Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

470 Гл. 10. Гетеротические струны и компактификация

следующем уровне, например, состояния группируются в неприводимые представления алгебры этой группы только на последнем шаге вычислений.

На следующем уровне, где т2 = 8, мы имеем в правом секторе 128 бозонов и 128 фермионов:

(Ю.3.10)

128 фермионов: |LS-! |/>я .'

Отметим, что в (10.3.10) мы образовали бозоны с помощью тензорного произведения двух фермионов.

Левый сектор, содержащий 73 764 состояния, значительно более сложен. Всего мы имеем, следовательно, 256 х 73 764 = 18 883 584 состояния. Среди них скалярными являются

число векторов с квадратом длины, равным 2т для целого т, равно произведению 480 на сумму седьмых степеней делителей т. При этом получаем 480(1 + 27) = 61 920 таких состояний [6].)

На первый взгляд совсем не очевидно, что эти 69 752 скалярных состояния могут быть сгруппированы в мультиплеты группы Е8®Е8. Однако тщательный анализ показывает, что они могут быть сгруппированы в мультиплеты этой группы следующим образом:

(3875,1) + (1,3875) + (248,248) + (248,1) + (1,248) + (1,1) + (1,1). (10.3.12) 3976 векторов левого сектора разбиты на группы следующим

Таким образом, полное число состояний левого сектора равно 73 764.

На более высоких уровнях степень вырождения растет экспонен-

невозможным сгруппировать все состояния с более высокими массами р неприводимые представления этой группы. Нам необходима, конечно, более высокая симметрия для доказательства этого во всех порядках. Возможность такой группировки мы докажем с помощью алгебр Каца-Муди в § 10.7.

§ 10.4. КОВАРИАНТНАЯ И ФЕРМИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКИ

Хотя спектр гетеротической струны проанализирован в калибровке светового конуса, мы можем также выписать явно ковариантную версию первично квантованного действия. Начнем с записи в ковариантной форме правого суперсимметричного сектора. Выберем из генераторов группы супер-Пуанкаре генераторы Рц и Qa. Обобщим оператор трансляций в направлении л;. Элемент группы супертрансляций имеет вид

где 0-десятимерный спинор. Этот оператор сдвинет функцию от координат на X и фермионную координату на 0. Введем теперь (а = 1,2)

Теперь правый сектор действия Грина-Шварца (GS) может быть записан в виде

Первый член в правой части является обычным квадратичным членом Действия GS. Второе слагаемое является нелинейным членом действия GS, записанным в виде члена Весса-Зумино, и представляет собой Трехмерный интеграл по поверхности, граница которой совпадает с Провой поверхностью струны. Сумму первых двух слагаемых можно ^тать альтернативной формулировкой действия GS. Третье сла- г*емое в действии необходимо для учета связей в правом секторе.

^Аналогично, для левого сектора, содержащего изотопический сектор, Действие также может быть записано ковариантно, но при этом неводимо выбрать либо фермионы, либо бозоны. Из теории групп Ли мы 3®аем, что генераторы алгебры Ли могут быть записаны либо как ^оизведение бозонных, либо как произведение фермионных полей.

472 Гл. 10. Гетеротические струны и компактификация

Таким образом, имеем

где индекс I = 1, ... , 32 нумерует фундаментальное представление группы SO(32). Важно заметить, что эти фермионы преобразуются как

лоренцевы скаляры. Индекс / является внутренним индексом. ДЛя фермионных осцилляторных мод v|/J можно, конечно, выбрать граничные условия либо Рамона (периодические), либо Невё-Шварца (антипериодические).

Для бозонного представления тот же самый изотопический сектор

можно записать в виде

где /= 1, ... ,16. Это, конечно, дает использованное ранее представление светового конуса, в котором мы нарушили лоренцеву ковариантность. (На первый взгляд может показаться странным, что левый и правый секторы помечены знаками ± , что, похоже, выделяет ло- ренц-неинвариантные направления в двух измерениях. Однако приведенная выше формулировка является репараметризационно инвариантной, поскольку направления ± расположены в касательном пространстве. Таким образом, двумерная репараметризационная инвариантность остается нетронутой.)

Выпишем теперь полное пространственно-временное действие (без изоспиновой части), содержащее как левый, так и правый секторы ковариантным образом:

калибровку. При этом действие для гетеротической струны п р и в о д и т с я к виду

S = \\d2z{{dаХ»)2 + /Ур" х|/, + п|/V д + V1). 0°-4'8)

Целью проведенного рассмотрения было показать, что к о в а р и а н т н а я

474 Гл. 10. Гетеротические струны и компактификация

R'J = 8-Sy'IJ~ S,

(Отметим, что мы выбрали тот базис, в котором k + обращается в нуль, что значительно упрощает вычисления. Вычисление при ненулевом к+ является достаточно сложным, поскольку требует выполнения преобразования Лоренца с генераторами М - 1 , нарушающими симметрию.)

Могут быть также выписаны вершинные функции для калибровочных полей. Некоторое усложнение, однако, заключается в том, что 496 векторных полей в присоединенном представлении калибровочной группы могут быть разбиты на 16 «нейтральных» калибровочных бозонов, преобразующиеся как элементы картановской подалгебры, и 480 «заряженных» полей, соответствующих корням К1 с (К1)2 = 2. Нейтральные поля определены формулой

Таким образом, для калибровочных бозонов мы должны иметь два типа вершин. Вершины для нейтральных калибровочных полей в сущности те же, что и раньше, следует только заменить лоренцев индекс на внутренний:

где

ИУ1 d(i + a)

где нормально упорядоченная часть вершины возникает из левого сектора, а С мы определим ниже.

Один из способов проверки того, что мы имеем правильный вид вершинных функций, заключается в непосредственном действии на них оператором суперсимметрии (10.3.1), который должен переводить бозонные вершины в фермионные и наоборот. Однако доказательство, аналогичное доказательству, данному в § 3.9, весьма громоздко и потому будет опущено.

Пропагатор для данной системы также может быть легко найден обобщением пропагатора замкнутой струны. Нам представляется удобным устранить из вершинной функции зависимость от а и т и перенести ее в пропагатор. Это всегда может быть сделано, поскольку матрица сдвига по от дается, как мы видели ранее, матрицей U (а), а оператор сдвига по т совпадает с гамильтонианом Я в калибровке светового конуса:

Пропагатор, который теперь содержит интегрирования по а и т, принимает вид

Пропагатор (10.5.10) имеет в точности тот вид, который и следовало ожидать. Дельта-функция просто обеспечивает выполнение связей (Ю.2.13), что делает состояния не зависящими от сдвигов по а, а полюсы Появляются из-за наличия в знаменателе гамильтониана в калибровке светового конуса.

Построим теперь амплитуду рассеяния четырех безмассовых ка- ^бровочных бозонов с импульсами kt, поляризациями р, и зарядами

К? = 0.

Вычисление четырехточечной функции является длинным, но простым:

А = д2К(р„к,) иА-

Е rr.-?vr.-?w.-r ' ' В)

где

К = - -|>фгрзр2 -р4 + SUP2 Р3РГР4 + ^РГР2 Рз 'Р4]

-^[РГ^4РЗ'^2Р2'Р4 + Р г ' к з Р ^ Р Г Р з

+ Pi * ^3 Р4 " ^2 Р2 РЗ + p2*k 4p3'k lPrPJ