Лекции / Т4_ДГМ

После не сложных преобразований структурную схему наблюдателя можно представить как

y

На основании преобразованной структурной схемы динамика наблюдающего устройства этого типа будет определяться характеристическим уравнением вида

устройства

Требуется спроектировать редуцированное наблюдающее устройство для объекта управления, заданного следующей структурной схемой. Известно, что доступной измерению является скорость исполнительного органа ω2 = x2 . Требуется спроектировать наблюдающее устройство для оценки переменных ω1 = x3 и Mу = x2 , т.е. определить структуру и

коэффициенты наблюдающего устройства. Решая подобную задачу необходимо работать с векторно-матричным описанием объекта, причём 44

обозначения переменных состояния необходимо выполнить соблюдая следующее правило: сначала индексируются переменные доступные измерению, а затем не измеряемые. Обозначим переменные состояния объекта как показано на рисунке.

Принимая во внимание уравнение редуцированного наблюдателя

определим для нашего объекта все матрицы, входящее в это уравнение. С учётом введённых обозначений переменных состояния векторно–матричное описание рассматриваемого объекта получит вид:

45

4.3 Проектирование линейных оптимальных систем для

управления объектами со случайными возмущениями типа «белого

шума».

На реальные объекты управления часто действуют случайные возмущающие воздействия, а измерения физических координат сопровождается шумами. Кроме этого не все переменные состояния объекта доступны измерению. Поэтому одной из распространенных задач, решаемых при разработке системы управления, является задача линейного оптимального управления объектами со случайным возмущением.

Рассмотрим класс объектов со скалярным входом и одной управляемой переменной, математическое описание которых может быть представлено

Доступным измерению является «r» переменных состояния из общего числа n. Задача построения линейной оптимальнойсистемы, включающей в себя наблюдатель и обратные связи по восстановленным переменным, состоит в определении такого управления u Y , при котором критерий:

(4-12)

достигает минимума при удержании выходной переменной z в нулевом заданном состоянии zз=0

Положительно определенные весовые коэффициентыты и определяют вклад в критерий качества средних значений квадрата отклонения управляемой переменной от предписанного (нулевого) значения и квадрата управления который при этом затрачивается. Сформулированная задача решается на основе принципа разделения. Применение данного принципа позволяет доказать, что матрица коэффициентов «*» оптимального регулятора, замкнутого по полному вектору состояния остается неизменной и в том случае, когда замыкание системы производится по оценкам вектора состояния \ , восстановленным наблюдающим устройством, параметры которого определены из условия минимума среднего квадрата ошибки восстановления. Таким образом, оптимальное управление, обеспечивающее

минимум критерия (4-12) формируется в виде:

* , где матрица коэффициентов обратных связей «*» как и при решении задачи

48

При необходимости стабилизировать выходную переменную « » на уровнях, отличных от нулевого, требуемое управление может быть определено как:

где {з – передаточная функция замкнутой системы от входа до управляемой переменной, - задающее воздействие. Оценка полного вектора состояния объектаз \ выполняется установившемся оптимальным

наблюдателем, который реализуется в соответствии с выражением (4-8):

? ?| ] Y Z?|

Структурная схема линейной оптимальной системы, включающей в себя регулятор и наблюдающее устройство, показана на рисунке 4.5.

Рисунок 4.5 Установившийся наблюдатель является оптимальным в том смысле, что

при определенном выборе ( 4 ) матрицы коэффициентов « ] »

минимизируется среднее значение квадрата ошибки восстановления, } ? ?| , то есть:

49

Vvwx }, @} - wv,- ∞

где @ – наперед заданная положительная весовая матрица. Дифференциальное уравнение ошибки восстановления может быть

Решение задачи построения установившегося оптимального наблюдателя достигается выбором матрицы коэффициентов наблюдателя как

] /Z,t+ (4-13)

Если обозначить среднее значение вектора ошибок восстановления}€ Мy} z, то в выражении (4-13 ) –матрица

/ xy} }€ } }€ ,z

является матрицей дисперсии ошибок восстановления, которая определяется решением алгебраического уравнения Рикатти:

К рассмотренной задаче построения оптимальной системы управления, когда предполагается что шум, возмущающий состояние объекта и шум датчиков измерения не коррелированы между собой и являются случайными процессами типа белого шума, могут быть приведены многие инженерные задачи. Однако в практических приложениях лучшим приближением

50

случайных возмущений действующих на реальный объект является цветной шум, т.е случайный процесс с определенной характеристикой спектральной плотности обычно формируемой путем фильтрации белого шума.

4.4 Проектирование линейных оптимальных систем для управления объектами со случайными возмущениями типа «цветного

шума».

Рассмотрим возможность построения линейной оптимальной системы для объектов управления с цветным шумом внешних воздействий и критерием качества (4-12). Пусть стационарный объект управления порядка « » задается уравнением:

где ur и uK - случайные возмущающие воздействия с определенными статистическими характеристиками, полученными при фильтрации некорелированных белых шумов mr и mK через соответствующие фильтры первого порядка:

Считается, что доступными измерению являются « 4 » переменных состояния объекта управления из общего числа « ».

Векторно-матричная структурная схема, соответствующая такому математическому описанию объекта может быть. представлена как показано на рисунке 4.6.

51

Рисунок 4.6

При таком описании объекта задачу построения оптимальной системы управления стремятся привести к ранее рассмотренной, когда шум возбуждающий состояние объекта и шум измерений являются случайными процессами типа белого шума. С этой целью часть описания, относящуюся к моделированию цветного шума ur a , относят к самому объекту и в дальнейшем рассматривают математическое описание расширенного объекта, которое на основании уравнений (4-15), (4-16) может быть представлено как

Введём соответствующие обозначения блочных матриц в системе выражений (4-18), которые в общем случае, когда все переменные вектора состояния & возмущаются, будут иметь следующие размерности:

2 1 ;

52

где uK - по-прежнему цветной шум.

Соответствующая (4-17) структурная схема показана на рисунке 4.7

A

Рисунок 4.7

Таким образом, включение описания формирующего фильтра в состав описания объекта управления изменяет первоначальную формулировку задачи. Теперь расширенный объект возбуждается воздействием типа «белого шума», поэтому коэффициенты жестких обратных связей при формировании оптимального закона управления могут быть как и прежде рассчитаны путем решения соответствующего алгебраического уравнения Рикатти (4-5).

Следует отметить, что расширенный вектор включают в себя не только переменные состояния объекта & , но и возмущения, действующие

53