Добавил:

Didro Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Университет

Предмет:

Программирование

Файл:

Мансуров. Основы программирования в среде Lazarus. 2010

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.04.2021

Размер:

6.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 784 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 1 Основы программирования

____________________________________________________________________

Составление программы (кодирование).

Под этим этапом подразумевается непосредственная запись полученных ранее алгоритмов на выбранном языке программирования. Современные сис-

темы программирования позволяют значительно облегчить этот процесс, хотя этот этап по-прежнему остается одним из самых трудоемких. Разумеется, этот этап предполагает хорошее знание того языка программирования, на котором ведутся работы.

В последующих разделах книги мы собственно и займемся изучением од-

ного из самых популярных языков программирования, каким является язык

Pascal.

Отладка и тестирование программы.

Под этим понимается поиск и исправление ошибок в программе. Причем под отладкой понимается исправление ошибок непосредственно в процессе ко-

дирования. Огромную помощь программисту в этом деле оказывает компиля-

тор, который указывает программисту место возникновения ошибки и характер ошибки. Однако факт того, что компилятор не сообщил об ошибке и программа стала работать, еще не гарантирует от отсутствия ошибок. Это так называемые логические ошибки или ошибки времени исполнения. Для выявления таких ошибок разрабатываются система тестов – специальным образом подобранные контрольные примеры, для которых решение задачи известно.

В крупных проектах программы подразделяются на версии. Альфа-версия это первая работоспособная версия программы. Бета-версия это версия или вер-

сии, которые передаются заказчику для дополнительного тестирования в уже реальных условиях функционирования программы.

1.3 Примеры разработки алгоритмов

____________________________________________________________________

1.3.Примеры разработки алгоритмов

1.3.1Решение квадратного уравнения.

Найти корни квадратного уравнения AX2+BX+C=0, коэффициенты A, B, C за-

даны и вводятся с клавиатуры.

Из элементарной математики известна формула для нахождения корней этого уравнения:

X1,2	B B 2 4 AC	,	(1.8)
	2 A

Однако эта формула применима только для случая действительных корней.

Но мы считаем, что коэффициенты A, B, C могут быть произвольными, поэтому необходимо произвести анализ задачи и определить возможные варианты вы-

числений. Анализ задачи и определение возможных ситуаций, возникающих в ходе вычислений, является одной из важнейших функций программиста. По-

пытка запрограммировать только формулу (1.8) может привести к неопреде-

ленной ситуации, если A=0, или B2-4AC<0. Именно программист должен преду-

смотреть возможность возникновения таких ситуаций и явным образом указать порядок вычислений в каждом конкретном случае.

Если A=0, это означает, что исходное уравнение выродилось в линейное

BX+C=0. В этом случае решением его будет

X	B	,	(1.9.)
	C

Если дискриминант B2-4AC<0, уравнение будет иметь комплексные со-

пряженные корни. Каждое комплексное число можно представить парой дейст-

вительных чисел, одно из которых изображает действительную часть, другое -

мнимую часть комплексного числа.

Действительные части обоих корней равны.

Re X1 Re X 2	B	,	(1.10)
	2A

Глава 1 Основы программирования

____________________________________________________________________

А мнимые будут иметь разные знаки, и вычисляться по формуле

Im X 1

(B 2

4 AC)

Im X

Im X1 ,

(1.11)

2 A

Исходя из этих рассуждений, нетрудно составить блок-схему алгоритма

вычисления корней квадратного уравнения:

начало

A, B, C

да

A=0

нет

D=B2-4AC

	да		D<0
			D<0		X
					X
	B			нет
REX1	B
REX1	2 A
	2 A			B	D
	B	X1		B	D
REX 2	B	X1		2 A
REX 2	2 A			2 A
	2 A			B	D
	D	X		B	D
IMX1	D	X	2	2 A
IMX1	2 A			2 A
	2 A
IMX 2	D
IMX 2	2 A	X1, X2
		X1, X2

ReX1, ReX2,
ImX1, ImX2

конец

Рис. 1.9. Алгоритм вычисления корней квадратного уравнения

1.3 Примеры разработки алгоритмов

____________________________________________________________________

1.3.2 Вычисление интегралов

Вычислить интеграл f (x)dx по формуле Симпсона с точностью 10 5 .

Формула Симпсона, как известно, имеет вид [1,2]:

b a

f (x)dx

( y

2( y

... y

) 4( y

... y

))

(1.12)

n 2

n 1

n 3

Для достижения требуемой точности применим метод двойного пересчета,

суть которого заключается в следующем. Пусть n=4 – число точек разбиения интервала (a, b).

Вычисляем интеграл I4. Затем увеличиваем n в два раза, (n=8) и вычисляем

I8.

Если |I4-I8|≤,то требуемая точность достигнута. В качестве результата бе-

рем I8. Если же |I4-I8|> , то снова увеличиваем n в два раза (n=16) вычисляем I16,

затем если |I8-I16|≤, то точность достигнута. Если нет, то повторяем вышеука-

занный процесс до достижения требуемой точности. Блок-схема алгоритма вы-

числения интеграла по формуле Симпсона методом двойного пересчета будет выглядеть следующим образом:

Глава 1 Основы программирования

____________________________________________________________________

K=1

S1=S

H=H/2

Начало

A, B, N,

K=0

H=(B-A)/N

X=A

X=X+H

S=0

S=S+f(x)+2f(X+H)

X=X+2H

да

X<B-H

нет

S=2S

S= H3 (f(A)+f(B)+S)

нет

K=1

да

|S1-S|≤

нет

да

Конец

Рис.1.10. Алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле Симпсона

1.3 Примеры разработки алгоритмов

____________________________________________________________________

1.3.3 Обработка результатов эксперимента

При решении инженерных и экономических задач часто возникает необхо-

димость в получении математических зависимостей между различными пара-

метрами, характерными для данной задачи. Исходной информацией для уста-

новления этих зависимостей является физический эксперимент или экономиче-

ские показатели. Как в том, так и другом случае мы располагаем либо таблич-

ными данными, либо точками на графике. Пусть имеется зависимость Pi , полу-

ченная при дискретных значениях Z i . Значения Pi получены из эксперимента с некоторыми погрешностями. Требуется найти зависимость P f (Z ) .

Z	Z2 Z3	Zi	Z7	Z
1				Z

Рис. 1.11. График функции

Учитывая, что P f (Z ) имеет явно выраженную нелинейную зависимость,

запишем уравнение кривой второго порядка.

P X 0 X1Z X 2 Z 2	(1.13)
В этом уравнении X 0 , X 1 ,	X 2 неизвестные пока коэффициенты. Для нахо-

ждения этих коэффициентов запишем для всех имеющихся значений Pi зави-

симость вида (1.13).

P X	0	X	Z	1	X	2	Z 2
1	0	1		1		2	1

P X	0	X	Z	2	X	2	Z	2
2	0	1		2		2		2

..………………

Глава 1 Основы программирования

____________________________________________________________________

P	X		X Z			X Z		2
i		0	1		i	2 i		(1.14
i		0	1		i	2 i
…………………….
P	X	0	X	Z	7	X	Z	2
7		0	1		7	2		7

Получена система из 7 уравнений с 3 неизвестными. Необходимо таким

методом найти X 0 , X 1 , X 2 , чтобы зависимость (1.13) лучшим способом описала результаты, представленные на графике.

Для нахождения трех неизвестных предстоит решить систему из 7 уравне-

ний. Если мы отбросим какие-либо 4 лишних уравнений, мы найдем значения неизвестных без учета этих отброшенных уравнений. С другой стороны, систе-

ма (1.14) может быть несовместной, т.е. при ее решении мы можем не получить тождества и при подстановке найденных значений неизвестных в уравнения

системы получим разницу между левой и правой частями.

Обозначим	эти разницы в соответствии с номерами уравнений через
1 , 2 ... i ,..., 7 и	будем называть их невязками. Невязка представляет собой

разницу между аналитической зависимостью и значениями Pi , заданными в ка-

честве исходной информации в дискретных точках Z i .

Для того чтобы аналитическая зависимость наиболее полно отражала ре-

зультаты эксперимента, будем минимизировать величину:

S		2
S		i
		i	(1.15)
	i 1		(1.15)
	i 1

Невязки взяты в квадрат для того, чтобы любая невязка получалась с од-

ним положительным знаком, при этом соотношения малых и больших невязок увеличатся. Минимизация S будет выражать наилучшее приближение анали-

тической зависимости к экспериментальным точкам (при заданной степени по-

линома). Рассмотренный нами метод носит название метода наименьших квад-

ратов [3].

Общая формулировка задачи:

необходимо решить систему n-линейных уравнений с m неизвестными.

1.3 Примеры разработки алгоритмов

____________________________________________________________________

a11x1+a12x2+…+a1jxj+…a1mxm=b1 a21x1+a22x2+…+a2jxj+…a2mxm=b2

(1.16)

ai1x1+ ai2x2+…+aijxj +…aimxm =bi

……………………………………………………..

an1x1+an2x2+…+anjxj+…anmxm=bn

Запишем i-ое уравнение в более компактном виде:

		m
			a ijxj = bi						(1.17)
		j	1
		n	n	m
тогда	S	2	(	a	ij	x	j	b )2	(1.18)
		i			ij		j	i
		i 1	i 1	j 1

Для минимизации S возьмем от этой величины частные производные по каждой переменной xj и приравняем к 0.

s		n	m
	2	(	aij x j bi )aij ,	(1.19)

x j
		i 1	j 1

s0 , отсюда:

x j

n	m
(	aij x j bi )aij 0 ,	(1.20)
i 1	j 1

Таких уравнений будет столько, сколько неизвестных xj и получим систему n-линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, которые решаются методом исключения с выделением главного элемента.

Глава 1 Основы программирования

____________________________________________________________________

1.3.4 Решение системы линейных алгебраических уравнений

Будем рассматривать систему из n уравнений с n неизвестными. Методы численного решения систем линейных уравнений подразделяются на две груп-

пы: прямые (конечные) и итерационные (бесконечные). Естественно, никакой практический метод решения не может быть бесконечным. Мы имеем в виду только то, что прямые методы могут в принципе (с точностью до ошибок ок-

ругления) дать такое решение, если оно существует, с помощью конечного чис-

ла арифметических операций. С другой стороны, при использовании итераци-

онных методов, для получения точного решения теоретически требуется беско-

нечное число арифметических операций. Значит, при практическом исследова-

нии итерационных методов появляются ошибки ограничения. Это не значит,

что прямые методы лучше, т.к. ошибки округления, появляющиеся в прямых методах, играют большую роль. В некоторых случаях из-за ошибок округления могут быть получены бессмысленные результаты. Несмотря на неизбежную ошибку ограничения, итерационные методы могут оказаться наиболее удобны-

ми, т.к. при его использовании ошибки округления не накапливаются.

Рассмотрим один из прямых методов называемых методом исключения

(метод Гаусса).

Для иллюстрации метода рассмотрим систему из 3 уравнений с 3 неиз-

вестными:

a11x1+a12x2+a13x3=b1 (1)

a21x1+a22x2+a23x3=b2 (2) (1.21) a31x1+a32x2+a33x3=b3 (3)

Здесь хотя бы один из коэффициентов a11, a21, a31 должен быть отличен от

0, иначе мы бы имели дело с 3 уравнениями с двумя неизвестными. Пусть a11≠0, если, это не так мы можем переставить местами уравнения, так чтобы ко-

1.3 Примеры разработки алгоритмов

____________________________________________________________________

эффициент при x1 в первом уравнении был отличен от 0. Перестановка уравне-

ний систему не изменит. Теперь введем множитель:

m2	a21	(1.22)
	a11

Умножим 1-е уравнение (1.21) на m2 и вычтем его из 2-го уравнения (1.21).

Имеем:

(a21

m2a11)x1

(a22

m2a12 )x2

(a23

m2a13 )x3

m2b1

(1.23)

Но

m a

a21

(1.24)

2 11

a11 11

Обозначим

a22

m2a12

a23

a23 m2a13

(1.25)

m2b1

Тогда 2-е уравнение (1.21) приобретет вид:

a22 x2 a23 x3 b2

(1.26)

Заменим это уравнение в (1.21) уравнением (1.26), получим систему:

a11x1+a12x2+a13x3=b1			(1)
a22 x2	a23 x3	b2	(4)		(1.27)
a31x1+a32x2+a33x3=b3			(3)
Умножим теперь (1)		в (1.27) на m3		a31	и вычтем из (3)
				a11

a32	a32	m3a12

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 784 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>