Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

вычисляем индекс оператора Дирака для D-мерного многообразия! ДЛя того чтобы вычислить этот континуальный интеграл, мы должны выполнить интегрирование в окрестности классического решения:

Выполним сначала интегрирование по л;. Если мы разложим по степеням

Ксчастью, это функциональное интегрирование выполнить легко. Как

ираньше, гауссово интегрирование (9.8.29) дает детерминант

где детерминант не включает постоянных мод. Этот детерминант может быть легко вычислен подстановкой в него полного набора собственных состояний. Однако эти собственные состояния периодичны по собственному времени t. Таким образом, получаем следующий результат:

где произведение по целым числам к возникает вследствие того, что при вычислении детерминанта мы вставляем периодические функции, удовлетворяющие условию

Итак, мы получили теорему Атьи-Зингера для оператора Дирака на замкнутых ориентируемых многообразиях без края (см. (9.4.26) й (9.5.18)).

Детерминант в правой части может быть вычислен «диагонализацей» 2-формы кривизны и записи ее в терминах ее собственных значений Таким образом, мы воспроизводим Л-род, приведенный в (9.4.26).

Выражение для индекса оператора D может быть записано как интеграл от произведения двух 2-форм кривизны, одна из которых-для гравитационной части, а другая-для калибровочной части. Для завершенности выпишем четыре классических комплекса и связанные с ними теоремы об индексе:

где е-эйлерова характеристика, tdхарактеристика Тодда, ch-характе- ристика Черна, где мы удвоили значение формы кривизны, ch - обычная характеристика Черна д является комплексно сопряженным к dz при использовании комплексных координат z, z для описания двумерной

поверхности. (Мы будем обсуждать комплексные многообразия в гл. 11.)

§ 9.9. РЕЗЮМЕ

Мы использовали множители Чана-Патона и сокращение аномалий для фиксации калибровочной группы теории струн. Множитель Чана-Патона является просто следом от произведения различных генераторов группы, на который умножается член Б о р н а - В е н е ц и а н о :

перестановки

К сожалению, единственное ограничение, налагаемое на выбор ГРУП?!? условием унитарности, состоит в том, что допустимы группы Usp(M' SO (N) или U (N) с произвольным N.

Более сильные ограничения на выбор группы возникают, если

потребуем, чтобы модель была свободной от аномалий. Вообще говоря, здомалия возникает всякий раз, когда классическая симметрия лагранжиана не сохраняется в процессе квантования. Киральная аномалия, например, возникает из-за того, что метод регуляризации (ПаулиВил- ларса, например, или размерной регуляризации) всегда нарушает авральную инвариантность.

Вчастности, дивергенция аксиального тока не обращается в нуль,

аравна

что является полной производной или топологическим членом, определяемым через ток

Вообще говоря, в более высокой размерности аномалия будет пропорциональна топологическому члену. Например, используя теорию форм, можно показать, что «-кратное произведение тензора кривизны может быть записано как дивергенция от другой формы. Например, можно показать, что след от п-й степени тензора кривизны может быть записан в терминах дивергенции от формы Черна-Саймонса:

1

ТгCln = nd$ dt tn~l Т г { A ( d A + tA2)n~l}. (9.9.4)

о

Изучение этих инвариантных полиномов приводит нас к теории характеристических классов. Существует четыре классических характеристических класса. Класс Черна может быть определен как

Наконец, существет класс Штифеля-Уитни, который не может быть

вписан в терминах форм кривизны. Однако этот класс будет важен при Анализе спинорной структуры на многообразиях. В частности, при ^Ращении в нуль CDj, со2 мы получаем ориентируемое спинорное ^огообразие, на котором можно задать спиноры:

454 Гл. 9. Аномалии и теорема Атьи-Зингера

Теоремы об индексах обычно записываются через следующие инвариантные полиномы:

Наибольший интерес представляет теорема об индексе оператора Дирака, касающаяся разности числа решений уравнения Дирака с нулевым собственным значением положительной и отрицательной киральности. Используя суперсимметричную сигма-модель, можно показать следующее:

Вооружившись этим теоретическим аппаратом, можно вычислить калибровочные и гравитационные аномалии, найденные в теории супергравитации и теории суперструн. В этом случае гравитационные и калибровочные аномальные вклады возникают из-за того, что внутренняя линия может быть

(1)либо киральным фермионом спина 1/2,

(2)либо киральным фермионом спина 3/2,

(3)либо антисимметричным тензором, не имеющим ковариантного

действия.

Вычисление аномального вклада выполняется точно по фейнма- новским диаграммам. Вычисление, однако, чрезвычайно упрощается, поскольку можно сделать некоторые предположения о тензоре поляри- зации внешних линий, редуцируя, таким образом, его спин. Следо- вательно, трудная проблема свертки по различным индексам сводится к более простой задаче свертки по частицам более низкого спина.

Окончательные результаты таковы:

Собирая все вместе, мы находим полный аномальный вклад как от калибровочного, так и от гравитационного секторов:

+ гкН'Л+ Зй™' ™4+15*(т",г)'(99Л2)

Как ни странно, можно обратить это" выражение в нуль, сделав несколько предположений. Вначале мы должны положить п равным 496 (если не касаться модели SO (16) х SO (16), которая будет обсуждаться в следующей главе). Затем мы предположим, что можно факторизовать

аномалию в произведение двух членов:

Заметим, что десятимерная супергравитация немедленно отбрасывается, Потому что указанное выше тождество не может быть удовлетворено. Однако теория струн имеет одно большое преимущество перед теорией Ч^ергравитации. Наличие в теории суперструн полей более высокого спина означает, что предел нулевого наклона теории не должен ^Аудироваться точно к теории супергравитации. В частности, взаимодействия поля В в теории суперструн таковы, что они могут в принципе Тратить члены, выписанные выше.

Подлинное доказательство того, что аномальный член обращается в Пуль, должно быть выполнено в струнном формализме с помощью

однопетлевого шестиугольного графа. Мы используем регуляризацию типа ПаулиВилларса на промежуточных линиях и потом суммируем по планарным и неориентируемым петлям. Аномалия пропорциональна следующему выражению:

Окончательно, суммирование планарных и неориентируемых диаграмм дает

Чтобы обратить этот член в нуль, необходимо положить п = 32 и

Г1 Usp («),

Следовательно, калибровочная группа должна совпадать с О (32).

ЛИТЕРАТУРА

[1]Paton J. Е., Chan Н.М. Nuch. Phys. BIO, 516 (1969).

[2]Adler S.L. Phys. Rev. 177, 2426 (1969).

[3]Bell J.S., Jackiw R. Nuovo Cimento 60A, 47 (1969).

[4]Bardeen W.A. Phys. Rev. 184, 1848 (1969).

[5]Witten E. In Symposium on Anomalies, Geometry, and Topology (ed. by W.E. Bardeen and A. R. White). World Scientific, Singapore, 1985.

[6]Frampton P.H., Kephart T. W. Phys. Rev. Lett. 50, 1343 (1983); Phys. Rev. D28, 1010 (1983).

[7]Townsend P. K., Sierra G. Nucl. Phys. B222, 493 (1983).

[8]Zumino В., Wu Y.S., Zee A. Nucl. Phys. B239, 447 (1984).

[9]Wess J., Zumino B. Phys. Lett. 37B, 95 (1971).

[10]Eguchi Т., Gilkey P.B. and Hanson A.J. Phys. Rep. 66, 213 (1980).

[11]Nach C., Sen S. Topology and Geometry for Physicists, Academic Press, New York, 1983.

[12]Alvarez-Gaume L., Witten E. Nucl. Phys. B234, 269 (1983).

[13]Schwinger J.S. Phys. Rev. 82, 664 (1951).

[14]Marcus N, Schwarz J.H. Phys. Lett. 115B, 111 (1982).

[15]Green M.B., Schwarz J.H. Phys. Lett. 149B, 117 (1984); 151B, 21 (1984).

[16]Atiyah M.F., Singer I.M. Ann. Math. 87, 485, 546 (1968); 93, 1, 119, 139 (197H-

[17]Alvarez-Gaume, Commun. Math. Phys. 90, 161 (1983).

[18]Friedan D., Windey P. Nucl. Phys. B235 (FS11), 395 (1984).

Г л а ва 10 ГЕТЕРОТИЧЕСКИЕ СТРУНЫ И КОМПАКТИФИКАЦИЯ

§ 10.1. КОМПАКТИФИКАЦИЯ

Одна из серьезных проблем, с которыми сталкивается теория струн, заключается в описании перехода от 26- и 10-мерной теорий к реалистичной 4-мерной теории. До тех пор пока такая размерная редукция не будет выполнена, теория не может претендовать на сколько-нибудь серьезное описание физической реальности.

Пока размерная редукция не выполнена в рамках полевой теории, наилучшее, что можно сделать,- это рассмотреть классические решения, описывающие спонтанную компактификацию дополнительных изме-

пактификации 26-мерного пространства к 10 измерениям.

Как мы видели в предыдущей главе, сокращение аномалий возможно для групп 0(32) и Е8 (х) Е8. Мы видели, однако, что метод ЧанаПатона не работает для исключительных групп. Поэтому для получения модели с группой Е8 ® Е8 необходимо применить другой метод, использующий компактификацию на автодуальную решетку. Хотя теория гетеротических струн является теорией замкнутых струн, она содержит поле супер-Янга-Миллса, возникающее обычно в секторе открытой струны для струн типа I.

В теории гетеротических струн используется обманчиво простое

Это означает, что при компактификации 26-мерной струны к 10-мерной остается 16 дополнительных измерений, которые могут быть помещены на тор, генерируемый корневой решеткой группы Е8® Е8, что приводит, как известно, к свободной от аномалий теории. Это наблюдение было сделано Фройндом [1].

В гетеротической струне используется тот факт, что замкнутая струна имеет два независимых сектора: правый и левый. В правом секторе все функции зависят от сг + т, а в левом от а —т. Это расщепление существенно используется в теории гетеротических струн. Слово «гетерозис» означает «гибридная сила (энергия)». Здесь это означает, что ^симметричный подход к левым и правым модам приводит к гибридной теории, значительно более сложной, чем изучавшиеся ранее суперструны ^Ипа I и II. Было показано, что эта теория не имеет тахионов, "^аномальна и является конечной в однопетлевом приближении.

Прежде чем начать обсуждение гетеротической струны, опишем Процесс компактификации на простейшем примере скалярной частицы

458 Гл. 10. Гетеротические струны и компактификация

в периодическом одномерном пространстве. Это означает, что мЬ1 делаем отождествление

где R- радиус этого пространства, являющегося одномерной вещественной осью, факторизованной по одномерной решетке Г длины 2nR:

Поле, определенное в этом периодическом пространстве, должно поэтому удовлетворять условию

Это означает, что оно может быть разложено по периодическим собственным функциям:

где «-произвольное целое число. Таким образом, видим, что соответствующий координате х импульс р квантуется в терминах целых чисел. Это является характерной чертой всех компактификаций.

Обобщим теперь это на частицу в 5-мерном пространстве-времени, пятая координата которого свернулась в окружность и стала периодической. Рассмотрим скалярное поле, удовлетворяющее безмассовому уравнению КлейнаГордона:

Как и выше, можно разложить скалярное поле по периодическим собственным функциям:

п

где р5 = n/R. Заметим, что каждая собственная функция может изменить эффективную «массу» в операторе Клейна-Гордона:

Из этих простых примеров может быть сделано несколько выводов:

(1) Компактификация дополнительного измерения приводит к квантованию импульса, соответствующего к о м п а к т и ф и ц и р о в а н н о й координате. Компоненты импульса становятся целочисленными.

(2) Спектр масс в пространственно-временных измерениях, которые

компактифицированы, сдвинут эффективным «массовым» членом, возникающим из компактифицированных измерений.

(3)Радиусы компактифицированных измерений могут быть совершенно произвольными. Существует большая свобода выбора решетки, на которую мы хотим компактифицировать пространство.

(4)Волновую функцию можно разложить в ряд по периодическим собственным функциям от компактифицированной координаты. В одном измерении это просто синусы или косинусы. При большем числе измерений можно взять сферические гармоники.

Теперь рассмотрим случай компактификации теорий для полей более высокого спина, таких, как общая теория относительности, в которых за счет пятого измерения будет генерироваться поле Максвелла.

Исторически идея компактификации впервые была высказана Калуцей [2-4] , который в своем письме к Эйнштейну в 1919 г. предложил идею объединения электромагнитной теории Максвелла с общей теорией относительности Эйнштейна за счет расширения пространствавремени до пяти измерений. Калуца предложил записать метрический тензор в виде

где компоненты пятимерного метрического тензора выражаются через компоненты Ац потенциала электромагнитного поля и компоненты д четырехмерного метрического тензора:

9\iv = 9\iv "Ь х2 АцAv .

Предположим, что пятое измерение экспериментально ненаблюдаемо из-за того, что оно свернуто в очень маленькую окружность. Поэтому пятая координата периодична:

То есть, проходя расстояние 2nR вдоль пятого измерения, мы приходим в ту же самую начальную точку. Исходное пятимерное риманово многообразие теперь расщепляется в прямое произведение:

Предположим, что радиус пятого измерения является таким маленьким, что он не может быть измерен. Следовательно, можно положить

При таком дополнительном предположении уравнения сильно упрощаются. Вариация метрики, например, обычно имеет вид