МА 2к4с в1,2

3. Вычислить Ln(3 i)

Имеем комплексное число:

√

Для него находим модуль и аргумент:

√

√

Записываем число в показательной форме:

Логарифм вычисляем по формуле:

( )

Это многозначная функция. Ограничимся главным значением , получим главное значение логарифма:

( √ )

11

4. Вычислить z dz , где l – прямолинейный отрезок, соединяющий точки

l

z 0 и z 3 4i .

Воспользуемся формулой:

Поскольку

То:

| | √

А значит действительная и мнимая части:

√

Рассмотрим интеграл вида:

Тогда:

12

5. Вычислить (3z2 2z)dz , где АВ – часть параболы y x2 от точки

AB

z 0 до точки z 1 i .

Имеем:

Тогда:

13

{

{

Тогда подынтегральная функция:

| |

14

Поэтому:

15

√

Функция является аналитической в верхней полуплоскости, за исключением полюса:

Это полюс 2 порядка.

Проверим:

Тогда:

16

Контрольная работа. Вариант №2

Часть №1

y

1. Вычислить, перейдя к полярным координатам, D x2 y2 dxdy , где

область D ограничена линиями:

y2 6y x2 0; y2 10 y x2 0; y x; x 0. Сделайте рисунок.

Решение:

Преобразуем уравнения линий, перейдем к полярным координатам,

используя соотношения:

Тогда заданные уравнения примут вид:

Сделаем чертеж:

Вычислим интеграл:

18

19

2. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

Найдем координаты точки пересечения линий:

√

Вычислим площадь заштрихованной фигуры:

] [ ]

20