Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

одного действия, тогда как теория первичного квантования требует многих дополнительных допущений.

Переход от классической к квантовой системе тесно связан с вопросом об устранении избыточных бесконечностей. Как мы уже указывали, континуальный интеграл формально определен некорректно, поскольку содержит суммирование по бесконечному числу копий одного и того же объекта. Весь фокус в том, как выделить ровно одну копию.

Существуют по крайней мере три основных способа, которыми точечная частица может быть проквантована: кулоновская калибровка, формализм Гупты-Блейлера и формализм BRST.

Кулоновское квантование

Здесь мы выбираем калибровку

(1.5.1)

Другими словами, мы берем временную составляющую переменной л; равной действительному времени t, которое теперь служит параметром, описывающим эволюцию струны. В этой калибровке действие сводится к

В пределе малых скоростей (по сравнению со скоростью света) получаем

Для случая струны этот простой пример заложит основу для квантования в конусных переменных. Преимущество кулоновской калибровки состоит в том, что все духи явным образом удалены из теории, так что мы имеем дело лишь с физическими величинами. Другое преимущество состоит в том, что нулевая составляющая вектора положения теперь явным образом определена как временная переменная. Параметризация точечной частицы теперь задается посредством физического времени.

Недостаток кулоновского формализма, однако, в том, что явная лоренцева симметрия нарушается, и приходится непосредственно проверять, что квантованные лоренцевы генераторы замыкаются правильно. Хотя для точечной частицы это тривиально, удивительные свойства обнаружатся для квантовой струны, и они определят фиксированную размерность пространства-времени, равную 26.

42 Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы

нуальным интегралом мера Dxм определена некорректно, поскольку она обладает калибровочной степенью свободы, так что мы интегрируем по бесконечному числу копий одного объекта. Наивно рассуждая, можно было бы ввести условие калибровки непосредственно в континуальный интеграл. Если это условие задается приравниванием к нулю некоторой функции F, аргументами которой служат поля,

то мы вставляем эту дельта-функцию прямо в континуальный интеграл:

Однако такой наивный подход на самом деле некорректен, поскольку дельта-функция привносит нетривиальную меру в функциональный интеграл.

Суть метода ФаддееваПопова - ввести в функционал число 1, которое, очевидно, имеет правильную меру. Для наших целей самая удобная форма представления числа 1 дается выражением

где е-параметризация калибровочной симметрии координаты, описываемой преобразованиями (1.4.6), л^-вариация поля относительно этой симметрии, а детерминант Фаддеева-Попова АРР задан предыдущим уравнением.

Заметим, что интеграл из предыдущего уравнения берется по всем возможным параметризациям поля. Поскольку все параметризации уже учтены этим интегрированием, то по построению детерминант Фаддее- ва-Попова не зависит от калибровки, соответствующей какой-либо конкретной параметризации:

Теперь внесем число 1 под знак функционального интеграла и сделаем калибровочное преобразование, чтобы включить зависимость от Б в Х:

Заметим, что калибровочное преобразование снова возвращает нас от Xs к исходной переменной л;. Так как остальные части функционального интеграла не зависели от калибровки, имеем теперь

Теперь можно извлечь интеграл по параметру калибровки, служащий мерой бесконечного объема пространства калибровочной группы,

Заметим, что наивное квантование континуального интеграла просто вставило бы ограничение F и проигнорировало бы детерминант фаддееваПопова - ту новую конструкцию, которая позволила получить корректную меру.

Теперь вычислим детерминант Фаддеева-Попова, несущий всю информацию о появляющихся в теории духах. Для этого произведем замену переменных, перейдя от s к F. Это можно сделать, поскольку у е и F одинаковое число степеней свободы. Поэтому можно вычислить

-MSJ"

(1.6.10)

Итак, множитель Фаддеева-Попова можно выразить как простой определитель вариации условия калибровки. Удобнее ввести этот множитель прямо в действие, выразив его через экспоненту. Используем следующий трюк:

где новый вклад духов в действие дается формулой

где переменные 0 суть антикоммутирующие с-числа, называемые грассмановыми числами (см. Приложение). Обычно при функциональном интегрировании мы ожидаем получить определитель обратной матрицы. При функциональном интегрировании по грассмановым числам определитель оказывается в числителе, а не в знаменателе. Грассмановы числа обладают тем странным свойством, что

Обычно это означало бы, что 0 равно нулю. Но для грассмановых чисел это не так. Кроме того, у нас есть странное тождество

Это тождество весьма облегчает интегрирование экспонент от полей, значения которых являются грассмановыми числами, так как эти экспоненты становятся многочленами. Другие тождества для грассмановых чисел приведены в приложении, где мы показываем, что

Это тождество подтверждает, что интегрирование по грассмановым переменным дает содержащие определители множители в числителе, а не в знаменателе, так что мы можем выразить детерминант ФаддееваПопова в (1.6.11) через грассманов интеграл.

Теперь, развив аппарат квантования ФаддееваПопова, возвратимся к подходу BRST, в котором мы налагаем калибровочное условие

В такой калибровке мы должны суметь получить обычный ковариантный фейнмановский пропагатор. Чтобы это показать, заметим, что действие (1.4.14) принимает вид

L = l-(x2-m2). (1.6.18)

С этим лагранжианом наша функция Грина для распространения точечной частицы из одной точки в другую теперь дается формулой

Заметим, что это обычный ковариантный фейнмановский пропагатор, записанный в терминах первичного квантования посредством континуального интеграла.

Первоначально, до выбора калибровки, действие было инвариантно

относительно

(1.6.20)

di

Поэтому детерминант Фаддеева-Попова, связанный с выбором калибровки е = 1,-это определитель такой производной. Теперь мы используем интеграл Гаусса по грассмановым состояниям для выражения этого определителя с помощью уравнения (1.6.10):

(Если бы мы взяли обычные вещественнозначные поля вместо грассмановых, то определитель появился бы в неправильной степени.)

Собирая все вместе, мы находим, что окончательное действие можно представить в виде

Сущность подхода BRST состоит в том, чтобы заметить, что это действие с фиксированной калибровкой обладает дополнительной симметрией

На первый взгляд может показаться странным, почему уже после фиксации калибровочных степеней свободы у нас появляется еще одна симметрия. Однако эта дополнительная симметрия является глобальной и, стало быть, не позволяет наложить на теорию какие-либо ограничения. Значит, эта симметрия отлична от найденных ранее, и ее нельзя использовать для устранения из действия калибровочных полей.

Можно подытожить подход BRST, введя оператор Q, порождающий найденные ранее симметрии:

Заметим, наложение такого ограничения дает уравнение КлейнаГордона для частиц на массовой поверхности:

46 Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы

§ 1.7. ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ

До сих пор мы исследовали лишь первично квантованный подход к квантовым частицам. Квантовались только векторы положения и импульса:

Ограниченность этого подхода, однако, скоро станет очевидной, как только мы введем взаимодействия. Допустим, что мы хотим описать точечные частицы, способные сталкиваться друг с другом и расщепляться, а не только двигаться в поле внешнего потенциала. Теперь нам придется модифицировать порождающий функционал, чтобы включить суммирование по фейнмановским диаграммам:

(Заметим, что мы сделали виковский поворот в интеграле по т, чтобы экспонента сходилась. Так как показатель степени становится вещественным, из контекста будет ясно, когда в этой книге имеется в виду теория с таким поворотом. Мы не будем обсуждать тонкий вопрос о сходимости континуального интеграла.)

Другими словами, нам придется вручную просуммировать по всем топологиям частиц, если частицы могут расщепляться и преобразовываться. Каждая топология представляет развитие во времени траекторий всех точечных частиц в ходе взаимодействия. Амплитуду ЛГ-час-

Заметим, что мы берем преобразование Фурье от функции Грина, так что амплитуда является функцией внешних импульсов. Эту формулу удобнее представить в виде

Тем самым мы приписываем множитель е1кх каждой внешней частице. Он происходит из соответствующего слагаемого преобразования Фурье. Эта формула для амплитуды рассеяния, выведенная посредством континуального интеграла, важна тем, что почти без изменений переносится в формализм теории струн.

Обратите внимание, насколько неуклюже такое описание. Нам поиходится устанавливать все топологически разрешенные конфигурации и их веса вручную. Кроме того, унитарность S-матрицы вовсе не очевидна.

В описании методом вторичного квантования, однако, мы вводим

поле \|/М и квантовые отношения между самими полями, а не между

переменными:

Преимущество подхода вторичного квантования заключается в возможности выписать в явном виде гамильтониан взаимодействия, и не придется вводить суммирование по топологиям. Достаточно показать, что этот гамильтониан эрмитов, чтобы зафиксировать веса всех диаграмм и продемонстрировать унитарность S-матрицы.

Подытожим достоинства и недостатки методов первичного и вторичного квантования:

Первичное квантование

(1)Взаимодействия нужно складывать вручную, порядок за порядком относительно постоянной взаимодействия.

(2)Унитарность окончательной S-матрицы не очевидна. Она должна быть проверена в каждом порядке.

(3)Формализм с необходимостью строится в рамках теории возмущений, поскольку разложение по топологиям тесно связано с разложением по порядку постоянной взаимодействия.

(4)Трудно описать теорию вне массовой поверхности.

Вторичное квантование

(1)Взаимодействия явным образом включены в само действие.

(2)Унитарность гарантирована, если гамильтониан является эрмитовым.

(3)Формально теорию можно описать и в рамках теории возмущений, и вне этих рамок.

(4)Теория с необходимостью формулируется вне массовой поверхности.

Переход от теории первичного квантования к теории вторичного квантования также легче всего осуществить в формализме континуального интеграла в кулоновской калибровке. Ранее мы показали, что функция Грина для распространения свободной точечной частицы может быть вычислена явно:

Эту функцию Грина также можно записать в стиле вторичного

где мы рассматриваем функцию, обратную функции Грина, таким образом, как если бы она была дискретной матрицей в пространстве (.х, t), а тривиальные нормирующие множители опущены. Это позволяет записать интеграл в форме вторичного квантования. Чтобы это показать, мы применим следующие тождества, которые будут использоваться на протяжении всей книги:

(Эту интегральную формулу легко вывести, используя ранее полученную формулу для гауссова интеграла (1.3.18). Мы просто диагонализуем матрицу А, сделав замену переменных в пространстве л;. Тогда квадратичный член в подынтегральном выражении станет функцией собственных значений матрицы А. Поскольку все моды теперь стали независимы, интеграл Гаусса можно вычислить точно дополнением до полного квадрата. Наконец, делаем обратное преобразование от собственных значений матрицы А к самой исходной матрице А.)

Отсюда можно вывести следующие интегральные формулы:

Это некоторые из самых важных интегральных формул этой книги. С их помощью мы можем теперь переписать функцию Грина целиком на языке вторично квантованных полей: