Учебник Каллер

Разумеется, можно пользоваться и обратными величинами: в х о д­

н ы м и с о п р о т и в л е н и я м и

и с о п р о т и в л е н и я м и п е р е д а ч и

По формулам (2.3)-(2.6) определяют токи по заданным напряжениям,

но они не позволяют анализировать связи между напряжениями и то­

ками в зависимости от сопротивлений отдельных ветвей цепи, в част-

тивление, а характеристикой разветвленной цепи - совокупность соб­ ственных и взаимных сопротивлений контуров, образующих опреде­

литель . Зная последний, можно в соответствии с выражением (2.2) определить любой контурный ток при индивидуальном или совместном

действии каждого из напряженнй iJ1 - iJ 3 ' Совокупность собственных и взаимных сопротивлений, входящих в определитель цепи, как харак­

теристика цепи эквивалентна совокупности собственных сопротивле­ ний ветвей цепи и ее графа.

Напомним, что пассивные линейные электрические цепи имеют свой­

Свойства обратимости' удобио использовать в тех задачах, по усло­

вию которых ZiJ определяется легче, чем ZJi .

2.4. МАТРИЦЫ (Z) и (У) РАЗВЕТВЛЕННОй ЦЕПИ

41

в тЛЭЦ эту матрицуг назДывают м а т р и ц е й с о п р о т и в л е­ н и й х о л о с т о о х о а. Любое из сопротивлений Zi} можно из­ мерить только в том случае, если все контуры будут разомкнуты.

Коэффициенты системы уравнений обратного преобразования (2.2), представляющих собой по существу систему уравнений узловых напря­ жений дуальной цепи, образуют матрицу обратного преобразования:

можно измерить только в случае замкнутых всех контуров цепи и за­ короченных узлов дуальной цепи. Она обратна матрице (Z) .

В матричной форме уравнения (2. 1) и (2.2) будут:

и

что кратко записывается так:

(Z) (i) = (И) и (У) (И) = (i) .

ризуется сопротивлением Z или проводимостью У = Z-l, так пассив­ ная часть разветвленной цепи характеризуется матрицей (Z) или мат­

Подобно тому как пассивная часть неразветвленной цепи характе­

рицей (У) = (Z)-l. Матрицы (Z) и (У) обратны друг другу. Их элемен­

ты определяют все свойства пассивной части цепи.

Совершенно очевидно, что все сказанное здесь о трехконтурной це­ пи можно отнести к цепи любой сложности.

Если при расчетах режимов простейших цепей задано напряжение и следует определить ток, источник энергии удобно представить в виде источника напряжения с нулевым внутренним сопротивлением, вклю­

но представить в внде источника тока с нулевой внутренней проводи­

мастью, включенного параллельно разомкнутой цепи с проводимостью

У = I1Z. При этом V = zi.

42

Аналогичная картина наблюдается в разветвленных цепях. Если за­

даны напряжения и определению подлежат токи, источники энергии

следует представлять в виде источников напряжения с нулевыми внут­

ренними сопротивлениями, действующими в замкнутых контурах. Свя­

зи между токами и напряжениями в этом случае определяются элемен­

тами матрицы (У).

При заданных токах и определяемых напряжениях источники удоб­ но представить в виде источников тока с нулевыми внутренними прово­

димостями, подключаемыми параллельно разомкнутым ветвям цепи.

Связи между напряжениями и токами в этом случае определяются эле­

ментами матрицы (Z).

2.5. МАТРИЦЫ СОЕДИНЕНИЙ (ИНЦИДЕНЦИЙ) ЦЕПИ

Элементы матрицее(Z) и (У) цепи зависят от значений сопротивлений или проводимостей ветвей и способа соединения последних - графа

в контур и ток в ней совпадает по направлению с контурным, то эле­

мент, стоящий на пересечении соответствующих столбца и строки, ра­

вен 1 . При несовпадении направлений токов ветви и контура соответст­ вующий элемент равен 1 . Если ветвь не входит в контур , то соответ­

43

На выражение (2.9) следует смотреть как на представление матри­ цы сопротивлений холостого хода, преобразующей контурные токи в напряжения. в виде произведения трех матриц. Каждая из матриц мно­ жителей дает одно из преобразований, из которых складывается преоб­

разование, осуществляемое матрицей (Z). Матрицв (М)Т преобразует контурные токи в токи ветвей:

Матрица (Z)B преобразует токи ветвей в напряжения ветвей:

44

2.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВХОДНЫХ И ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ПО ГРАФУ цепи

Рассчитывая разветвленную цепь методами контурных токов или

А= (Zl + Z2) (Z2 + Zs) (Zl + Zз + Z,) -Zl Z2 Zз -ZlZ.ZЗ -Zf (Z. + ZЗ) ­

-Z (Zl + Zз + Z.) - Zi (Zl + Z2) = (Zl Z2 + Z1 Zз + Zi + Z.Zs) (Zl + ZЗ + Z') -

(2 . 13) и

(2 . 14) Orсюда

45

Сравним оба способа получения ZИ Хl1' Использование общей форму­ лы (2. 10) вносит в вычисления некоторую общность и формальность,

но дает при этом много лишних взаимно уничтожаемых слагаемых . При вычислении ZИ Х l1 по схеме следует учитывать правила параллельного и последовательного соединений сопротивлений в соответствии с этой схемой, т. е. всякий раз по-своему, зато никаких подлежащих сокра­ щению слагаемых при этом не возникает.

Составление функций по ее графу - способ, имеющий преимуще­ ства двух рассмотренных случаев: общность, формальность и отсутст­

вие ненужных усложнений при вычислениях. Граф цепи можно упро­

щать по тем же правилам, что и ее схему. По графу можно составить вы­

ражение определителей без лишних уничтожающихся слагаемых .

Правила определения функций цепи по графу в двух дуальных фор­

мах (применительно к уравнениям контурных токов и уравнениям уз­

ловых напряжений) были даны Кирхгофом и Максвеллом. Эти правила

сводятся к нахождеНliЮ по графу пепи определителей , jj и iJ'

мыканий пр". удалении которых остается один контур, содержащий

ветви с Uj и /} .

Применим эти правила к вычислению определителей , l1 И 12

можные способы разбиения ветвей на дерево и замыкания (рис. 2.7)г. В соответствии с первым правилом Кирхгофа из рис. 2.7, 6, в и следует, что = ZlZЗZ4 + Z2Z ЗZ4 +ZlZ2Z4, сравните с выражени­

разобранной p aH e задачи . Рассмотрим граф цепи (см. рис. 2.3) и воз­

еме(2, ж. 12), з. Множества замыканий для случаев, приведенных на рис. 2,7,

д, и не показанных на нем, содержат ветви с нулевыми сопро­ тивлениями , и поэтому соответствующие произведения в выражение

для не вошли.

с) Zt,

ПО третьему правилу Кирхгофа из рассматриваемого графа

12 = Zl Z2 + Z1 Zз + Z, Za + Z2 Z• .

Правила Максвелла формулируют так:

1) определитель равен сумме произведений проводимостей ветвей,

образующих все возможные деревья графа цепи;

2)определитель i i равен сумме произведений проводимостей вет­

вей всех возможных деревьев графа цепи, получающейся после замыка­ ния узла с базисным, относительно которого отсчитывают напряжения;

3)определитель ij равен сумме произведений проводимостей вет­

вей деревьев, общих для двух цепей, получающихся замыканиями уз­ i и j с базисным.

велла для вычисления определителей в этих двух случаях неудобно. Поэтому чаще пользуются правилами Максвелла или им эквивалент­ ными. При этом, если рассчитываемая цепь охарактеризована прово­ димостями узлов, т. е. матрицей (У), правила применяют непосредст­ венно для этой цепи.

В случае использования для характеристики рассчитываемой цепи сопротивлений контуров, т. е. матрицы (Z) , сначала эту цепь заменяют дуальной, а затем применяют правила Максвелла. Проиллюстрируем это на примере рассмотренной ранее цепи (см. рис. 2.3), которая содержит три контура, номера которых соответствуют индексам напря­

пи (см. рис. 2.3) . В нем узлы соответствуют контурамс , деревья - замы·

каниям и наоборот. Возможные деревья ненулевыми ветвями для полученного графа приведены на рис. 2. 10.

Используя первое правило Максвелла, получим

=Z1ZЗZ' +Z2ZЗZ' +ZtZ2Z.,

что соответствует выражению (2. 12) .

По второму правилу Максвелла для вычисления [\11 следует замк­

0,1

Рис. 2. 1 1

48

совпадающее с выражением (2. 1 3). Применяя третье правило Максвел­ ла, найдем [\12' совпадающее с выражением (2. 1 4).

ют Мы использовали здесь графы цепи для вычисления определителей [\ и l1iJ систем линейных уравнений. Из этих определителей составля­ все решения системы линейных уравнений. Очевидно, можно сфор­ мулировать правила получения необходимых решений системы уравне­

ний сразу по графу , не прибегая к составлению8 уравнения; в этом смыс­

ле граф эквивалентен системе линейных уравнений. Эго обстоятельст­ во лежит в основе использования графов теории линейных электри­

ческих цепей и во многих других науках. Теория графов - развитая

математическая дисциплина и, как всякий раздел математики, находит широкое применение.

2.7. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ КАК МНОГОПОЛЮСНИк.

ДВУХ- И ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

Системы автоматики, телемеханики и связи представляют собой сложные комплексы разнообразных взаимосвязанных устройств, де­ тальное рассмотрение электрических цепей которых возможно только по

частям.

Рассматриваемая электрическая цепь должна быть отделена от си­ стемы, частью которой она является. При этом воздействия, которым цепь подвергалась со стороны системы, и реакции системы на воздейст­

достигается включениема в схему рассматриваемой цепи эквивалент­

вия со стороны этой цепи следует заменить эквивалентными. Первое

ных генераторов, второе - эквивалентных нагрузок. Точки подклю­

детального рассмотрения из более сложной системы, может иметь не0­-

сколькол входов и выходов. Такую цепь и взаимодействие ее с внешней средой изображают как на рис. 2 . 12, а саму цепь называют м н о г о п

ю с н и к о м.

Основные практические задачи сводятся обычно к установлению

связей между напряжениями и токами на входах и выходах многопо­

люсника , или, другими словами, к определению его входных и переда­

точных функций.

В линейных цепях благодаря принципу наложения возможно по­

очередное рассмотрение действия каждого из генераторов (или источ­ ников). При этом возникает несколько типичных задач, методы реше­

ния которых достаточно разработаны и находят все большее примене­

ние в различных областях телемеханики и связи. Совокупность поня­

тий, используемых при решении этих задач (переменных, параметров

и взаимосвязей между ними), образует математические схемы - осно­

ву теории линейных электрических цепей.

Наиболее важными задачами являются следующие:

определение или обеспечение заданной связи между напряжением

и током на одном из входов цепи (см. рис. 2. 1 2), например на входе, где

49

1

____г----,

Рис. 2. 1 2 Рис. 2. 1 3

действует напряжение (;1. Для решения этой задачи достаточно исхо­ дить из эквивалентной схемы (рис. 2. 13) . Поскольку здесь рассматрива­

входа n-фазной цепи, представляющей собой n-полюсник;

определение или обеспечение заданных связей между напряжением

и током на нескольких входах. В этом случае используют эквивалент­

ную схему (рис. 2 . 14, а). Цепь, выделенную таким образом, называют

2n-полюсником. Здесь простейншим случаем является цепь с двумя

входами 1 и 2 (рис. 2. 14, б и в) . В соответствии с числом зажимов ее на­ зывают ч е т ы р е х п о л ю с и к о м. С помощью матричной алгеб­

ры все, относящееся к цепи с двумя входами, автоматически переносит­

ся на цепи с большим числом входов;

определение или обеспечение заданных связей между напряжением и током на нескольких входах и выходах цепи . Здесь, как и в предыду­

щей задаче, наиболее типичным, простым и легко обобщаемым случа­

ем является цепь с одним входом и одним выходом (рис. 2 . 14, г) .

В виде четырехполюсника представляют также и цепь с двумя вхо­

дами (см. рис. 2. 14, в) .

Определение связей между токами и напряжениями есть анализ це­

пи, его выполняют по известной схеме и определяют ее частотные или

BpeMeHHble характеристики. Обеспечение заданных связей между на­

пряжениями и токами есть с и н т е з цепи - построение цепи с задан­

ными свойствами, например с определенной частотной характеристи­ кой.

В обоих случаях (анализа и синтеза) очень важно уметь предста­

вить сложную цепь в виде соединения более простых цепей, для кото­

50