Excel_Pr3
.pdfЕлектронна таблиця MS Excel
Практична робота № 3
Виконувати звіт до практичної роботи не потрібно !
Тема: Використання Excel для розв’язування рівнянь
Мета: Опанування методів розв’язування нелінійних алгебраїчних рівнянь ітераційим методом, а також використовуючи сервіс „Підбір параметра” та систем алгебраїчних рівнянь за допомогою матричних функцій.
Теоретичні відомості
Метод простих ітерацій розв’язування нелінійних рівнянь
В Excel нелінійне рівняня можна розв’язати декількома способами. Розглянемо метод простих ітерацій. Щоб нелінійне рівняння f(x)=0 можна було розв’зати методом простих ітерацій, його зводять за допомогою деяких тотожних перетворень до вигляду x =ϕ(x) .
Відмітимо, що таке перетворення можна робити різними способами, і при цьому матимемо різні функції ϕ(x) в правій частині рівняння. Для знаходження кореня рівняння
x =ϕ(x) виберемо деяке початкове наближення x0 (розташоване, по можливості, близько до кореня). Далі будемо обчислювати подальші наближення x1 , x2 ,.., xi , xi+1 ,... за формулами x1 =ϕ(x0 ), x2 =ϕ(x1 ), і так далі, тобто використовуючи кожне обчислене наближення до кореня як аргумент функції ϕ(x) в черговому обчисленні. Такі обчислення за однією і тією ж формулою xi+1 =ϕ(xi ) , коли отримане на попередньому кроці значення використовується на
подальшому кроці, називаються ітераціями. Кожне наступне наближення xi+1 буде в цьому випадку розташовано ближче до кореня , ніж попереднє xi.
Сервіс „Підбір параметра”
Коли бажаний результат обчислень за формулою відомий, але невідомі значення, необхідні для отримання цього результату, можна скористатися засобом Підбір параметра, вибравши команду Підбір параметра в меню Сервіс. При підборі параметра Excel змінює значення в одній конкретній комірці до тих пір, поки обчислення за формулою, що посилається на цю комірку, не дадуть потрібного результату.
Для того, щоб приступити до знаходження коренів за допомогою підбору параметра, необхідно встановити точність, з якою будемо знаходити корінь. Корінь за допомогою підбору параметра знаходиться методом послідовних наближень. Для цього виберіть команду Сервіс -| Параметри і на вкладці Обчислення діалогового вікна Параметри задайте відносну похибку і граничне число ітерацій рівними 0,00001 і 1000, відповідно.
Розв'язок лінійного матричного рівняння
Необхідно розв'язати систему рівнянь
|
|
|
|
ax |
+bx |
2 |
+cx |
3 |
= d |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ex1 + fx2 + gx3 = h |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
kx |
+lx |
2 |
+mx |
3 |
= n |
|
|
|
|
|
||||||
матричним методом. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Система лінійних рівнянь розбивається на три матриці A, B, X і представляється таким |
|||||||||||||||||||
чином: |
A*X=B, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де A – матриця коефіцієнтів, B –матриця вільних членів, X –матриця невідомих. |
|||||||||||||||||||
|
|
a |
b |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
A = |
e f g |
|
, |
|
|
|
B = |
|
h |
, |
X = |
|
x2 |
|
. |
||||
|
|
k |
l |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
x3 |
|
|
|
Для знаходження розв'язку матричного рівняння визначаємо обернену матрицю
А-1, якщо визначник матриці А не рівний нулю, і помножимо зліва рівняння на А-1.
А-1АХ = А-1В.
Оскільки А-1 А=Е - одинична матриця, то шукана матриця невідомих X знаходиться за формулою
Х = А-1В , де A-1 – обернена матриця від матриці A.
Якщо потрібно розв'язати декілька систем лінійних алгебраїчних рівнянь, які відрізняються лише правими частинами, тоді отримуємо задачу для матричного рівняння виду АХ = В, де задані матриці А - розміру п х п, В - розміру т х п і шукана матриця X -розміру п х т .
Завдання 1. “Розв’язування нелінійного рівняння”
Дано нелінійне рівняння 2 x – 1 = sin x. Розв’язати рівняння методом простої ітерації та за допомогою сервісу „Підбір параметра”.
Порядок виконання завдання:
Щоб нелінійне рівняння 2 x – 1 = sin x можна було розв’зати методом простих ітерацій, його зводять до вигляду: x = (sin x+1)/2.
Метод простої ітерації записують так : xi+1 = (sin xi + 1) / 2, де x0 - будь-яке початкове наближення, і = 0, 1, 2, … .
Запустіть програму EXСEL.
1. Введіть заголовок таблиці і назви стовпців так.
2. Уведіть формули розв’язування задачі |
|
|
А6 |
введіть будь-яке число |
< початкове наближення > |
В6 |
=(sin(A6)+1)/2 |
< наступне наближення > |
С6 |
=ABS(B6-A6) |
< похибка > |
A7 |
=B6 |
< новий крок ітерації> |
3.Скопіюйте формули з А7, В6, С6 вниз до 13 рядка включно
Скільки буде виконано ітерацій ? Який результат і яка різниця між двома останніми
наближенними значеннями? У скільки разів зменшується ця різниця?
4.Відформотуйте числові дані, щоб було п’ять знаків після десяткової коми.
5.Розв’яжіть задачу за допомогою Сервісу „Підбір параметра”
Рівняння 2 x – 1 = sin x зведемо до наступного вигляду 2 x – sin x = 1
Для знаходження коріння рівняння виконаємо наступні дії:
Укомірку С15 введемо початкове наближення значення кореня рівняння.
Укомірку С16 введемо формулу =2*C15-SIN(C15) для обчислення значення функції що стоїть в рівнянні зліва від знаку рівності. Як аргумент використовуємо посилання на комірку С15.
У вікні діалогу Підбір параметра у полі Встановити в комірці введемо посилання на комірку з формулою, в полі Значення - очікуваний результат, в полі Змінюючи значення комірки - посилання на комірку, в якому зберігатиметься значення підбираного параметра, що підбирається (вміст цієї комірки не може бути формулою).
Вікно діалогу Підбір параметра
Після натиснення на кнопку Ok Excel виведе вікно діалогу Результат підбору параметра.
Якщо підібране значення необхідно зберегти, то натисніть на Оk, і результат буде збережений в комірці, заданій раніше в полі Змінюючи значення комірки. Для відновлення значення, яке було в комірці С15 до використання команди Підбір параметра, натисніть кнопку Відміна.
В результаті отримаємо:
6. Збережіть файл на диску.
Завдання 2. Знайти розв'язок системи рівнянь
x1 +2x2 +3x3 = 42x1 −3x2 −4x3 =1x1 +5x2 −5x3 = 7.
Порядок виконання завдання:
1. Розіб'ємо систему лінійних рівнянь на три матриці.
|
1 |
2 |
3 |
|
|
4 |
|
|
x1 |
|
A = |
2 −3 |
−4 |
, |
B = |
1 |
, |
X = |
x2 |
. |
|
|
1 |
5 |
−5 |
|
|
7 |
|
|
x3 |
|
2.Перейдіть на Лист 2.
3.У відповідні комірки введіть матриці A та B.
4.Підрахуйте обернену матрицю A-1.
Виділіть діапазон клітинок, куди буде поміщена обернена матриця. За допомогою
Майстра функцій виберіть з категорії Математичні функцію МОБР і вкажіть діапазон клітинок, де розташована матриця А. Для отримання результату у вигляді матриці потрібно обов'язково натиснути клавішу <F2> і комбінацію клавіш <Ctrl+Shift+Enter>
5.Обчисліть матрицю невідомих (корені системи рівнянь).
Виділіть діапазон клітинок, куди буде поміщено результат множення матриць. У цьому
діапазоні має бути стільки рядків, скільки їх є у першій матриці і стільки стовпців, скільки їх є в другій матриці. За допомогою Майстра функцій виберіть з категорії Математичні функцію МУМНОЖ і і вводіть діапазон комірок матриці A-1 в поле Масив1 і діапазон комірок матриці B в поле Масив2. Для отримання результату у вигляді матриці потрібно обов'язково натиснути клавішу <F2> і комбінацію клавіш <Ctrl+Shift+Enter>
В результаті отримаємо:
6. Збережіть файл на диску.
Контрольні запитання.
1.Які способи знаходження коренів рівняння ?
2.Як реалізуються ітераційні цикли в Еxcel?
3.В чому суть задачі підбору параметра ?
4.Які матричні функції потрібні для розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь?