Добавил:

mode11 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математическое моделирование объектов и систем управления

Файл:

лабораторные / ЛР 3

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2021

Размер:

80.03 Кб

Скачать

☆

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра КСУ

отчёт

по лабораторной работе №3

по дисциплине «Математическое моделирование объектов и систем управления»

Тема: Анализ устойчивость динамических систем средствами MATLAB

Вариант 1

Студенты гр. 6408

Нуртазин И.

Попов М.М.

Лукьянцов К. В.

Преподаватель

Шпекторов А.Г.

Санкт-Петербург

2020

Цель работы: 1 – Сформировать ss-объект, соответствующий LTI – модели самолета со входом u= (δ_e δ_nF)^T и выходом y

2 - Замкнуть объект данным регулятором

3- При значении k3=0,799 проверить устойчивость с использованием второго метода Ляпунова. Построить диаграмму расположения полюсов на комплексной плоскости.

4- Найти область устойчивости по параметру к3

Задание:

Объект управления – пассажирский самолет Боинг-747, который управляется в боковом движении с помощью руля направления и элеронов: их отклонения от нейтрального положения обозначены как _n и _e соответственно. В вектор состояния входят следующие компоненты: v_z – скорость бокового сноса; _y – угловая скорость по рысканию; _x – угловая скорость по крену;  – угол рыскания;  – угол крена; z – боковой снос. Система линейных дифференциальных уравнений, описывающих процесс стабилизации самолета в боковом движении при посадке, имеет следующий вид:

Регулятор:

Содержание работы:

Сформировать SS-объект

Общий вид:

А – Матрица состояний, В – Матрица входов, С - Матрица выхода, D – Матрица обхода.

За переменные состояний возьмем следующий порядок:

Выходами данного объекта будут следующими:

Входы данного объекта равны:

Матрицы А, В, С, D равны

Где

a11=-0.089;

a12=-2.19;

a13=0.328;

a14=0.319;

a15=0.0327;

a16=0.089;

b11=0.076;

b12=-0.217;

b13=-0.166;

b14=0.0264;

b15=-0.151;

b16=-0.076;

d11=-0.602;

d12=0.327;

d13=-0.975;

d14=0.227;

d15=0.0636;

d16=0.602;

i11=0.15;

f=2.21;

Графически данный объект можно представить следующим образом:

Рис.1. Графическое представление объекта ss.

Создадим объект регулятора:

Матрицы А, B, C – нет, матрица D равна:

Для замыкания объектов используется функция lft, данная функция замыкает первые указанные выходы второго объекта, с последними входами первого объекта, и последние указанные выходы первого объекта, с первыми входами второго объекта. Что бы получить нужное замыкание, необходимо изменить порядок столбцов в матрице В первого объекта.

После преобразования в первом объекте, порядок входов стал:

Графически можно изобразить следующим образом:

Рис.2.Замыкание объекта и регулятора.

Проверим устойчивость с использованием второго метода Ляпунова при k3=0.799.

Метод Ляпунова состоит в решении уравнения вида:

Где Р – неизвестная, Е – единичная матрица размером матрицы А (nxn)

Затем вычислить ведущие миноры матрицы Р, если все миноры >0, то система асимптотически устойчива.

В матлабе для нахождения матрицы Р используется функция Р=lyap(A,E). Матрица P выглядит следующим образом:

Все ведущие миноры матрицы Р > 0, следовательно, система асимптотически устойчива.

Рис.4. Ряд из миноров матрицы Р.

Рис.5. Расположение полюсов на комплексной плоскости

4. Найти область устойчивости по k3

Для этого создадим множество ss объектов с разным параметром k3. Используем диапазон [-10:0.1:50]. Для каждого объекта найдем максимальный (наибольший) вещественный корень, если этот корень <0 – то и все корни матрицы А <0, следовательно система устойчива, если же максимальный корень >0 – система неустойчива. Ниже представлены максимальные вещественные корни при разных k3 от -10 до 100 с шагом 0,1.

Рис.6. Максимальная вещественная часть от k3

Область устойчивость данной системы располагается ниже 0 по оси Re max.

Код программы:

clear,clc;

a11=-0.089;

a12=-2.19;

a13=0.328;

a14=0.319;

a15=0.0327;

a16=0.089;

b11=0.076;

b12=-0.217;

b13=-0.166;

b14=0.0264;

b15=-0.151;

b16=-0.076;

d11=-0.602;

d12=0.327;

d13=-0.975;

d14=0.227;

d15=0.0636;

d16=0.602;

i11=0.15;

f=2.21;

Продолжение

A=[a11, a12, 0, a13, a14, 0; b11, b12, 0, b13, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 0, 0;...

d11, d12, 0, d13, 0, 0; 0, i11, 0, 1, 0, 0; 1, 0, f, 0, 0, 0];

B=[0, a15, a16; b14, b15, b16; 0, 0, 0; d14, d15, d16; 0, 0, 0; 0, 0, 0];

C=eye(6);

D=[0, 0, 0;0, 0, 0;0, 0, 0;0, 0, 0;0, 0, 0;0, 0, 0];

S1=ss(A,B,C,D);

DD=[-1.947, -3.59, -1.421, -1.672, -7.29, -0.859; 1.263, 6.42, 0.799, 1.424, 6.08, 0.487];

S2=ss(DD);

set(S1,'B',[B(:,3),B(:,1),B(:,2)]);

S=lft(S1,S2,2,6);

set(S,'C', [0, 0, 0, 0, 1, 0], 'D',[0]);

P=lyap(S.A,eye(size(S.A)));

q=[];

for i=1:6 %цикл составляет ряд из миноров матрицы P

q=[q det([P(1:i,1:i)])];

i=i+1;

end

rooots=roots(poly(S.A));

plot(real(rooots),imag(rooots),'*') %построение полюсов

grid on

hold on

t=[-2:2];

x=0*t;

plot(t,x,'black');

plot(x,t,'black'); % строит оси

hold off

k=[];

N=[];

for i=-10:0.1:100 % цикл создает ряд наибольших вещественных корней объекта REZ

DD2=[-1.947, -3.59, -1.421, -1.672, -7.29, -0.859; 1.263, 6.42, i, 1.424, 6.08, 0.487];

S3=ss(DD2);

REZ=lft(S1,S3,2,6);

k=[k i];

N=[N max(real(eig(REZ)))];

end

figure(2);

plot(k,N);

grid on

Выводы: На основе предыдущей работы был сформирован ss объект, с помощью метода Ляпунова была проверена устойчивость этого объекта. Так же с помощью программного кода можно найти область значений параметра регулятора, где система будет устойчивой.

Практическая часть

Дано: система линейных алгебраических уравнений

– известная матрица, – известный вектор правой части, – точное решение (недостижимое), обращающее уравнение в тождество.

Вместо точного решения вводится вектор y приближенного решения, вычисляемого итерационно.

Невязка на k-м шагу – мера приближения численного решения к точному:

Поправка – взвешенная невязка:

– весовая матрица простой структуры (диагональная), при удачном выборе увеличивает скорость метода (по умолчанию можно принять единичной);

Погрешность: ошибка численного решения

Заданием на практическую работу был трёхслойный градиентный метод. В трехслойном методе решение вычисляется по значениям двух предыдущих итераций. Итерационные формулы имеют вид: