9283_Зикратова_Курсовая работа_11 вариант_Исследование линейной цепи в переходных и установившемся периодическом режимах
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ЛЭТИ» ИМ. В. И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)
Кафедра ТОЭ
КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине «Теоретические основы электротехники»
ТЕМА: ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ В ПЕРЕХОДНЫХ И УСТАНОВИВШЕМСЯ ПЕРИОДИЧЕСКОМ РЕЖИМАХ
Студентка гр. 9283 |
|
Зикратова А. А. |
|
Преподаватель |
|
Купова А. В. |
|
|
|||
|
|
|
|
Санкт-Петербург
2021
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ
Дана электрическая цепь:
Исходные данные: Rн = 103 Ом, R1 = 0,5 ∙ 103 Ом, R2 = 1 ∙ 103 Ом, R4 = 4 ∙103 Ом, С4 = 0,5 ∙ 10–6 Ф, L3 = 0,1 Гн, U0 = 8 В, I0 = 3 А, i0(t) = 3 1( ), u0(t) = const = 8 В
Одиночный импульс:
2
АННОТАЦИЯ
В данной работе была рассмотрена электрическая цепь второго порядка:
установлены собственные частоты цепи двумя способами (через формирование системы уравнений состояния и операторным методом через определение передаточной функции цепи), выполнено разложение входного сигнала по аппроксимирующему отрезку ряда Фурье (гармоники определены исходя из амплитудного спектра), а также рассматривались выходные сигналы при одиночном импульсе и при периодическом воздействии.
SUMMARY
In this paper, the second-order electrical circuit was considered: the eigenfrequencies of the circuit were established in two ways (through the formation of a system of equations of state and by the operator method through the determination of the transmission function of the circuit), the input signal was decomposed over the approximating segment of the Fourier series (harmonics were determined based on the amplitude spectrum), and the output signals were considered for a single pulse and for periodic exposure.
3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ....................................................................................................................................... |
6 |
1. АНАЛИЗ ЦЕПИ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕННЫХ |
|
СОСТОЯНИЯ ПРИ ПОСТОЯННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ. ............................................................ |
7 |
1.1. Составление уравнений состояния цепи для t ≥ 0 ......................................................... |
7 |
1.2. Нахождение аналитических решений уравнений состояния....................................... |
9 |
1.3. Нахождения решения уравнений состояния, используя численный метод |
|
Эйлера.......................................................................................................................................... |
11 |
1.4. Построение аналитических и численных решений уравнений состояния, |
|
совмещение их попарно............................................................................................................ |
11 |
2. АНАЛИЗ ЦЕПИ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ ПРИ АПЕРИОДИЧЕСКОМ |
|
ВОЗДЕЙСТВИИ .............................................................................................................................. |
14 |
2.1. Определение функции передачи HU(s) = Uн(s) / U0(s)................................................... |
14 |
2.2. Определение нулей и полюсов функции передачи ...................................................... |
14 |
2.3. Определение переходной h1(t) и импульсной h(t) характеристик для выходного |
|
сигнала......................................................................................................................................... |
15 |
2.4. Определение изображения по Лапласу входного одиночного импульса................. |
16 |
2.5. Определение напряжения Uн(t) на выходе цепи, используя функцию передачи |
|
H(s)................................................................................................................................................ |
16 |
2.6. Построение графиков переходной и импульсной характеристик цепи, а также |
|
входного и выходного сигналов.............................................................................................. |
17 |
3. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПИ ЧАСТОТНЫМ МЕТОДОМ ПРИ |
|
АПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ. ..................................................................................... |
19 |
3.1. Нахождение и построение АФХ, АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи .................. |
19 |
3.2. Определение полосы пропускания цепи по уровню 0,707|H(jω)|max ......................... |
21 |
3.3. Нахождение и построение амплитудного и фазового спектров апериодического |
|
входного сигнала и определение ширины спектра по уровню 0,1|F(jω)|max................... |
21 |
4 |
|
3.4. Заключение об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи............................ |
22 |
4. АНАЛИЗ ЦЕПИ ЧАСТОТНЫМ МЕТОДОМ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ |
|
ВОЗДЕЙСТВИИ. ............................................................................................................................. |
23 |
4.1. Разложение в ряд Фурье заданного входного периодического сигнала. |
|
Построение его амплитудного и фазового дискретных спектров.................................... |
23 |
4.2. Построение входного периодического сигнала и его аппроксимации отрезком |
|
ряда Фурье. ................................................................................................................................. |
26 |
4.3. Построение амплитудного и фазового дискретных спектров выходного |
|
периодического сигнала. Запись напряжения Uн(t) на выходе цепи в виде отрезка |
|
ряда Фурье .................................................................................................................................. |
26 |
4.4. Построение графика напряжения Uн(t) на выходе цепи в виде суммы гармоник |
|
найденного отрезка ряда Фурье.............................................................................................. |
29 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................................................. |
31 |
5
ВВЕДЕНИЕ
Целью курсовой работы является практическое освоение современных методов количественного и качественного анализа линейной электрической цепи при различных воздействиях в переходных и установившемся режимах.
По сути, данная курсовая работа состоит из двух частей: определение характеристик электрической цепи (собственные частоты колебаний,
передаточная функция, импульсная и переходная характеристики цепи) и анализ выходного сигнала, полученного исходя из характеристик цепи, при воздействии периодического и апериодического сигналов определённой формы.
Передаточная функция определяется по схеме замещения (операторным методом) как: HU(s) = Uн(s) / U0(s) – необходима для определения амплитудного и фазового спектров входного сигнала, по виду функции определяется характер пропускания частотного спектра.
Амплитудный и фазовый спектры входного сигнала строятся на основании определения:
= 2 [ 0( )]|=1,
где ω1 = 2
Для определения приблизительной формы (аппроксимации отрезком ряда Фурье) выходного сигнала при периодическом воздействии можно рассчитать приближённо амплитуды Akвых и фазы Фkвых :
Akвых = |HU(jkω1)| Ak, Фkвых = Фн(kω1) + Фk(kω1)
и представить выходной сигнал в виде ряда Фурье:
U |
|
(t) = |
A0вых |
+ ∑ A |
|
cos(kω t + Ф |
|
) |
вых |
|
kвых |
kвых |
|||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
1. АНАЛИЗ ЦЕПИ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ МЕТОДОМ
ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ ПРИ ПОСТОЯННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ.
1.1. Составление уравнений состояния цепи для t ≥ 0
Нормировка параметров цепи:
Пусть Rб = 103 Ом, Cб = 10-6 Ф → Lб = Cб Rб2 = 10-6 106 = 1 Гн, Tб = Cб Rб
=10-6 103 = 10-3 с, Iб = 10-3 А → Uб = Iб Rб = 1 В С4* = C4 / Cб = 0,5 10-6 /10-6
=0,5; L3* = L3 / Lб = 0,1 / 1 = 0,1; Rн* = Rн / Rб = 103 / 103 = 1; R1* = R1 / Rб = 0,5
103 / 103 = 0,5; R2* = R2 / Rб = 103 / 103 = 1; R4* = R4 / Rб = 4 103 /103 = 4; U0* =
=U0 / Uб = 8 / 1 = 8; tи* = tи / Tб = 80 10-5 / 10-3 = 0,8; T* = T / Tб = 160 10-5 / 10-3
=1,6; I0* = I0 / Iб = 3 10-3 / 10-3 = 3
Вдальнейшем индекс «*» будет опущен.
Для цепи, изображённой на рис. 1.1, нормированные параметры ветвей: R2 = Rн = 1, R1 = 0,5, R4 =4, С = 0,5, L = 0,1
Рис. 1.1
Для формирования уравнений состояния заменим все L-элементы источниками тока с токами iL(t) и все С-элементы – источниками напряжения с напряжениями uC(t). Тогда цепь будет иметь вид, показанный на рис. 1.2.
7
Рис. 1.2
Из 2-го закона Кирхгофа:
I) - U0 + U1 + UL = 0 → UL = U0 – U1; II) – UL – U2 – U4 = 0 → U2 = - UL - U4 III) U4 + UC – Ui = 0 → U4 = - UC + Ui; ) Ui + Uн = 0 → Ui = - Uн
Для узлов:
1) – i1 – i2 + iL = 0 → i1 = iL – i2; 2) i2 – i4 + iC = 0 → iC = i4 – i2; 3) - iC – i0 + iн = 0 → iн = i0 + iC
По закону Ома:
i2 |
= |
|
U2 |
, U1 = i1R1; i4 = |
|
4 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Выразим UL и iC: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
UL = U0 − U1 |
|
UL = U0 − iLR1 + i2R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U4 |
|
|
|
|
U2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
{ |
iC = i4 − i2 |
|
|
|
|
|
iC |
= |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
U = U |
|
|
R2 |
|
− i |
|
|
R1R2 |
|
+ i |
|
|
RнR1 |
+ i |
|
|
|
RнR1 |
|
|
|
+ U |
|
|
|
R1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L R +R |
|
|
|
|
|
0 R +R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
L |
|
0 R +R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C R +R |
|
|
|
|
|
|
C R +R |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
{ |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
iC = −iC |
Rн |
− i0 |
Rн |
− |
UC |
+ |
UL |
− iC |
Rн |
− i0 |
Rн |
− |
UC |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
R |
R |
R |
R |
R |
R |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
UL = U0 |
R2 |
|
|
|
− iL |
|
|
|
R1R2 |
|
|
+ iC |
|
|
RнR1 |
|
+ i0 |
|
|
RнR1 |
|
|
|
+ UC |
|
|
|
R1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 + R1 |
R1 |
+ R2 |
|
R1 |
+ R2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 + R2 |
|
|
|
R1 + R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 + R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rн(R2 + R4) |
|||||||||||||
|
|
iC = UL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− UC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− i0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
{ |
R2R4 |
+ Rн(R2 + R4) |
R2R4 |
+ Rн(R2 |
+ R4) |
R2R4 + Rн(R2 + R4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В результате дальнейших упрощений и подстановки чисел система
имеет вид:
8
UL = |
|
4 |
|
|
UC − |
|
9 |
|
|
iL + |
|
156 |
|
|
iL′ = |
|
4 |
|
UC − |
9 |
|
iL + |
156 |
|
||||||||||||||||
23 |
23 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23L |
|||||||||||||||||||||||||||
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
23L |
|
23L |
|
|||||||||||||||||||||||||||
iC = − |
11 |
UC − |
4 |
iL + |
31 |
|
|
UC′ = − |
|
11 |
UC − |
|
4 |
|
iL + |
31 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
23C |
23C |
23C |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
23 |
|
|
23 |
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Уравнения состояния: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
iL′ = |
40 |
UC − |
90 |
iL + |
1560 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
{ |
23 |
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
23 |
|
|
, т. к. iL′ = |
|
|
|
L |
, |
UC′ = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
UC′ = − |
UC |
− |
iL |
+ |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
23 |
|
23 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1.2. Нахождение аналитических решений уравнений состояния
Уравнения состояния представим в следующем виде:
|
UC′ |
|
|
− |
22 |
|
− |
8 |
|
|
|
UC |
|
|
U0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
23 |
23 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
( iL′ |
|
) = ( 40 |
|
|
|
− |
90 |
) ( iL ) + [B] ( i0 ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Характеристическое уравнение цепи: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
22 |
|
− |
|
− |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
23 |
|
|
23 |
)) = 0 → 2 + |
112 |
|
|
100 |
|
||||||||||||||||||
(( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
= 0 |
||||||||||||||||||
|
40 |
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
23 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Корни характеристического уравнения: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
p |
|
|
= |
−56±2√209 |
, |
|
≈ −1,178, ≈ −3,692 |
– собственные частоты |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1,2 |
|
|
|
23 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Общий вид решений уравнений состояния: |
||||||||||||||||||||||||||
{ |
i |
L |
(t) = i |
L в |
+ A e−1,178t + A |
e−3,692t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
e−3,692t |
|
|
|
|||||||||||
|
U |
C |
(t) = U |
C в |
+ B e−1,178t |
+ B |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
iL в, UC в, A1, A2, B1, B2 - ?:
Вынужденные составляющие определяются из уравнений
состояний:
0 = |
40 |
UC в − |
|
90 |
iL в |
+ |
1560 |
|
|
|
UC в = −3 |
||||||
23 |
23 |
23 |
{ |
||||||||||||||
{ |
|
22 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
62 |
iL в = 16 |
||||
0 = − |
UC в |
− |
|
iL в |
+ |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
23 |
23 |
23 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Определим |
|
|
независимые начальные условия по схеме, |
||||||||||||
представленной на рис. 1.3:
9
Рис. 1.3
UC(0+) = UC(0-) = 0 В, iL(0+) = iL(0-) = 16 А
Для определения постоянных интегрирования найдём значения
производных из уравнений:
{ i′L(0 +) = 4023 UC(0 +) − 2390 iL(0 +) + 156023 = 12023
UC′ (0 +) = − 2223 UC(0 +) − 238 iL(0 +) + 6223 = − 6623
Найдём коэффициенты для уравнения тока:
iL(0 +) = 16 + A1 + A2, i′L(0 +) = −1,178A1 − 3,692A2 = 12023
A1 = - A2 ≈ 2,075
Найдём коэффициенты для уравнения напряжения:
UC(0 +) = −3 + B1 + B2, i′L(0 +) = −1,178A1 − 3,692A2 = − 6623
B1 ≈ 3,264, B2 ≈ -0,264
Витоге:
iL(t) = 16 + 2,075e−1,178t − 2,075e−3,692t {UC(t) = −3 + 3,264e−1,178t − 0,264e−3,692t
10