Экзаменационные вопросы
Кратные интегралы
1.Понятие цилиндрического тела, вычисление его объема. Интегральные суммы Римана функции 2-х переменных. Понятие двойного интеграла, его геометрический и физический смысл. Необходимое условие интегрируемости.
2.Интегральные суммы Дарбу функции 2-х переменных. Основной признак интегрируемости.
Классы интегрируемых по плоской области функций. Пример: , где : 0 ≤ , ≤ 1.
3.Свойства двойного интеграла, выраженные равенствами и неравенствами. Теоремы о среднем значении.
4.Вычисление двойного интеграла по правильным областям. Повторные интегралы. Случай прямоугольной области интегрирования. Частный случай подынтегральной функции.
5.Замена переменных в двойном интеграле. Якобиан преобразования и его геометрический смысл. Вычисление площади фигуры в криволинейных координатах. Пример.
6.Линейная замена переменных в двойном интеграле. Примеры.
7.Двойной интеграл в полярных координатах. Примеры. Обобщенные полярные координаты.
8.Интеграл Эйлера-Пуассона.
9.Интегральные суммы Римана функции 3-х переменных. Понятие тройного интеграла,
его физический смысл. Необходимое условие интегрируемости. Интегральные суммы Дарбу. Основной признак интегрируемости. Классы интегрируемых функций.
10. Свойства тройного интеграла, выраженные равенствами и неравенствами. Теоремы о среднем значении.
11. Вычисление тройного интеграла по правильным областям. Повторные интегралы. Случай «параллелепипедной» области интегрирования. Частный случай подынтегральной функции.
12. Замена переменных в тройном интеграле. Якобиан преобразования и его геометрический смысл. Объем тела в криволинейных координатах. Линейная замена переменных. Примеры.
13. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Якобиан перехода. Пример. 14. Вычисление энергии электрического поля, создаваемого бесконечно длинным проводящим
цилиндром.
Криволинейные интегралы
1.Понятие криволинейного интеграла 1 рода, его физический смысл. Условия интегрируемости функции вдоль кривой. Свойства криволинейного интеграла.
2.Вычисление криволинейного интеграла 1 рода при естественной и произвольной параметризации кривой. Примеры.
3.Геометрические и механические приложения криволинейного интеграла 1 рода. Площадь цилиндрической поверхности. Примеры.
4.Вычисление работы переменной силы вдоль кривой. Понятие криволинейного интеграла 2 рода, его физический смысл. Пример. Условие интегрируемости функции.
5.Свойства криволинейного интеграла 2 рода: антисимметричность, линейность, аддитивность. Связь между криволинейными интегралами 1 и 2 рода.
6.Вычисление криволинейного интеграла 2 рода вдоль пространственной и плоской кривой. Частные случаи кривых: отрезки прямых, параллельных одной из осей координат. Примеры.
7.Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуру. Связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом 2 рода по границе этой области.
8.Формула Грина. Следствие: вычисление площади фигуры с помощью криволинейного интеграла 2 рода по замкнутому контуру. Примеры.
9.Многосвязные области. Формула Грина для многосвязных областей.
10.Понятие независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути. Равносильность условий независимости от пути и равенства нулю интеграла по замкнутому контуру.
11.Потенциальная вектор-функция. Равносильность условий потенциальности вектор-функции и независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути.
12.Условия независимости { , , γ, } криволинейного интеграла 2 рода от пути. Обобщенная формула Ньютона-Лейбница в 2 и 3. Примеры.
Поверхностные интегралы
1.Понятие площади плоской фигуры. Условия квадрируемости фигуры. Связь между площадью плоской фигуры и площадью ее проекции на другую плоскость.
2.Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Их уравнения. Особые и обыкновенные точки.
3.Понятие площади кривой поверхности. Формула площади поверхности, заданной явным уравнением. Площадь поверхности сферы.
4. Понятие поверхностного интеграла 1 рода, его физический смысл. Свойства поверхностного интеграла 1 рода, выраженные равенствами и неравенствами. Теоремы о среднем значении.
5.Формула вычисления поверхностного интеграла 1 рода по поверхности, заданной явным уравнением. Приложения поверхностного интеграла 1 рода. Примеры.
6.Сторона поверхности. Ориентированная поверхность. Понятие потока вектора через поверхность. Задача о вычислении потока. Поток радиус-вектора через часть плоскости.
7.Вычисление потока радиус-вектора точки через замкнутые поверхности тетраэдра, сферы и цилиндра.
8.Понятие поверхностного интеграла 2 рода, связь с поверхностным интегралом 1 рода. Физический смысл, условие интегрируемости. Свойства поверхностного интеграла 2 рода.
9.Вычисление поверхностного интеграла 2 рода методом проектирования на все три
координатные плоскости. Примеры.
10. Вычисление поверхностного интеграла 2 рода методом проектирования на одну координатную плоскость. Примеры.
11. Вычисление потока вектора через плоскую область. Задача о вычислении магнитного потока через плоскую рамку. Пример.
12. Физические и геометрические приложения поверхностного интеграла 2 рода. Примеры.
Элементы теории поля
1.Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению. Частные производные. Примеры.
2.Градиент скалярного поля и его свойства, связь с производной по направлению. Правила вычисления градиента. Градиент центрального скалярного поля.
3.Векторное поле. Примеры плоских векторных полей. Векторные линии. Дифференциальные уравнения векторных линий. Примеры.
4.Векторные поверхности и векторные трубки. Поток векторного поля через замкнутую поверхность и его физический смысл. Теорема Остроградского. Следствие.
5.Понятие дивергенции и ее физический смысл. Правила вычисления дивергенции. Теорема
Остроградского о связи потока с дивергенцией. Дивергенция центрального векторного поля.
6.Циркуляция векторного поля и ее физический смысл. Пример. Плотность циркуляции. Теорема Стокса. Формула Грина как частный случай формулы Стокса.
7.Понятие ротора и его физический смысл. Теорема Стокса в векторной формулировке. Связь ротора с плотностью циркуляции. Свойства ротора.
8.Правила вычисления ротора. Ротор центрального векторного поля. Безвихревые векторные поля. Примеры безвихревых полей.
9.Потенциальное поле. Примеры. Односвязная область в пространстве. Основные свойства потенциального поля: теорема о равносильности условий { , , γ, }. Следствие. Линейный интеграл в потенциальном поле. Примеры.
10.Потенциалы центральных векторных полей. Вычисление потенциалов электрических полей, создаваемых проводящим цилиндром и проводящим шаром.
11.Соленоидальное поле. Основные свойства соленоидального поля. Теорема о равносильности условий { , , γ, }. Примеры.
12.Условие соленоидальности центрального векторного поля. Разложение векторного поля в сумму потенциального и соленоидального поля.
13.Гармоническое поле. Примеры. Уравнение Лапласа и оператор Лапласа. Гармонические функции. Оператор Лапласа для центрального скалярного поля = ( ). Примеры.
14.Центральные скалярные и векторные поля; градиент, дивергенция и ротор центрального поля. Условия потенциальности, соленоидальности и гармоничности центральных полей. Дифференциальные операции 2-го порядка. Правила вычисления оператора Лапласа.