения в конечное.

Кинетическая энергия системы

Основное свойство консервативных сил: работа консервативных сил

материальных точек.

над системой, совершившей движение по замкнутой траектории

Кинетическая энергия

(когда конечное положение совпадает с начальным), равна нулю.

материальной точки массой m, движущейся со скоростью v.

Потенциальная энергия — это такая функция от расположения

Теорема о кинетической

системы, убыль которой при перемещении системы равна работе

Работа всех сил,

консервативных сил на этом перемещении.

Еp1 – Ep2 = Aконс1-2

энергии: ∆E

действующих в

Чтобы вычислить конкретное значение Ер , договариваются в каком

всехсил

системе.

положении системы "О" считать Ер(О) = 0. Тогда в произвольном

Изменение

положении "М" потенциальная энергия системы Ер(М) = Аконс М–О

кинетической энергии системы

Ер(тяж) = ±mghцентра масс над нулевым уровнем

9. Теорема о механической энергии

∆Eмех = ∆Ek + ∆E p = Aвсехсил

− Aконс = Aнеконс.сил

h (+)

∆Eмех = Анеконс

Epупр = k∆l

Ер = 0

h (–)

10. Закон сохранения механической энергии

E′

E′′

Механическая энергия системы материальных

Если Анеконс = 0

точек сохраняется, если в системе совершают

мех

работу только консервативные силы (Анек = 0)

11. Диссипативные силы — неконсервативные силы, работа которых сопровождается выделением

Fтрения скольжения ; Fсопр. жидк. и г.; Fнеупруг. взаимод.

тепла.

Авнутр. дис = – Q — не зависит от системы отсчета

E′мех – E″мех = Q

Если Анеконс = Авнутр. дис.

12. Методы вычисления работы

13. Средняя по времени сила

AFr

cos

∆pr

∆r

= F ∆r

F =const

сист

Aконс1-2 = Еp1 – Ep2

ср

∆t

Атяж = mg(h1 – h2)

Средняя по времени сумма

Изменение

внешних сил,

Анеконс = ∆Eмех

Aупр = k

действующих на систему

импульса

системы за

(∆l12 −∆l22 )

материальных точек

время ∆t

Aвсех сил

= ∆Ek

ОХ, или

Если

Ar = ±Sподграфиком F ( x)

ОХ

Численно

"+" − если график выше оси x

"−" − если график ниже оси x

IV. Статика и гидростатика					Твердым телом называется тело,
IV. Статика и гидростатика					расстояние между любыми двумя
1. Для равновесия твердого тела или системы тел необходимо одновременное выполнение					точками которого не изменяется с
					течением времени (или меняется
двух условий:					пренебрежимо мало).
I условие равновесия: Сумма внешних сил, действующих на систему, должна быть равна нулю.						Внешними называются силы,
	r	r				действующие на тела, входящие
	r	r
	F внеш	+F внеш +K=0
	F внеш	+F внеш +K=0	в систему, со стороны тел, не входящих в эту систему.
	1	2
II условие равновесия: Сумма моментов внешних сил, действующих на систему,				M Frвнеш		+M Frвнеш +K=0
		должна быть равна нулю		M Frвнеш		+M Frвнеш +K=0
		относительно любой оси вращения.			1	2
		относительно любой оси вращения.

2. Вращающим моментом силы относительно оси вращения называется взятое со знаком «+» или «−» произведение
M F	модуля этой силы на ее плечо. Плечом силы называется длина перпендикуляра, проведенного
	=±F dF		из оси вращения на линию действия этой силы
r	r
	Знак «+» берется, если сила F		Замечание.
			Приведенное здесь определение вращающего
	стремится повернуть тело
		dFr	момента справедливо лишь для сил, лежащих в
	против часовой стрелки,
			плоскости перпендикулярной оси вращения.
	знак «−» — если по часовой.	F

Единица измерения М в СИ: 1 Н м

Момент этой силы — отрицательное число: M Fr <0

3. Не всегда одновременное выполнение I и II условий равновесия гарантирует неподвижность механической системы. Покой системы невозможен в положениях неустойчивого равновесия (т.е. в таких положениях, любое бесконечно малое смещение из которых, приводит к тому, что сумма внешних сил (или их моментов) стремится еще больше удалить систему от равновесного положения). Реализованы могут быть только положения устойчивого равновесия (т.е. такие положения, любое бесконечно малое смещение из которых, приводит к тому, что сумма внешних сил (или их моментов) стремится вернуть систему обратно в равновесное положение) и положения безразличного равновесия (т.е. положения, при бесконечно малых смещениях из которых сумма внешних сил и их моментов остается равна нулю).

4. Центром масс системы материальных точек m1, m2, … , mN называется геометрическая точка (С), координаты которой определяются формулами:

xC =	m1 x1 +m2 x2 +K+mN xN	;	yC =	m1 y1 +m2 y2 +K+mN yN	;	zC =	m1 z1 +m2 z2 +K+mN zN
							m1 +m2 +K+mN
	m1 +m2 +K+mN			m1 +m2 +K+mN

Центр тяжести (т. е. точка приложения равнодействующей силы тяжести) совпадает с центром масс системы, если эта система находится в однородном гравитационном поле (или напряженность поля тяготения меняется в пределах системы

незначительно)		(т.е. жидкость неподвижная относительно стенок сосуда)
5. Сила гидростатического давления — сила, с которой покоящаяся жидкость действует на погруженные в нее тела,
По своей природе эта сила	стенки и дно сосуда, в котором жидкость находится (без учета поверхностного
По своей природе эта сила	натяжения).
является		Сила гидростатического давления
силой объемной упругости		всегда направлена перпендикулярно к той
Она возникает, если жидкость		поверхности, на которую она действует
сжата (например, прижата силой		(поскольку сила объемной упругости не может
тяготения к внутренней		иметь составляющей параллельной поверхности,
поверхности неподвижного сосуда)		деформированного тела, а упругостью формы
и зависит от степени сжатия.		жидкость не обладает)

6. Давлением жидкости на плоскую поверхность называется отношение силы гидростатического давления, действующей на эту поверхность, к площади поверхности (при условии, что сила распределена по поверхности равномерно).

p =

Fгидр. давл.

Если сила давления неравномерно распределена по поверхности, то можно вычислить среднее давление

или давление в данной точке поверхности

Fгидр. давл.

Сила гидростатического давления, действующая

pср =

p =

гидр. давл.

на бесконечно малую площадку dS

• поверхность плоская

• давление одинаково во

площадь бесконечно малой площадки

поверхность плоская

всех точках поверхности

(эта площадь dS мала на столько, что площадку можно

с достаточной точностью считать плоской и

Единица измерения давления в СИ: 1Па = 1 Н/м2.

изменением давления в пределах dS можно пренебречь)

Fдавл.

= pср S =

7. Давление в какой-либо точке жидкости — это давление на воображаемую

на стенку

бесконечно малую площадку, на которой лежит эта точка. Причем, можно доказать, что

pA + pB

давление в данной точке жидкости не зависит от ориентации той воображаемой

бесконечно малой площадки, на которую производится это давление.

pА = p1 = p2 = p3

Fдавл.

на стенку

Давление в точке жидкости А

8. В однородной покоящейся жидкости				жидкость неподвижна относительно
давления в точках, лежащих				стенок сосуда (не течет), а сосуд не
				имеет ускорения в ИСО		1	2		3	4
в одной горизонтальной плоскости (на одном уровне), одинаковы.											g
плотность жидкости ρ					p1 = p2 = p3 = p4
	Открытая в атмосферу, свободная
одинакова во всех ее точках
поверхность жидкости горизонтальна,									горизонтальная плоскость —
т. к. во всех ее точках давление одинаково и равно атмосферному.						плоскость, перпендикулярная вектору g
Док-во: Мысленно выделим в жидкости прямоугольный параллелепипед А1В1С1D1А2В2С2D2.						F1	С1			С2
Площадь А1В1С1D1 так мала, что во всех ее точках давление одинаково. Сторона А1А2 горизон-											F2
							В1			В2
тальна. Выделенный объем жидкости находится в равновесии, поэтому сумма всех действующих								D1
r	r	r	r				А1		mg	D2
на него сил равна нулю: mg	+ F1	+ F2	+ Fбок =0 (Сила Fбок		— сумма сил					А2
гидростатического давления на боковые поверхности А1В1В2А2, В1С1С2В2, С1D1D2C2, D1A1A2D2.) О											Х
В проекциях на горизонтальную ось ОХ это уравнение имеет вид: F1 – F2 = 0 F1 = F2 Разделив обе части этот равенства на площадь
А1В1С1D1, получим что давления на площадки А1В1С1D1				и А2В2С2D2 равны: p1 = p2 .

9. В однородной покоящейся жидкости давления в точках, лежащих на разных

горизонтальных уровнях, отличаются на

ρ − плотность жидкости

pн − pв = ρgh

h − расстояние между верхним

давление в точке, лежащей

давление в точке

ускорение

и нижним уровнями

на более низком уровне

g −

лежащей на более высоком уровне

свободного падения

Док-во: Мысленно выделим в жидкости прямоугольный параллелепипед с горизонтальными основаниями.

Fв

Выделенный объем жидкости находится в равновесии, поэтому сумма всех действующих на него сил равна нулю:

mg + Fн

+ Fв + Fбок

=0 (Сила Fбок

— сумма сил гидростатического давления

на боковые вертикальные поверхности .)

В проекциях на вертикальную ось ОY это уравнение имеет вид: –mg + Fн – Fв = 0 Fн – Fв = mg = ρShg

(здесь масса выделенного объема жидкости m представлена как произведение ее плотности ρ на объем V = Sh

Разделив обе части этот равенства на площадь основания S , получим: pн − pв = ρgh.

10. Архимедова сила— выталкивающая (подъемная) сила, действующая на тело, погруженное

Fн

= Fr

+ Fr +

в жидкость или газ. Архимедова сила есть сумма всех сил гидростатического давления,

Рис. 10.1

Арх

действующих на тело, погруженное в жидкость или газ (кроме тех случаев, когда тело плотно

+K+ FrN

прижато к дну или стенке сосуда так, что жидкость (газ) не проникает между телом и дном

(стенкой) — в этих случаях суммарную силу гидростатического давления не называют

архимедовой силой)

FrN

= mвыт g

ускорение свободного

FАРХ = ρж Vпогр g

Vпогр

АРХ

падения

mвыт — масса «вытесненной

» жидкости — масса такой

если жидкость

ρ — плотность среды

же жидкости, как вокруг тела, которая уместилась бы в

однородна

(жидкости или газа),

объеме погруженной части тела Vпогр

в которую

погружено тело

Док-во: Сумма сил гидростатического давления Fr1

+ Fr2 +K+ FN = FАрх

, действующих на объем Vпогр не зависит от того, какое вещество

находится внутри этого объема ( F1 , F2 , … – силы упругости, они зависят от деформации жидкости, окружающей объем

Vпогр , а не от содержимого этого объема). Мысленно выделим в покоящейся жидкости объем, совпадающий с Vпогр по

Рис. 10.2

FАрх

форме и расположению (рисунок 10.2). На него будут действовать точно такие же силы гидростатического давления

Fr1 , Fr2 , … , как и на объем погруженной части тела Vпогр . Выделенный в жидкости объем находится в равновесии, значит,

выт

gr = 0

= mвыт g , что и требовалось доказать.

Арх

АРХ

(В этом доказательстве считается, что атмосферного давления нет. Чтобы учесть его наличие, можно

Vпогр

рассматривать тело на рисунке 10.1, как плавающее на границе раздела двух сред – жидкости (ρ2) и воздуха (ρ1))

Если тело плавает на границе нескольких сред, плотностями ρ1, ρ2, … (На рис. 10.3 пример, когда

сред две), то масса вытесненной жидкости mвыт находится как сумма mвыт = ρ1V1

+ ρ2V2

+ …

(V1 — объем той части тела, которая погружена в первую среду,

Рис. 10.3

V2 — объем той части тела, которая погружена во вторую среду, и. т. д.)

mвыт g

Архимедова сила в этом случае равна F

= (ρ1V1 + ρ2V2 + …)g

ρ1

АРХ

11. Если сосуд с жидкостью движется с ускорением arв ИСО, то в системе отсчета, связанной с сосудом, на каждую

ρ2

точку этой жидкости вместе с силой тяжести mgr действует сила инерции Fин =−mar. Если жидкость неподвижна

относительно сосуда, то в системе отсчета, связанной с движущимся сосудом, можно использовать формулы из

gr′

′

пунктов 9 и 10, заменяя в них gr на

g′= gr

−ar.

p2 = p3

FАрх =−ρVпогрg

p1 – p2 = ρg′h

−a

V. Тепловые явления

Для идеального газа

Абсолютная температура

pV =νRT

T = (t oC + 273)К

1. Уравнение Менделеева-Клапейрона

Давление газа (в Па)

Универсальная газовая постоянная

1 атм ≈ 105 Па ≈ 760 мм.рт.ст.

R ≈ 8,31 Дж/(моль К)

Объем газа (в м3)

Количество вещества — число моль газа.

1 л = 10

-3

1 моль — группа из ≈ 6,02 1023 молекул.

k = R/NА ≈ 1,38 10-

23 Дж/К

Число Авогадро

NRT

NА ≈ 6,02 1023 моль-1

постоянная Больцмана

pV =

ν =

Число молекул газа

N A

Число молекул в 1 моль

разделим обе части на V:

p =

pV =

ν = m

Масса газа

n = N/V

— концентрация газа -

разделим обе части на V:

Масса 1 моль газа — молярная масса

число молекул в 1 м .

mRT

p = nkT

p =

ρ = m/V

— плотность газа.

15,9994 О

М ≈ 16 10-3 кг/моль

2. Закон Дальтона

p =

Кислород

pсмеси = p1 + p2 + …

Давление смеси

Парциальное давление первого из газов, входящих в смесь, — т. е. давление, которое создавал бы этот

ν1 RTсмеси

газ, если бы он один занимал весь объем смеси.

нереагирующих

газов.

Vсмеси

Для идеального газа

Основное уравнение МКТ

m0 =

Масса 1 моль

Число молекул

N A

p =

nEkпост

0vкв2

m v 2

в 1 моль

Ekпост =

0 кв

Масса одной молекулы

Плотность газа ρ

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул

vкв =

m0v1

m0v2

+K+

m0v N

пост

v 2

+v 2 +K+v 2

m0v 2

m v 2

Средняя квадратичная скорость

Ek =

0 кв

4. Газовые законы

Из pV = νRT следует, что если ν = const, то

= const

p1V1

p2V2

ν = const,

p V = p V

p(V )

= νRT

T = const

Изотермический процесс,

T2 >T1

график - изотерма.

ν = const ,

газ идеальный

V (T )=

νR T

ν = const,

p = const

Изобарный

процесс,

p2 > p1

график - изобара

p(T )= νVR T

ν = const,

V = const

V1 < V2

Изохорный

процесс,

график - изохора.

Работа газа

5. Первый закон термодинамики

Q = ∆U + Aгаза

Агаза = − Анад газом

Количество

теплоты, полученное (Q > 0)

или отданное (Q < 0) системой.

V = const

(Энергия, полученная или отданная системой в процессе

Изменение внутренней

Агаза = 0

теплопередачи, т. е. при обмене энергиями между

энергии системы

молекулами — на микроскопическом уровне.)

U = Ek тепл + Ep взаим

C =

Q = C∆T

p = const

∆T

Внутренняя

Кинетическая

Потенциальная

Агаза = p∆V = νR∆T

Теплоемкость тела (системы)

энергия

c =

Q = cm∆T

хаотического

взаимодействия

ν = const

(теплового)

молекул друг с

численно

m∆T

движения

другом.

Удельная теплоемкость вещества

молекул.

Агаза =

± Sпод граф. р(V)

В идеальном газе Ek тепл >> Ep взаим , поэтому

"+" — если газ расширяется

CM = ν∆T

Q = CM ν∆T

U = Ek тепл =

"−" — если газ сжимается

Молярная теплоемкость вещества

νRT

∆U

i = 3 для одноатомных газов (Не, Ne, Ar, …)

При V = const: CV = ∆T

i = 5 для двухатомных газов (Н2, N2, О2, воздух, )

i = 6 для многоатомных газов (пары Н2О, …)

При p = const:

∆U

+ A >

∆U =

( p V − p V ) =

νR∆T

Cp =

Нагреватель

∆T

2 2

1 1

Tнаг

6. Адиабатический процесс

Для идеального газа

Q = 0 Aгаза = − ∆U

подв

∆U = CV ∆T = cV m∆T = CM V ν∆T

В теплоизолированной системе или при быстрых процессах

Для идеального газа

в любом процессе

При адиабатическом расширении (Агаза > 0) газ охлаждается (∆U < 0)

Рабочее

При адиабатическом сжатии (Агаза < 0) газ нагревается (∆U > 0)

вещество

Адиабата — гипербола, идущая более "круто" чем изотермы (с ростом V убывает T).

(газ)

7. КПД циклического процесса

Изотермы

(теплового двигателя)

Qотв

ηцикла =

Aгазавцикле

Qподв −

Qотв

=1−

Qотв

Холодильник

Qподв

Tхол

Qполн. за цикл = Qподв + Qотв = ∆Uв цикле + Aгаза в цикле

= Tнаг −Tхол

Qотв < 0 Qотв = − Qотв

∆Uв цикле = Uкон − Uнач = 0

идеал

Qподв − Qотв = Aгаза в цикле

Tнаг

Агаза в цикле = ± Sвнутри цикла р(V)

"+" − если цикл идет "по часовой стрелке"

КПД идеальной тепловой

"−" − если цикл идет "против часовой

машины, работающей по

численно

стрелки"

циклу Карно — максимальный

6. Насыщенный пар

теоретически возможный КПД

— газ, дальнейшее изотермическое сжатие или изохорное

охлаждение которого приводит к превращению части этого

при данных Тнагр и Тхол.

Идеальная

изотерма

газа в жидкость (при наличии центров конденсации).

газ, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью, т. е. в состоянии, когда число

рнас

молекул, переходящих из газа в жидкость равно числу молекул, переходящих обратно за то же время.

Реальные изотермы: область I

- вода

Давление насыщенного пара (а также его плотность)

область II - вода в равновесии с насыщенным

однозначно определяется температурой и больше ни

область III - газ

паром

от чего не зависит (ни от объема, ни от массы пара).

Tкр - критическая температура, при Т > Tкр газ

Относительная влажность воздуха

никаким сжатием нельзя перевести в жидкость.

pпара ввоздухе

ρпара ввоздухе

ϕ =

(×100 %)

Условие кипения:

pнас = pна пузырек ≈ pатм ,

Для воды pнас (100 оС) ≈ 105 Па

pнас. пара при даннойТ

ρнас. пара приданнойТ

Напряженность электрического поля, создаваемого в той точке, где находится заряд q, всеми остальными зарядами (кроме q).

Характеристики электрического поля

VI. Электростатика

k =

≈9 10

9 Н м2

1. Закон Кулона

4πε0

Кл

Сила

Fэл = k

ε0 ≈ 8,85 10-12 Ф/м — электрическая постоянная

электростатического

εr

взаимодействия

r — расстояние между зарядами q1 и q2

точечных зарядов q1 и q2

Точечными считаются заряженные тела,

ε— диэлектрическая проницаемость среды, в которой находятся заряды q1 и q2

(полагается, что среда — безграничный, однородный диэлектрик)

размеры которых пренебрежимо малы по

сравнению с расстоянием между ними.

εвозд ≈ εвакуума = 1

Заряды противоположных знаков ("разноименные")

2. Принцип суперпозиции

притягиваются друг к другу:

F21

F12

Если на заряд q действуют несколько зарядов Q1, Q2, … , то:

Fна q = Fна q (Q1 )+ Fна q (Q2 )+K

Заряды одинаковых знаков ("одноименные")

отталкиваются друг от друга:

Сила, действующая

Сила, которая действовала

F21 q1

q2 F12

F21

F12

на заряд q со

бы на заряд q со стороны

стороны системы

заряда Q1, в отсутствие

зарядов Q1, Q2, …

остальных зарядов Q2, Q3, … Q2

3. Электрическое поле	— особая материя,	F = F1 +F2

возникающая вокруг любых электрических зарядов и действующая электрической силой на любые электрические заряды, попавшие в это поле.

Er — напряженностьэлектрического поля — силовая характеристика поля. Напряженность численно равна силе, которая действовала бы на единицу пробного заряда, помещенного в данную точку

r поля. r

Fнаэлq = qE

Электрическая сила,

Fна(+) ↑↑ E

действующая на

точечный заряд q со

стороны электрического

поля.

Fна(−) ↑↓ E

ϕ— потенциалэлектрического поля — энергетическая характеристика поля. Потенциал численно равен потенциальной энергии, которую имела бы единица пробного заряда, помещенного в данную точку поля.

W = q ϕ	Aэл. надq = q(ϕ −ϕ		)
Потенциальная	1−2	1 2

	энергия заряда q,	Работа электрических сил над зарядом q
	который находится	при его перемещении из точки с
	в точке, где все	потенциалом ϕ1 в точку с потенциалом ϕ2.
	остальные заряды	потенциалом ϕ1 в точку с потенциалом ϕ2.
	остальные заряды	(потенциалы ϕ1 и ϕ2 создаются всеми
	(кроме q) создают	зарядами, кроме q)
	потенциал ϕ.

3 . 1 . Напряженность и потенциал электрического поля, созданного одним точечным зарядом Q

ϕ = 0 на ∞

= k

ϕM = k

εrM2

εrM

М Напряженность электрического поля,

Потенциал электрического поля, созданного точечным

созданного точечным зарядом Q в

зарядом Q в точке М, расположенной на расстоянии rM от Q.

E направлен от "+" зарядов

точке М, расположенной на

к "−" зарядам

расстоянии rM от Q.

3 . 2 . Напряженность и потенциал

электрического поля,

ErM = ErM (Q1 )+ Er

созданного системой точечных зарядов Q1 , Q2 , …

M (Q2 )+K

ϕМ = ϕМ(Q1) + ϕМ(Q2) + …

Потенциал электрического поля, которое

Напряженность

Напряженность электрического поля,

Потенциал

которое создавал бы в точке М заряд

создавал бы в точке М заряд Q1, в

электрического

Q1, в отсутствие остальных зарядов

отсутствие остальных зарядов Q2, Q3, …

поля, созданного

системой точечных

Q2, Q3, …

системой точечных

зарядов Q1, Q2, …

зарядов Q1, Q2, … в

в точке М

точке М

E = E1 +E2

+ +

3 . 3 . Напряженность и потенциал электрического поля, созданного

равномерно заряженным по поверхности шаром

Qшара

+ +

ϕвнешара

= k

Eвнешара

= k

шара

εrдоцентрашара

ϕ = 0 на ∞

Eвнутри шара = 0

Qшара

ϕвнутри = ϕповерхн

= ϕшара

= k

εRшара

Rшара

rдо центра

шара

Rшара rдо

3 . 4 . Напряженность и потенциал однородного электрического поля,

центра

( созданного равномерно заряженной плоскостью или плоским конденсатором)

Для любого однородного электрического поля:

σ =

Eплоск

ϕ1 − ϕ2 =E ∆rr1−2

= E ∆rr1−2

cosα = Ex ∆x

2ε0ε

Поверхностная

U12

Вектор,

При E OX

Плоский конденсатор

плотность

Заряд

проведенный из

или ∆rr1−2 OX

Вид сбоку:

заряда

Напряжение

точки 1 в точку 2.

ϕ1 − ϕ2 = Ex(x2 - x1)

поверхности

(вид сбоку в разрезе)

U = E d

−

площадью S

потенциалов(разность

)

d — проекция вектора

−

Eконд

между точками 1 и 2

∆r1−2 на силовую

−

ε0ε

в однородном

−

электрическом поле.

∆r1−2

линию.

4. Потенциальная энергия системы электрических зарядов

d = ∆rr1−2

cos б

Wсист = Wвнеш + Wвзаим

Энергия взаимодействия

для системы

зарядов системы друг с другом:

W12вз = k

для системы из трех

из двух

Энергия взаимодействия зарядов системы

εr12

зарядов q1 и q2

зарядов q1, q2 и q3

с внешним электрическим полем

= q ϕвнеш +q ϕвнеш +K

вз

= k

q1 q2

+ k

q2 q3

внеш

W123

εr12

εr13

εr23

ϕ1внеш — потенциал внешнего

электрического поля в той точке, где

собст

— потенциал, создаваемый

ϕi

расположен заряд q1.

Wвз

∑qiϕiсобст

всеми зарядами системы, кроме qi ,

5. Электроемкость

2 i=1

в точке, где находится заряд qi.

Cпров

Электроемкость

заряд

проводника

уединенного проводника

потенциал проводника относительно бесконечности

Заряд конденсатора (заряд его "+"

Диэлектрическая проницаемость

- пластины)

εS

вещества между пластинами

Cконд

Заряд пластины "1"

Cплоского

Площадь пластины конденсатора

конденсатора

ϕ1 −ϕ2

Разность потенциалов

между пластинами "1" и "2"

Wконд =

Электроемкость

Напряжение

U = E·d

расстояние между

конденсатора

на конденсаторе

пластинами конденсатора

С1

(разность потенциалов

Напряженность электрического поля

Энергия электрического поля

между "+" и "−" пластинами) между пластинами конденсатора

конденсатора

−

Параллельное соединение конденсаторов

… −

Последовательное соединение конденсаторов

С2

(каждый конденсатор соединен одной пластиной с

"+"-выходом системы, а другой пластиной с "−"-выходом) С1 С2

предыдущим, а другой пластиной с последующим

…

конденсатором без ответвлений)

пар

Cпар =C +C

+...

Uобщ =U1

=U2

=...

Напряжение между выходами системы

Uобщпосл =U1 +U2 +...

общ

qобщпар = q1 +q2 +...

Заряд проводника, соединенного с "+"- выходом

Cобщпосл =

+ C2 +...

посл

системы

qобщ

= q1

= q2 =...

Общая емкость системы конденсаторов — емкость такого одного конденсатора,

при включении которого вместо всей системы не изменятся напряжение между выходами (Uобщ) и общий заряд qобщ

Если проводник заряжен, то

6. Свойства проводника в электрическом поле

заряд распределен в

бесконечно тонком слое на

Проводник эквипотенциален

Силовые линии входят в

поверхности проводника.

Eвнутри

ϕ1 = ϕ2 = … = ϕпроводника

проводник и выходят из него

(σмаксимальна выпуклостях,

проводника

перпендикулярно поверхности

особенно на остриях, и минимальна

Е с л и

в п р о в о д н и к е

н е т

т о к а

на вогнутых участках поверхности)

Скорость сосуда в этой модели - переноситься заряд.

VII. Постоянный ток	Электрический ток - упорядоченное движение заряженных частиц, т. е.
	такое движение, при котором через поперечное сечение проводника
	происходит перенос заряда.
1. Упорядоченная скорость	Носители тока - заряженные частицы, движение которых образует ток.

Обычно заряженные частицы в веществе движутся беспорядочно — "хаотично". Среди направлений движения этих частиц нет преимущественного — все направления встречаются одинаково часто, поэтому через любое сечение проводника проходит в обе

стороны в среднем одинаковое число носителей. Среднее значение вектора скорости заряженных частиц при таком движении в r vr +v +K+vr

любой момент равно нулю: v = 1 2 N = 0 . Но если, продолжая беспорядочное движение, вся эта масса хаотически

движущихся носителей начинает смещаться в какую-либо сторону (это называется "дрейф"), то такое движение считается упорядоченным и образует электрический ток. В этом случае среднее значение вектора скорости уже не равно нулю и называется

скоростью упорядоченного движения носителей: vrуп =vr = v1 +v2 +K+v N . v уп направлена туда, куда смещается масса

хаотично движущихся частиц - в сторону дрейфа. Можно представить себе ток в проводе так: цилиндрический сосуд, заполненный хаотически движущимися носителями тока, медленно (по сравнению со скоростями теплового движения носителей) перемещается.

v уп . Если сосуд мысленно рассечь неподвижной плоскостью v уп , то через эту плоскость будет

2. Сила тока

Модуль заряда,

Модуль силы тока

перенесенного через

Единица

поперечное сечение

проводника за время t.

измерения силы

тока в СИ:

I = const

v уп

1 А = 1Кл/с

Если сила тока меняется (I ≠ const), то вычисляют

мгновенные значения силы тока (для каждого момента): 3. Плотность тока— вектор

j , направление которого

dq - заряд, перенесенный через

модуль вектора

совпадает с направлением, в котором

I =

= q′(t)

переносится положительный заряд:

поперечное сечение проводника за

сила тока через

такое малое время dt, за которое сила

j =

поперечное

j ↑↑v

уп(+) ; j

↑↓v уп(−)

тока не успевает существенно

сечение S

Скорость упорядоченного

измениться.

во всех точках сечения

4. Закон Ома для участка цепи,

S одинаковы

= q0 nv уп

движения носителей тока

Концентрация

не содержащего ЭДС

Напряжение (разность

носителей тока

Заряд одного носителя.

Модуль силы тока

потенциалов) между концами

в проводнике

проводника U = ϕ1 - ϕ2 ,

(если ток течет от точки 1 к

ток

Сопротивление проводника

точке 2).

Площадь поперечного сечения провода

ρl

Единица измерения сопротивления

Удельное сопротивление

R =

материала, из которого

в СИ: 1 Ом = 1В/А

изготовлен провод.

Единица измерения удельного

ρ0

ρ = ρ0(1 + α t)

Температурный коэффициент

l — длина сопротивления в СИ: 1 Ом м

провода

Температура проводника в оС.

сопротивления металла

Источник тока — проводник, в

котором действуют сторонние силы.

5. Закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС

Сторонние силы — любые силы не

I R = ϕ1 − ϕ2 + õ

электростатического происхождения,

понуждающие носители тока к

упорядоченному движению.

Направление обхода от 1→ к 2

Сила тока,

Полное

Суммарная

õ > 0, если источник направляет

+ Fстор(+)

текущего по

сопротивление

ЭДС на

−

участку 1 - 2

участка 1-2

участке 1-2

обход

ток ↑↑ обходу 1→2

ЭДС источника

Fстор(−)

I > 0, если ток ↑↑ обходу 1→2

Aстор

õ <

, если источник направляет

(электро-

õ =

I < 0, если ток ↑↓ обходу 1→2

↑↓

→

1-2

ток

обходу 1

движущая сила)

обход

6. Закон Ома для полной (замкнутой) цепи

õ, r

Работа сторонних сил источника над

∑õ

Сила тока,

Суммарная ЭДС цепи

зарядом q при его перемещении через

I =

текущего через

источник в направлении обхода 1→2

Rполн

каждый элемент

+ r

Полное (суммарное)

Внутреннее сопротивление источника

сопротивление цепи

цепи

7. Последовательное соединение проводников

— соединение, при котором заряд полностью, без

a Iобщ

ответвлений, перетекает из предыдущего проводника в

…

Iобщпосл = I1 = I2 = …

следующий.

−

Uобщпосл = U1 + U2 + …

Rобщпосл = R1 + R2 + …

Если R1 = R2 = … = RN = R, то Rобщпосл = NR

Uобщ = ϕa − ϕb Общее напряжение — напряжение

между выходами системы.

Iобщ — общий ток — ток, втекающий через (+) выход системы и вытекающий через (−) выход.

Uобщ

— общее сопротивление — сопротивление резистора, который можно включить

Rобщ =

Iобщ один вместо всей системы между ее выходами, при этом Iобщ и Uобщ не изменятся.

8. Параллельное соединение проводников — соединение, при котором каждый проводник

присоединен одним концом к (+) выходу системы, а

Iобщ

Iобщпар = I1 + I2 + …

другим концом к (−) выходу.

пар

= U1 = U2 = …

−

Uобщ

…

+…

Если R1 = R2 = … = RN = R, то Rобщпар =

Uобщ

Rобщпар

9. Работа и мощность электрического тока

Тепловая мощность (количество

Количество теплоты,

теплоты, выделяющееся за единицу

выделяющееся на участке

Для участка, не содержащего ЭДС

времени)

= Q = IUt = I

2 Rt =

U 2

тока

= N

эл

= N

тепл

= IU = I 2 R = U 2

тока

эл

I = const

Работа тока

Работа электрической силы

Мощность тока

Мощность электрической силы

		Для участка, содержащего ЭДС
Aтока = Aэл = IUt				Nтока = Nэл = IU
Q = I 2 Rt				Nтепл	= I 2 R
Aстор= Iõt				Nстор= Iõ
I = const
Работа сторонних сил источника				Мощность сторонних сил источника
10. КПД электрической цепи					U	= ϕa - ϕb — напряжение на нагрузке.
õ, r
			Nнагр	U	R		11. Условие выделения максимальной
							мощности на нагрузке:
	a	η = Nист		= õ = R + r			При данных значениях r и õ, максимальная
b							мощность выделяется при условии, что
							R = r
R	Сопротивление нагрузки (внешнее
	сопротивление)
12. Закон Фарадея для электролиза
						Молярная масса ионов, выделяющихся при электролизе.
	M					Электрохимический эквивалент вещества, выделяющегося
m =		ионов	It = kIt = kq			при электролизе
					Заряд, выделившийся на электроде при электролизе.
	ZeNA					Число Авогадро.		Сила тока при электролизе
								Энергия, затраченная на электролиз
						Модуль заряда электрона
								Количество теплоты,
Масса вещества,			Валентность ионов,
							2	выделившееся в электролите
			выделяющихся при
выделившегося на			электролизе.			IUt = I Rt + Iõполt		Энергия, затраченная на выделение
электроде за время t					Напряжение		Сопротивление	веществ на электродах
								ЭДС поляризации электролита
					между		электролита

					электродами

VIII. Магнитные явления

1. Магнитное поле — особая материя, возникающая вокруг любых движущихся электрических зарядов (токов).

действующая магнитными силами на движущиеся заряды (токи).

Сила Лоренца — сила, действующая со стороны

Сила Ампера — сила, действующая со стороны

модуль скорости

магнитного поля на отдельные

магнитного поля на провод с

заряда q

движущиеся заряды.

током.

q > 0

Fлор = q vB sin α

α— угол

FА = IlB sin α

α— угол

между vr и B

между

Fлор

Fлор B

модуль вектора B — вектора

Провод прямолинейный,

токоми B

Fлор v ,

находится в однородном

магнитной индукции

магнитном поле.

Длина провода

Большой палец указывает направление

Левая

току

Сила тока в

F , действующей на (+) заряд.

проводе

рука

лор

FrА Br

Большой палец

лор

Пальцы ↑↑v

указывает направление FА .

Левая

q < 0

Fлор

рука

FА

входит в ладонь

B —

ток

Ток

FА

(пальцы ↑↑ току)

Если заряд летит параллельно B , то Fлор = 0

Единица измерения магнитной индукции в СИ: 1Тл

—

входит в ладонь

1Тл = 1Н с/(Кл м) — индукция такого магнитного

Если провод с током параллелен B , то FА = 0

поля, в котором на единицу заряда, движущегося со

скоростью 1м/с действует максимальная сила Лоренца

1Тл = 1Н/(А м) — индукция такого однородного магнитного поля, в

1Н. (Сила максимальна при α = 90о)

котором на прямой провод длиной 1 м с током силой 1А действует

2. Движение зарядов в магнитном поле

максимальная сила Ампера 1Н. (Сила максимальна при α = 90о)

2.1 Если скорость заряда v B , то его траектория — окружность.

По II закону Ньютона: mar = Fлор (массы частиц обычно так малы, что силой тяжести можно пренебречь по сравнению с Fлор)

/R — центростремительное ускорение.

v 2

vB sin90

Fлор v

a v r a = aцентр=v

Радиус окружности ,

R =

T =

2πR

2πm

по которой движется

q B

частица массой m,

Период обращения

зарядом q в однородном

частицы массой m,

T =

2πm

магнитном поле индукцией

зарядом q в

В.

Fлор

однородном магнитном

поле индукцией В

! не зависит от скорости!

Скорость частицы v представляют как сумму двух

2.2 Если скорость зарядаv

векторов v и vr

(перпендикулярная и

параллельная B составляющие скорости). В сис-

образует с B произвольный

теме отсчета К′, движущейся со скоростьюv ,

угол

(не равный 90о, 0о,

частица будет иметь скорость vr и двигаться по

180о), то его траектория —

окружности радиуса R =

(п. 2.1). К этому

спираль.

Шаг спирали — расстояние, на которое смещается частица

вращению добавляется поступательное движение

вдоль направления Br

за один полный оборот, т. е. за время

T =

2πm

К′-системы в результате получается движение по

спирали (см. рис.)

3. Рамка с током в магнитном поле

Fda

Силы Ампера разворачивают рамку с током

Вид сверху:

так, что создаваемое внутри рамки

собственное магнитное поле Brсобст

оказывается сонаправленоrс внешним

Fbc Bсобст

Fda

магнитным полем. (Поле Bсобст создает ток,

текущий в рамке).

Fda

Вращающий момент, действующий на

рамку в произвольном положении равен:

M = ISBsinα

рамке

Bсобст

I — сила тока в

S — площадь внутри рамки (рамка плоская)

Brсобст

B — индукция внешнего магнитного поля (оно

Fbc

должно быть однородно)

α— угол между вектором индукции внешнего

поля и перпендикуляром к

Fbc

4. Магнитные поля, создаваемые различными токами

Магнитные линии —

касательная к такой линии в

любой точке совпадает по

Большой

направлению с Br в этой

палец по

точке.

току

			B	Правая	B
			B	рука
				рука

		Пальцы
Правая		по току
Правая
рука	5. Взаимодействие токов

Большой палец указывает направление B в центре катушки

6. Явление электромагнитной индукции

Если в замкнутом проводящем

Φ = B S cosα

контуре изменяется магнитный поток,

Сонаправленные токи

то это приводит к появлению в этом

Контур плоский,

притягиваются,

контуре ЭДС (ЭДС индукции).

поле B однородно

протвоположно

Единица измерения магнитного потока в СИ:

в пределах контура.

направленные токи —

отталкиваются

1 Вб = 1Тл м2

õi = −

∆Φ∆

õi = − dΦ

= −Φ′(t)

7. Явление самоиндукции — возникновение ЭДС

Φсобст = LI

в контуре вследствие

Если Φ меняется

обход

изменения собственного

равномерно

магнитного потока через

õi =v l B

Индуктивность контура – коэффициент

этот контур.

Fлор

пропорциональности между силой тока в

Φсобст – магнитный

контуре и собственным магнитным потоком.

поток, создаваемый

Wкат =

LI 2

Энергия магнитного поля

õсам = −L ∆I

õсам = −L dI = −LI ′(t)

магнитным полем,

катушки индуктивности L,

∆t1

которое породил ток,

текущий в контуре.

по которой течет ток I.

Если I меняется

ЭДС самоиндукции

равномерно

IX. Колебания и волны

1. Колебанияминазывается точное или приближенное повторение какого-либо процесса с течением времени (обычно повторение бывает многократным).

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают: а) Механические колебания — повторяющийся процесс представляет собой механическое

движение:

б) Электромагнитные колебания — повторяющийся процесс представляет собой изменение силы тока, напряжения, заряда конденсатора в электрической цепи, вектора E (напряженности

электрического поля), вектора B (индукции магнитного поля).

в) Другие колебания — повторяться могут и другие процессы, например, изменение температуры и пр.

Колеблющимися величинами называются физические величины, описывающие процесс, повторяющийся при колебаниях, (или систему, с которой этот процесс происходит) и сами испытывающие повторяющиеся изменения.

В механических колебаниях колеблющимися величинами могут быть: координата, скорость, ускорение и другие величины, описывающие механическое движение.

В электромагнитных колебаниях колеблющимися величинами могут быть: сила тока, напряжение, заряд конденсатора,

E , B и другие величины, описывающие электрический ток и электромагнитное

поле.

Периодическими называются колебания, при которых происходит точное повторение процесса через равные промежутки времени.

Периодом периодических колебаний называется минимальное время, через которое система возвращается в первоначальное

		состояние и начинается повторение процесса.		x — колеблющаяся величина (например, сила тока в цепи,
Процесс, происходящий за один период колебаний,					или координата точки)
называется «одно полное колебание».					t — время
Частотой периодических колебаний называется число полных					t — время
колебаний за единицу времени (1 секунду) — это может
быть не целое число.
быть не целое число.				Т — период колебаний

	ν =	1	Период — время одного полного колебания.
		1	Период — время одного полного колебания.
			Чтобы вычислить частоту ν, надо разделить 1 секунду на время Т одного колебания (в секундах)
		T
		T	и получится число колебаний за 1 секунду.

2. Гармоническими колебанияминазываются колебания, в которых колеблющиеся величины зависят от времени

Колеблющаяся величина

по закону синуса, или косинуса.

Начальная фаза — значение фазы ϕ в

(координата точки, сила

x = A cos(ωt + ϕ0)

момент t = 0.

тока, напряженность поля,

Изменяя значение ϕ0 , можно получать

или иная величина)

различные значения x в момент t = 0.

Амплитуда колебаний — максимальное отклонение

Фаза колебаний — аргумент функции синус или косинус

в уравнении зависимости колеблющейся

колеблющейся величины от

величины от времени.

среднего за период значения.

ϕ = ωt + ϕ0

Если среднее за период значение колеблющейся величины

равно 0, то амплитуда равна максимальному значению

колеблющейся величины: А = хm

Циклическая частота колебаний — скорость изменения

x — колеблющаяся величина

ω= ∆ϕ

фазы с течением времени.

Изменение фазы, произошедшее за

t — время

∆t

время ∆t.

-А

Если время ∆t равно периоду колебаний Т, то изменение фазы ∆ϕ за это время (Т)

Значение

х в

должно быть равно 2π (т. к. функции sin и cos повторяют свои значения при

Т — период колебаний

изменении аргумента (ϕ) на 2π, а через время T значение колеблющейся величины

момент t = 0

как раз должно повториться).

определяется

2π

Таким образом, при ∆t = Т будет ∆ϕ = 2π ω= ∆ϕ =

величиной ϕ0.

ω=

2π

= 2πν

∆t

Если колебания гармонические,

т. е. колеблющаяся величина x равна x = A cos(ωt + ϕ0),

подставлено 1/Т = ν

то вторая производная колеблющейся величины по времени x′′

Если x — координата точки, движущейся вдоль оси ОХ , то:

будет пропорциональна самой колеблющейся величине (x):

x′(t) = −ωA sin(ωt + ϕ0)

x′(t) = vx — проекция скорости

vmax = ωA

— максимальная

скорость.

x′′(t) = −ω2 x

x′′(t) = −ω2A cos(ωt + ϕ0) = −ω2 x

x′′(t) = ax — проекция ускорения

amax = ω2A

- максимальное

ускорение.

Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Если какая-либо физическая величина х подчиняется уравнению такого вида, то можно утверждать, что она зависит от времени по гармоническому закону (sin и cos), а процесс, который описывает величина х, представляет собой гармонические колебания.

3. Простейшие колебательные системы

Пружинный маятник

Математический маятник

Колебательный контур

T = 2π

= 2π

T = 2π

Длина

Масса

Период

Период свободных

колеблю-

нити

электромагнитных

Период

Жесткость

щегося

свободных

Ускорение свободного

колебаний

свободных

пружины

груза

колебаний

Индуктивность

Электроемкость

колебаний

падения — ускорение, создаваемое

в отсутствие трения

силой тяжести.

катушки

конденсатора

qmax2

Если кроме силы тяжести на маятник действуют

Wкондэл

+Wкатмагн =const

= const =

mvmax

другие постоянные активные силы, то вместо g в

LI 2

LImax2

формулу подставляют модуль ускорения,

= const =

CUmax2

создаваемого суммой всех активных сил:

x = ∆l — удлинение пружины

∑

U- напряжение на конденсаторе q- его заряд

А = xmax = ∆lmax — амплитуда колебаний

aакт =

акт (активными называются

(максимальное удлинение пружины)

I – сила тока в катушке,

силы, имеющие ненулевой

qmax, Umax и Imax – максимальные (ампли-

vmax — максимальная скорость груза

вращающий момент

T = 2π

тудные) значения заряда, напряжения и силы

тока.

vx = x′(t) = xmω sinωt

относительно точки

aакт

I = −q′(t) = qmω sinωt

xmω = vmax

подвеса маятника)

qmω= Imax

Маятник в лифте:

−vmax

−Imax

arлифта

x = xm cosωt

q = qm cosωt

A = xmax

qmax

T = 2π

= 2π

3T T

T 3T

+aлиф

−aлиф

−qmax

−xmax

если aлифта - вверх

если aлифта - вниз

v = vmax в момент, когда x = 0

I = ±I max в момент, когда q = 0

x = ±А в момент, когда v = 0

q = ±qmax в момент, когда I = 0

4. Волна— распространение колебательного процесса в пространстве с течением времени. (Если в какой-то области

пространства происходит колебательный процесс, то это может породить аналогичные колебания в соседних областях пространства.

Например, если какая-либо точка упругой среды совершает механические колебания, то при этом она, как правило, заставляет колебаться

Пример: на гладкой горизонтальной поверхности лежит шнур

соседние, прилегающие к ней точки среды. Те, в свою очередь,

передают колебательное движение следующим точкам и т. д.

и в некоторый момент его крайнюю точку a начинают двигать

Таким образом, в колебательный процесс вовлекаются все

вдоль оси ОХ по закону x = Asinωt

новые и новые области пространства. Другой пример –

vrm

ВИД СВЕРХУ:

электромагнитные колебания. Если в какой-то точке

Точка а начинает двигаться,

пространства (эту точку назовем источником) происходят

t = 0

при этом ее скорость меняется

колебания индукции магнитного поля B , то это порождает в

по закону vx = x′= Aωcosωt , окружающем пространстве колебания напряженности

v = 0

так что в момент t = 0 скорость

электрического поля E , которые, в свою очередь, порождают

максимальна vm = Aω.

новые колебания B и т. д.

Электромагнитные колебания

К моменту t = Т/4 точка а сме-

t =

щается в положение х = А. Со-

распространяются от источника, т. е. начинают происходить во

vволн

седние точки шнура движутся

все новых и новых областях пространства)

v = 0

за ней, повторяют ее движение, Фронт волны — поверхность отделяющая область

заставляя двигаться следующие пространства, в которой уже начались колебания, от

−vm

t =

точки. В момент t = Т/4 волна

области, где колебания еще не происходят. Фронт волны

дошла до точки b и она начала

перемещается по мере распространения волны. (В

v = 0

двигаться (ее состояние в мо-

рассмотренном примере со шнуром фронтом волны в момент

t = 3T

мент t = Т/4 совпадает с состоя-

t = Т/4 является точка b, в момент t = Т/2 – точка с, и т. д.)

−vrm

нием точки а в момент t = 0) В

−А

v = 0

дальнейшем все новые и новые

Скорость распространения волны ( vволн ) — скорость

vrm

v = 0

vrm

точки будут вовлекаться в ко-

движения волнового фронта, а также любой другой

лебательное движение, анало-

поверхности постоянной фазы (любого «горба» волны,

−vrm

t = T

гичное движению источника –

или «впадины»).

−А

v = 0

точки a.

Механическая волна называется поперечной, если

направление движения колеблющихся точек в ней

перпендикулярно направлению vrволн . Если же колеблющиеся точки движутся параллельно vволн , то волна называется продольной.

(Рассмотренная в примере волна в шнуре – поперечная, а звук – продольная волна.)

Электромагнитные волны являются поперечными, т. к.

направление колеблющихся векторов E и Br в этих волнах перпенди-

Длина волны (λ) — минимальное расстояние между точка-

vволн

кулярно vволн .

ми, колебания в которых происходят с разностью фаз 2π.

колеблющаяся

r – расстояние до

(При такой разности фаз колеблющиеся величины в этих точках

имеют одно и то же значение, так что λ — расстояние между

величина

источника

соседними «горбами», или соседними «впадинами» волны)

x(r, t) = A cos(ωt − (2π/λ)r + ϕ0)

λ = vволн Т = vволн / ν

X. Оптика

5. Изображение точки S в линзе – это такая точка S′, в которой лучи, вышедшие из точки S, пересекаются после преломления в линзе.

Чтобы построить изображение S ′ точки S, надо знать ход двух лучей,

1. Закон отражения Луч падающий и луч отраженный лежат в одной плоскости с нормалью, проведенной к

вышедших из S и преломленных в линзе (где пересекутся эти лучи, там

отражающей поверхности в точке падения луча. При этом угол падения равен углу отражения.

A′

пересекутся и все остальные). Всегда известен ход следующих лучей:

Нормаль (перпендикуляр)

Плоское зеркало

SО = ОS′

• луч, падающий на линзу параллельно главной оптической оси,

S′

Н – размер

преломившись, проходит через фокус (если линза собирающая) или идет

к отражающей поверхности

S′— изображение светящейся точки S в

размер

Угол падения

изобра-

так, что его продолжение проходит через фокус (если линза рассеивающая)

Угол отражения

плоском зеркале — точка пересечения

предмета

• луч, падающий на собирающую линзу, по прямой, проходящей через фокус,

S′

жения

α = β

продолжений всех лучей, отраженных

(луч, падающий на рассеивающую линзу вдоль прямой, проходящей через

от зеркала — наблюдателю кажется,

В′

А′

фокус, расположенный с другой стороны линзы) преломившись, идет

что лучи, попадающие в его глаз,

расстояние

параллельно главной оптической оси

Падающий

Отраженный

приходят из точки S′

от линзы до предмета

от линзы до изображения

• луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, после преломления

луч

Изображение точки в плоском зеркале лежит на перпендикуляре,

практически не отклоняется от прямой, вдоль которой он упал на линзу.

Глаз

Γ =

Если показатель преломления среды одинаков с обеих сторон линзы, то

наблюдателя

проведенном к зеркалу из этой точки, причем,

± d

± F

оптический центр (точка О на рисунке) – пересечение главной оптической

расстояния до зеркала от точки и от ее изображения одинаковы.

оси с плоскостью тонкой линзы.

2. Закон преломления

Изображение предмета симметрично самому предмету относительно плоскости зеркала

Формула тонкой линзы

Линейное (поперечное) увеличение — отношение размера изображения (H) к размеру предмета (h),

При переходе из одной прозрачной среды в другую световой луч частично отражается от границы раздела сред, а частично проходит в

Расстановка знаков в

когда предмет — отрезок, перпендикулярный главной оптической оси.

следующую среду, причем, в новой среде направление луча может измениться. Такой луч, изменивший свое направление при переходе в

Перед фокусным расстоянием F : «+» — если линза собирающая, «−» — если линза рассеивающая.

формуле тонкой линзы:

новую среду, называется ПРЕЛОМЛЕННЫМ лучом.

Луч падающий и луч преломленный лежат в одной плоскости с нормалью,

Перед расстоянием f от линзы до изображения: «+» — если изображение действительное, т. е. лучи от

S′

Угол падения

Нормаль (перпендикуляр)

проведенной к границе раздела сред в точке падения луча. При этом

sin α

к границе раздела сред

отношение синуса угла падения к синусу угла преломления

точечного источника после преломления в линзе сходятся:

есть величина постоянная для данных двух сред

sin

«−» — если изображение мнимое, т. е. лучи от точечного источника

S ′

f > 0

при данной частоте излучения.

его нельзя получить

после преломления в линзе расходятся. В этом случае изображением

глаз видит мнимое

Падающий

Отраженный луч

абсолютный показатель

на экране, как

считается точка пересечения продолжений преломленных лучей S ′ (именно

sin α

vсвета1

действительное

изображение S′

луч

(результат

преломления второй среды

в этой точке видится источник света глазу, в который попадают преломленные лучи)

f < 0

= n21 =

изображение

частичного

абсолютный показатель

отражения)

sin β

vсвета 2

Перед расстоянием

d от линзы до предмета: «+» — если предмет действительный, т. е. лучи от точечного

преломления первой среды

Преломленный

источника падают на линзу расходящимся конусом:

Абсолютный показатель

«−» — если предмет мнимый, т. е. лучи от точечного источника

d > 0

луч

Относительный

Отношение скорости

преломления – показатель

падают на линзу сходящимся конусом (это возможно, например,

Угол преломления

преломления среды относительно

мнимый предмет

показатель преломления

света в первой среде к

вакуума:

если лучи предварительно прошли через собирающую линзу).

n2 > n1

; α > β

n2 < n1 ; α < β

(показатель преломления

скорости света во второй

nсреды

В этом случае предметом считается точка пересечения продолжений лучей,

второй среды относительно

vсвета всреде

упавших на линзу.

d < 0

первой)

6. Возможные случаи расположения предмета:

Среда 1

При переходе луча

Скорость света в вакууме с ≈ 3 10

м/с

6.1. d → ∞ (т. е. d >> F ) В этом случае лучи от точечного источника идут практически параллельно друг другу.

(воздух)

(стекло)

в оптически менее плотную среду (n2 < n1)

может произойти ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ

vсвета в воздухе

≈

с, т. е.

nвоздуха ≈ 1

f = F — изображение точечного источника находится в фокальной плоскости.

S′

луча от границы раздела сред, если угол

α0

− угол полного внутреннего отражения

6.2. d (2F; ∞)

Изображение:

6.3. d = 2F ; f = 2F

…

падения слишком велик: α ≥ α0

f (F; 2F)

действительное (f > 0 ),

d → ∞

f = F

при угле падения α = α0

Среда 2 (воздух)

n2 < n1

α < β

(фотография) 2F

перевернутое,

Среда 2

угол преломления β0

sin α0

уменьшенное (|d| > | f | Γ < 1)

β0 = 90о

= 90

Размер изображение равен

(вода)

(воздух)

6.4. d (F; 2F)

Изображение:

размеру предмета (d = f, Γ = 1)

При переходе луча в

α0

α > α0

f (2F; ∞)

действительное (f > 0 ),

6.5. d = F ;

sin α0

перевернутое,

f → ∞ - лучи от источника,

оптически более

оптически менее

(кино,

увеличенное (|d| < | f | Γ > 1)

лежащего в фокальной плоскости,

плотную среду

Среда 1

(вода)

диафильм)

преломившись, идут параллельно.

(n2 > n1)

(n2 < n1)

если луч выходит в

6.7. Рассеивающая линза:

луч приближается к

луч отдаляется от

При углах падения меньших, чем α0,

При α ≥ α0 луч

воздух или вакуум из

6.6. d (0; F)

Изображение:

Для собирающей

нормали

луч отражается от границы раздела

полностью отражается от

среды с показателем

f (− ∞; 0)

мнимое (f < 0 ),

Изображение:

линзы:

сред лишь частично (с ростом α доля

границы раздела сред и не

преломления n

прямое,

мнимое (f < 0 ),

перевернутое

(лупа)

n1 sin α1 = n2 sin α2 = … = const

отраженной энергии растет)

выходит во вторую среду

увеличенное (|d| < | f | Γ > 1)

прямое,

и R1 берутся со

произведение показателя преломления среды на синус угла между лучом и нормалью в этой среде

уменьшенное (|d| > | f | Γ < 1)

знаком «+», если

остается неизменным при переходе из одной среды в другую

7. Интерференция—

сфера выпуклая,

наложение волн, при котором эти волны в одних точках усиливают друг друга,

F 2F

4. Линза— прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями.

«−» - если вогнутая

а в других — ослабляют друг друга, так, что интенсивность результирующей волны не равна сумме интенсивностей

прямое

О1

складывающихся волн (I ≠ I1 + I2) Наблюдать интерференцию можно только при наложении когерентных волн.

Линза считается тонкой, если ее толщина АВ мала по сравнению с радиусами R1 и R2 сферических

О2

Когерентными называются волны, разность фаз (ϕ2 – ϕ1) которых в точке наложения не меняется с течением времени.

поверхностей, ограничивающих линзу, а также по сравнению с расстояниями d и f от линзы до

ϕ=ωt − 2π rопт +ϕ0 . Для когерентных волн: ϕ

−ϕ = 2π ∆

оптическая разность хода

предмета и от линзы до изображения.

Главная оптическая ось линзы – прямая,

Фаза гармонической (монохроматической) волны:

Линза называется собирающей, если лучи, падающие на нее

λвак

если ϕ02 = ϕ01

λвак

опт волн от источника до

проходящая через центры О1 и О2 сферических

Чтобы волны были когерентны, необходимо: ω1 =

ω2 rопт - оптическая длина

точки наложения

параллельно друг другу, после преломления сходятся.

поверхностей, ограничивающих линзу.

d S2

точка наложения волн от

пути волны от источника до точки

Длина накладывающихся

∆

опт

= r

1опт

– r

2опт

Линза называется рассеивающей, если лучи, падающие на нее

Обозначение тонкой собира-

Обозначение тонкой рассеива-

источников S1 и S2

наложения волн: r

= r n

+ r n

+ …

световых волн в вакууме

m = 1, 2, 3, …

параллельно друг другу, после преломления расходятся.

Разность хода этих волн: ∆ = r1 – r2 = d x/L

опт

Условие минимума:

ющей линзы

Условие максимума:

ющей линзы

Ширина интерференционной полосы: h = λ L/d

номер (порядок)

Фокусом линзы называется точка, в которой после преломления

Фокус линзы

∆опт = m λвак

∆опт =

вак

(2m – 1)

интерференцион-

(расстояние между соседними максимумами)

ного минимума

пересекаются лучи, упавшие на линзу параллельно ее главной

8. Дифракция

m = 0, 1, 2, 3, …если ϕ02 = ϕ01

оптической оси (или продолжения преломленных лучей, если

— отклонение от прямолинейного

номер (порядок) интерференционного максимума

d sin αk = k λ

линза рассеивающая).

D = 1

Фокусное расстояние

распространения волн при огибании препятствий (прохождении

лазер

максимумы

Оптическая сила линзы

отверстий). В результате дифракции света возникает картина

первого порядка (k = 1)

период решетки

измеряется в диоптриях:

nлинзы

−1

линзы – расстояние от

чередования светлых и темных полос, причем свет может

α2

α1

центральный максимум (k = 0)

-3

± R1

линзы до фокуса.

α2

α1

d = (10

/N) м

1 дптр = 1/м = 1м-1

nсреды

± R2

F > 0

В СИ измеряется в метрах.

F < 0

попасть в зону геометрической тени. Дифракционная решетка −

на 1 мм)

максимумы

число штрихов

пластинка с чередующимися прозрачными и непрозрачными полосками ( 10

второго порядка (k = 2)

на 1 мм