Решение_AU_6916629

Добавил:

vakex47229 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

дисперсии будет иметь вид x tn 1,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.05.2021

Размер:

411.88 Кб

Скачать

☆

Задание 1

f x

a sin x, x

Плотность распределения имеет вид

. Величины

0, x 0;

Y cos X 2, Z X 1 являются функциями от величины Х. Найти:

А) постоянную a

Б) функцию распределения величины Y

В) моменты EZ, DZ, cov X , Z

Решение

А) Параметр a найдем из условия

f (x)dx 1 a sin xdx a cos x 0

a cos a cos 0 2a 1 a

0, x 0

Значит,

sin x, 0

f x

0, x

Б) Так как y (x) cos x 2

- это строго убывающая функция на 0; обратная функция

есть x arccos y x

, тогда плотность величины Y есть g y

1 y2

g y

2 sin arccos y

1 y2

При этом y 0 cos 0 2 1, y cos 2 1 2 3

, y

3; 1

Тогда, gY ( y) 2

0, y

3; 1

Найдем функцию распределения Y из соотношения FY y

g t dt

При y 3 получаем FY y 0

При 3 y 1 получаем

FY y y

y 3

При y 1 получаем FY y 1

0, y 3

То есть,

FY y

, 3 y 1

1, y 1

В) Найдем параметры величины Х

												1
EX					xf (x)dx									x sin xdx ...
EX					xf (x)dx							2		x sin xdx ...
												2		0
														0
											u x									du dx														cos xdx x cos x sin x
x sin xdx																											x cos x							cos xdx x cos x sin x
										dv	sin xdx									v cos x
...			1	x cos x sin x 0															1	cos sin												1	0 cos 0 sin 0
...		2		x cos x sin x 0															2	cos sin													0 cos 0 sin 0			2
		2																	2												2					2
															1
EX 2 x2										f (x)dx					1	x2 sin xdx ...
EX 2 x2										f (x)dx					2	x2 sin xdx ...
															2	0
																0
											u x2									du 2xdx
x2 sin xdx																										x2 cos x 2x cos xdx x2 cos x 2 x cos xdx
										dv sin xdx										v cos x
				u x							du dx											2														2
																			x					cos x 2													cos x 2x sin x 2 cos x
																			x					cos x 2					x sin x					sin xdx x			cos x 2x sin x 2 cos x
	dv cos xdx										v sin x
...			1	x2 cos x 2x sin x 2 cos x																						1		2 cos 2 sin 2 cos
...				x2 cos x 2x sin x 2 cos x																								2 cos 2 sin 2 cos
			2																					0		2
	1	02				cos 0 0 sin 0 2 cos 0																		2	2
		02				cos 0 0 sin 0 2 cos 0																			2
	2																							2
DX MX									2	MX			2			2			2				2				2		2
DX MX										MX							2		2								4		2
																	2						2				4
Тогда, согласно свойствам математического ожидания и дисперсии получаем
EZ E							X 1 1 EX 1
																						2
																						2
DZ D																		2	DX DX							2			2
DZ D								X 1							1				DX DX								4		2
																											4
cov X , Z cov X , X 1 E X X 1 EX E X 1																																				E X		2
cov X , Z cov X , X 1 E X X 1 EX E X 1																																				E X			X 1	2	2
																																								2	2
EX 2 EX																2					2			2									2	2	2
EX 2 EX											2				4						2			2			2			2			4	2	2
											2				4						2						2			2			4		2

Задание 2

Дана группированная выборка. Построить точечные оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности, при надежности 0.95 построить соответствующие доверительные интервалы и, используя х2 - критерий Пирсона асимптотического уровня значимости а = 0.05, проверить гипотезу о нормальности оценок.

-3,029	-2,406	-1,783	-1,160	-0,537	0,087	0,710	1,333	1,956	2,580
-2,406	-1,783	-1,160	-0,537	0,087	0,710	1,333	1,956	2,580	3,203
3	9	20	32	43	45	28	13	5	2

Решение

Получим следующий интервальный ряд:

Номер		Граница		Середина	Частота
Номер		интервала		Середина	Частота
интервала	i	интервала		интервала	ni
интервала	i	xi	xi 1	интервала	ni
		xi	xi 1
1		-3,029	-2,406	-2,7175	1
2		-2,406	-1,783	-2,0945	5
3		-1,783	-1,16	-1,4715	6
4		-1,16	-0,537	-0,8485	16
5		-0,537	0,087	-0,225	37
6		0,087	0,71	0,3985	28
7		0,71	1,333	1,0215	44
8		1,333	1,956	1,6445	33
9		1,956	2,58	2,268	23
10		2,58	3,203	2,8915	7

Средняя выборочная:

			2.7175 3 2.0945 9 1.4715 20 0.8485 32 0.225 43
	1	10	0.3985 45 1.0215 28 1.6445 13 2.268 5 2.8915 2
x		xi ni																	0.041
x		xi ni					200												0.041
	n i 1						200
Составим таблицу
				i			xi			ni			xi		x 2 ni

				1		-2,7175				3			21,489
				2		-2,0945				9			37,947
				3		-1,4715				20			40,920
				4		-0,8485				32			20,860
				5		-0,225				43			1,454
				6		0,3985				45			8,697
				7		1,0215				28			31,617
				8		1,6445				13			36,937
				9		2,268				5			26,660
				10		2,8915				2			17,201
						Сумма							243,781
Выборочная дисперсия равна					2	xi x 2			ni		243.781				1.219
Выборочная дисперсия равна								n			200				1.219
								n			200

													2
Выборочное среднее квадратическое отклонение													2			1.219 1.104
Исправленная дисперсия равна					S 2		n	2		200		1.219 1.225
Исправленная дисперсия равна					S 2			2				1.219 1.225
							n 1		200 1

Исправленное среднее квадратическое отклонение S														S2
Исправленное среднее квадратическое отклонение S														S2			1.225 1.107
																		1		e	x a 2
Плотность нормального распределения записывается в виде																f x		1			2 2
																					2 2
																		2
																		2

Параметры a и 2 являются для нормального распределения мат. ожиданием и дисперсией соответственно, где S для генеральной совокупности Проверим, согласуется ли принимаемая гипотеза о нормальном распределении

генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерии Пирсона Составим следующую таблицу

	Границы интервала					Границы интервала
	xi	xi 1	xi x	xi 1 x	zi		xi x	zi 1		xi 1 x
	xi	xi 1	xi x	xi 1 x	zi			zi 1

1	-3,029	-2,406	-2,988	-2,365		-2,700			-2,137
2	-2,406	-1,783	-2,365	-1,742		-2,137			-1,574
3	-1,783	-1,160	-1,742	-1,119		-1,574			-1,011
4	-1,160	-0,537	-1,119	-0,496		-1,011			-0,448
5	-0,537	0,087	-0,496	0,128		-0,448			0,116
6	0,087	0,710	0,128	0,751		0,116			0,679
7	0,710	1,333	0,751	1,374		0,679			1,242
8	1,333	1,956	1,374	1,997		1,242			1,804
9	1,956	2,580	1,997	2,621		1,804			2,368
10	2,580	3,203	2,621	3,244		2,368			2,931

		1		z	x2
Найдем теоретические вероятности Pi zi 1 zi , где	z			e
					2 dx и

		2
			0

теоретические частоты ni/=nPi=200Pi . Для этого составим расчетную таблицу, при этом,

так как нам надо охватить все значения zi					от - до , поэтому начальное значение zi
будет равно , а последнее равно
		Границы интервала				Границы интервала
		zi	zi 1	Ф zi	Ф zi 1	Pi zi 1 zi	ni/=200Pi
	1	-∞	-2,137	-0,500	-0,484	0,016	3,263
	2	-2,137	-1,574	-0,484	-0,442	0,041	8,291
	3	-1,574	-1,011	-0,442	-0,344	0,098	19,652
	4	-1,011	-0,448	-0,344	-0,173	0,171	34,207
	5	-0,448	0,116	-0,173	0,046	0,219	43,802
	6	0,116	0,679	0,046	0,251	0,205	41,048
	7	0,679	1,242	0,251	0,393	0,141	28,295
	8	1,242	1,804	0,393	0,464	0,072	14,325
	9	1,804	2,368	0,464	0,491	0,027	5,329
	10	2,368	+∞	0,491	0,500	0,009	1,788

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона. Вычислим наблюдаемое значение Пирсона. Для этого составим вспомогательную таблицу:

	i	ni	ni/	ni- ni/		(ni- ni/)2	(ni- ni/)2/ ni/
	1	3	3,263	-0,263		0,069		0,021
	2	9	8,291	0,709		0,502		0,061
	3	20	19,652	0,348		0,121		0,006
	4	32	34,207	-2,207		4,872		0,142
	5	43	43,802	-0,802		0,643		0,015
	6	45	41,048	3,952		15,621		0,381
	7	28	28,295	-0,295		0,087		0,003
	8	13	14,325	-1,325		1,755		0,122
	9	5	5,329	-0,329		0,108		0,020
	10	2	1,788	0,212		0,045		0,025
	сумма						2	набл 0.797
По таблице критических точек распределения 2 ,					по уровню значимости 0.05 и

числу степеней свободы k 10 3 7 (s- число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области(по таблицам или при помощи математических

пакетов) 2 KP (0, 05;7) 14.07 . Так как 2набл 2кр - принимаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности на уровне значимости 0,05

Считая, что дисперсия элементов генеральной совокупности неизвестна определим доверительный интервал для оценки среднего арифметического значения генеральной совокупности при доверительной вероятности Р=1-0,05=0,95.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестной

Из таблицы распределения Стьюдента получаем t199,0.95 1.972 , тогда получаем

0.041 1.972 1.107 a 0.041 1.972 1.107 0.195 a 0.113

200

Определим доверительный интервал для оценки дисперсии генеральной совокупности при доверительной вероятности Р=1-0,05=0,95

Найдем доверительный интервал для											n 1 S 2	2	n 1 S 2	, где значения	2 берутся
											2		2
											1 ,n 1		,n 1
											2		2
из таблицы значении функции 2
0.95 1 0.95 0.05, 2										239.959, 2			161.826
							0.975,199					0.025,199
	199 1.225		2				199 1.225		1.016 2 1.506
239.959			2				161.826		1.016 2 1.506
239.959							161.826
Задание 3
Плотность распределения случайной величины Х определена формулой
	0, x 0
		3x		2	, 0 x 1

		2

	f x			2 x		2
		3		2 x				,1 x 2
				2				,1 x 2



	0, x 2

Определить начальные и центральные моменты первых четырех порядков, асимметрию и эксцесс

Решение

Вычислим начальные моменты со 1-го по 4-ый

								k												k																1				k 3x2												2				k 3 2 x 2																		3			1		k 2						3	2			k							2
	k																	x f x dx
	k		MX																																			x					2			dx								x									2							dx				2				x		dx					2			x			4		4x x				dx
m			MX																																			x								dx								x																dx								x		dx								x			4		4x x				dx
																																				0																1																									0									1
	3				xk 3					1						3					2		4x					k							k 1								k 2			dx								3 1k 3												3 0k 3									3				4					k 1					4					k 2		1			k 3	2
																													4x										x																																												x										x					x
	2				k	3										2													4x										x															2 k 3																													x					k 2					x		k			x
	2				k	3				0						2					1																																	2 k 3												2 k 3									2 k 1													k 2							k	3				1
										0											1																																																																															1
	3 1										3								4								k 1							4								k 2								1						k 3								3					4				k 1						4				k 2					1					k 3
																								2																2													2																			1										1										1
		2 k 3									2													2								k					2			2								k				3	2																1			1										1					k					1
		2 k 3									2			k								1										k					2											k				3												2 k					1									k 2									k			3
		3			4					2k 1										4								2k 2											1				2k 3									1								4									4							1
										2k 1																		2k 2															2k 3
						1														k						2										k 3															k 3										k 1							k 2								k
		2 k				1														k						2										k 3															k 3										k 1							k 2								k			3
		3			4					2k 1										4								2k 2											1				2k 3									4										4
										2k 1																		2k 2															2k 3
						1														k						2										k 3															k 1
		2 k				1														k						2										k 3															k 1								k 2
Значит,
				3		4								1 1												4					1 2									1					1 3							4									4						1
m1												2																	2															2
m1				2				1				2														2			2									1				3		2							1 1
				2		1		1														1				2												1				3									1 1							1					2
m2				3						4				2		2 1											4				2		2 2									1				2			2 3							4									4							11

				2																						2			2												2 3												2										2 2									10
				2		2				1																2			2												2 3												2				1						2 2									10
m3				3					4				2		3 1												4			2		3 2										1			2		3 3								4									4							13

				2																																								3											1																10
				2		3			1																3 2														3					3								3			1							3 2									10
m4				3						4				2		4 1											4				2		4 2									1				2			4 3							4									4							57

				2																						4			2												4 3												4										4 2									35
				2		4				1																4			2												4 3												4				1						4 2									35
Центральные моменты вычислим из формул
1				0,			2						m m2 ,																3						m 3m m 2m3 ,																								4							m 4m m 6m2m 3m4
1							2								2											1			3								3								1				2							1			4								4							1			3				1				2					1
Тогда, получаем
				11						12									1
	2
				10												10


				13											3 1		11									2 13								0
	3														3 1											2 13								0
	3			10												10
				10												10
				57												13													2 11														4						1
	4									4 1																6 1													3 1
										4 1																6 1													3 1
				35												10													10																				35
				35												10													10																				35
Найдем коэффициенты асимметрии и эксцесса
																																																					1
																			0																																																		1
AX							3												0									0, EX														4				3							35						3										1
							3																																			4											35
																																										2														2													7
										3											1																																1

																																										2
									2
																			10																																	10