Л Решение системы нелинейных уравнений
.pdf
Методы решения систем нелинейных уравнений
Постановка задачи
Решить систему нелинейных уравнений:
F1 ( x, y ) 0F2 ( x, y ) 0
2
Этапы решения
1.Исследовать существование и единственность решения
2.Выбрать начальное приближение к корню
3.Вычислить отдельные корни с заданной точностью (реализация возможна в различных программных продуктах)
3
Существование и единственность решения.
|
|
|
100 |
|
|
|
|
корень один |
|
80 |
|
|
|
|
|
|
F2(x,y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
F1(x,y) |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
-6 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
|
|
|
-20 |
|
|
|
-40
-60
-80
4
Существование и единственность решения.
|
|
|
150 |
|
|
|
|
корней нет |
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
F1(x,y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
F2(x,y) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
-6 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
|
|
|
-50 |
|
|
|
-100
5
Существование и единственность решения.
корня три
F1(x,y)
140
F2(x,y) 120
100
80
60
40 
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
-6 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
|
|
|
-20 |
|
|
|
6
Этап 3
предполагается, что система нелинейных уравнений имеет вещественное решение на заданном интервале
Определено начальное приближение к корню x0, y0
Дальнейшее уточнение корня производится итерационными методами
7
Методы решения систем нелинейных уравнений
Для применения известных численных методов исходная система может быть приведена к виду:
x=φ1(x,y); y=φ2(x,y);
8
Метод Якоби (простых итераций)
Алгоритм поиска решения задается формулами
xn+1= φ1(xn,yn); yn+1= φ2(xn,yn).
9
Метод Гаусса - Зейделя
Алгоритм поиска решения задается формулами
x n+1= φ1(xn,yn); yn+1= φ2(xn+1,yn).
Процесс вычисления заканчивается, когда
x |
x |
|
и |
y |
n |
y |
n 1 |
|
n |
n 1 |
|
|
|
|
|
10