Лекции / Т2_ДГМ

средний квадрат ошибки системы. Если ввести в рассмотрение систему управления, построенную по принципу систем с обратной связью как показано на рисунке 2.4, где Fη –некоторое случайное возмущающее

воздействие, то ошибка управления может быть представлена как G B H

Рисунок 2.4

Так какFη – случайный процесс, то выходная переменная y(t), а следовательно и ошибка δ(t), будут также случайными процессами. Поэтому ошибку δ(t) характеризуют в статистическом плане. Наиболее простой статистической характеристикой является средний квадрат ошибки, который связан с дисперсией Iδ и мат. ожиданием Jδ следующим соотношением:

KL6B H 8 M I N JN

Таким образом, средний квадрат ошибки учитывает, как случайную составляющую ошибки ( Iδ ), так и систематическую (среднюю - Jδ ).

Действительно несложно показать, что

Iδ МL6δ Jδ8 M МOδ 2δJδ Jδ P МOδ P 2МLδMJδ

называется средней квадратичной ошибкой. Средняя квадратичная ошибка 16

имеет размерность выходного сигнала системы и поэтому при практических расчётах является более удобной характеристикой, чем средний квадрат ошибки. Критерий минимума средней квадратичной ошибки получил широкое распространение в практике проектирования систем управления электромеханическими объектами благодаря тому, что он прост в математическом отношении и для многих практических задач является удовлетворительной мерой успешности решения поставленной задачи управления:

η QIδ Jδ

Для астатических систем управления постоянная составляющая

ошибки управления равна нулю Jδ 0 . В этом случае

критерий минимума средней квадратичной ошибки получит вид:

η bIδ

Практика проектирования электромеханических систем управления показывает, что стремление минимизировать значение функционала η часто приводит к решению, которое не обеспечивает системе требуемого запаса устойчивости. Чтобы ограничить колебательность систем в этом случае, при решении задач на параметрическую оптимизацию, в качестве критерия качества целесообразно рассматривать составной критерий вида:

в котором c и c -весовые коэффициенты, регулирующие вклад каждой составляющей функционала качества в его значение.

2.2 Организация вычисления составного критерия качества в процессе

параметрической оптимизации систем управления.

17

Ранее уже отмечалось, что критерий оптимальности должен быть сформирован таким образом, чтобы с одной стороны служить мерой качества управления, а с другой стороны его значение можно было сравнительно просто вычислить.

Применительно к виду критерия (2-15) рассмотрим возможную организацию его вычисления. С этой целью введём в рассмотрение структурную схему рисунок 2.5, где обозначено:

−W0 (p),Wр ( p) − передаточные функции неизменяемой части системы

(объекта управления) и регулятора, за счёт варьирования параметров

которого должен быть обеспечен экстремум критерия качества;

−Wф (p) − передаточная функция фильтра, который формирует из случайного процесса ψ (t) типа «белого шума» возмущающее воздействие Mη (t) с заданной спектральной характеристикой;

качества;

−T0 − период дискретизации изучаемого процесса δ(t) , где δ(t) - текущее значение ошибки слежения за изменением управляющего воздействия.

18

Рисунок 2.6

На втором этапе (t1 < tT ≤ tK ) на вход системы подается эквивалентное гармоническое воздействие, а на объект управления – возмущение Uµ (t) с заданной спектральной характеристикой. Начиная с момента t2 , вычисляется оценка средней квадратической ошибки наведения Sδ2 .

Время tB = tK − t2 , необходимое для вычисления оценки дисперсии ошибки наведения Sδ2 , может быть определено из следующих соображений.

Известно, что дисперсия оценки дисперсии может быть представлена в виде [1]:

Var[Sδ2 ] = 2σδ4 ,

n −1

где σδ2 - истинное значение дисперсии ошибки, а n – число наблюдений. Зададимся вероятностью того, что интервальная оценка дисперсии должна накрывать ее истинное значение величиной равной Р=0.95, что соответствует 2σ -пределу. Тогда можно записать

22σδ4 = ∆n , n −1

20

где ∆n - ширина интервала, который с вероятностью Р=0.95 будет накрывать истинное значение дисперсии.

Если ∆n принять равной, например, 10% от истинного значения, то

периода дискретизации TД изучаемого процесса. Обычно это может быть сделано на основании анализа характеристик внешних воздействий, приложенных к системе. Например, если в результате такого анализа принято

21