VDO_Lab5
.pdfЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 5
Тема: Оптимізація формування состава збірного поїзда методом цілочисельного лінійного програмування
1. Завдання до роботи
На сортувальній станції виконується формування збірного поїзда на ділянку, на якій знаходяться три проміжні станції (а, б, в). У сортувальному парку знаходяться n1 вагонів на а, n2 вагонів на б та n3 вагонів на в, з яких необхідно вибрати m вагонів і зформувати з них збірний поїзд. Норма часу на маневрові операції на i-й проміжній станції складає ti хв/ваг. Норма часу на формування i-ої групи на сортувальній станції - τi хв/ваг. Загальний час маневрової роботи локомотива збірного поїзда на ділянці не повинен перевищувати Т хв. Не обхідно визначити оптимальні кількості вагонів кожного призначення в составі, при яких час його формування на сортувальній станції буде мінімальним.
Вихідні дані для вирішення задачі задаються кожному студенту індивідуально.
2.Порядок виконання роботи
–2.1. Формалізувати задачу формування состава збірного поїзда: визначити змінні, цільову функцію та обмеження. Привести задачу до ОЗЛП і записати її в стандартній формі (див. п. 3.1).
2.2.Завантажити програму simplex.exe та увести симплекс-таблицю. Рішення основної задачі лінійного
програмування необхідно виконати крок за кроком. Для цього треба натиснути кнопку 
і слідувати вказівкам, що будуть з’являтися у вікні „Активний помічник”. Для прискорення розрахунків можна клацнути правою кнопкою миші на потрібному полі і вибрати необхідну формулу із списку. Обчислення виконуються до отримання оптимального рішення. В звіті необхідно навести всі проміжні таблиці.
2.3. Проаналізувати отримане оптимальне рішення задачі. Якщо воно не є цілочисельним, записати додаткове обмеження (див. п. 3.4) та додати його до останньої симплекс-таблиці, після чого повторити пошук оптимального рішення. Для модифікації симплекс-таблиці в програмі simplex.exe потрібно виконати команду Настройка→Параметри. В діалоговому вікні, що з’явиться, необхідно встановити режим „Автоматичний” та збільшити кількість базисних змінних на одну. Далі необхідно заповнити додатковий рядок симплекс-таблиці та натиснути кнопку 
. Пункт 2.3 виконується до тих пір, поки не буде отримане цілочисельне рішення.
2.4.Виконати аналіз заключної симплекс-таблиці, записати та пояснити отримані результати, зробити ви-
сновки.
3.Зміст звіту
3.1.Вихідні дані:
−кількість вагонів, що мають призначення на проміжні станції а, б, в: n1 = 18 ваг., n2 = 11 ваг., n3 = 20 ваг;
−склад збірного поїзда m = 32 ваг;
−норми часу на маневрову роботу з вагонами на проміжних станціях в розрахунку на 1 вагон: t1 = 6 хв/ваг., t2 = 5 хв/ваг., t3 = 1 хв/ваг;
−допустимий час маневрової роботи збірного поїзда на ділянці Т = 93 хв;
−норми часу на формування окремих груп збірного поїзда на сортувальній станції в розрахунку на 1 ва-
гон: τ1 = 3 хв/ваг., τ2 =1 хв/ваг., τ3 = 4 хв/ваг. 3.2. Формалізація задачі
Позначимо кількості вагонів в групах збірного поїзда призначенням на а, б, в, відповідно, змінними x1, x2, x3. Загальна кількість вагонів у трьох групах повинна дорівнювати складу поїзда:
x1 + x2 + x3 = 32
Кількість вагонів у кожній групі не може бути більше, ніж їх накопичено на час формування, тобто:
x1 ≤ 18, x2 ≤ 11, x3 ≤20
Загальний час маневрової роботи локомотива збірного поїзда на проміжних станціях обмежений величиною T, тому
6x1 + 5x2 + x3 ≤ 93
Необхідно таким чином вибрати значення x1, x2, x3, щоб загальний час формування збірного поїзда на сортувальній станції був мінімальним:
τ = 3x1 + x2 + 4x3 → min.
Для приведення задачі до ОЗЛП необхідно ввести додаткові змінні: y1, y2, y3 – залишки вагонів на сортувальній станції призначенням, відповідно, на станції а, б та в; y4 – резерв часу маневрової роботи локомотива на проміжних станціях. Після цього система обмежень буде виглядати наступним чином:
x1 + x2 + x3 =32 |
||
x |
+ y |
=18 |
1 |
1 |
|
|
+ y2 =11 |
|
x2 |
||
x |
+ y |
= 20 |
3 |
3 |
|
|
+ 5x2 |
+ x3 + y4 =93 |
6x1 |
Наведена система обмежень має 5 рівнянь та 7 змінних, з яких 2 вільних та 5 базисних. В якості вільних змінних обрані x1 та x2; тоді ОЗЛП в стандартній формі виглядає наступним чином:
x3 =32 −(x1 + x2 ) |
|
|
|||
y |
|
=18 − x |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
=11− x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
||
y |
3 |
= −12 −(−x |
− x |
2 |
) |
|
1 |
|
|
||
|
|
= 61−(5x1 +4x2 ) |
|||
y4 |
|||||
τ =128 −(x1 +3x2 ) → min
3.3. Рішення задачі симплекс-методом
Ітерація I
|
β |
|
x1 |
x2 |
|||
τ |
-12 |
1 |
|
|
|
|
-1 |
|
128 |
|
1 |
|
3 |
||
x3 |
-12 |
1 |
1 |
|
-1 |
||
|
32 |
|
|
1 |
|||
y1 |
-12 |
1 |
1 |
|
0 |
||
|
18 |
|
|
0 |
|||
y2 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
||
|
11 |
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
12 |
-1 |
|
|
|
|
-1 |
|
-12 |
|
|
|
-1 |
|
-1 |
y4 |
-60 |
5 |
5 |
|
-5 |
||
|
61 |
|
|
4 |
|||
Ітерація II
|
β |
|
y3 |
x2 |
τ |
-22 |
0 |
|
-2 |
x3 |
116 |
|
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
y1 |
20 |
|
0 |
|
11 |
0 |
1 |
1 |
|
y2 |
6 |
|
-1 |
|
11 |
0 |
|
1 |
|
x1 |
11 |
|
0 |
1 |
-11 |
0 |
-1 |
-1 |
|
y4 |
12 |
|
1 |
|
11 |
0 |
5 |
1 |
|
|
1 |
|
-1 |
|
Ітерація III |
|
|
|
β |
y1 |
y4 |
τ |
-2,4 |
-0,2 |
-0,2 |
x3 |
94 |
1 |
-2 |
-2,4 |
-0,2 |
-0,2 |
|
x1 |
20 |
1 |
0 |
-2,4 |
-0,2 |
-0,2 |
|
y2 |
17 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
x2 |
11 |
0 |
1 |
2,4 |
0,2 |
0,2 |
|
y3 |
1 |
-1 |
-1 |
2,4 |
0,2 |
0,2 |
|
|
12 |
5 |
1 |
Оптимальне рішення
|
β |
y4 |
y2 |
τ |
91,6 |
-0,2 |
-2,2 |
|
|||
x3 |
17,6 |
-0,2 |
-0,2 |
|
|||
y1 |
14,6 |
-0,2 |
0,8 |
|
|||
x2 |
11 |
0 |
1 |
|
|||
x1 |
3,4 |
0,2 |
-0,8 |
|
|||
y3 |
2,4 |
0,2 |
0,2 |
|
Отримане оптимальне рішення x1= 3,4, x2=11, x3=17,6 не є цілочисельним, тому реалізувати його практично неможливо.
3.4 Пошук цілочисельного рішення Для отримання цілочисельного рішення необхідно у існуючу систему ввести додаткове обмеження. Для
цього треба вибрати у останній симплекс-таблиці (див. п. 3.3 - оптимальне рішення) вибрати рядок i, у якому величина βi має найбільшу дробну частину:
yi = βi −(αi1 x1 +αi 2 x2 )
Тоді додаткове обмеження буде мати вигляд:
|
|
|
|
|
βi − βi ≤ (αi1 − αi1 )x1 + (αi 2 − αi 2 )x2 , |
де |
A = α |
– найбільше ціле число, що відповідає умові А ≤ α. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для останньої симплекс-таблиці (див. п. 3.3) це обмеження записується на базі змінної y1, для якої дробна |
|||
частина |
β = 0,6 є найбільшою: |
||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
14,6 − 14,6 ≤ (−0,2 − −0,2 )y4 +(0,8 − 0,8 )y2 , |
де 14, 6 |
=14 ; |
−0, 2 = −1 ; |
0,8 = 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Остаточно |
|
0, 6 ≤ 0,8 y4 +0,8 y2 , або |
|
|
|
|
|
|
−0, 6 +0,8 y4 +0,8 y2 ≥ 0 |
|
|
Для перетворення отриманої нерівності у рівняння необхідно ввести додаткову базисну змінну S1: |
|||
|
|
|
|
|
S1 = −0, 6 +0,8 y1 +0,8 y2 , |
або у стандартному вигляді |
S1 = −0, 6 −(−0,8 y4 −0,8 y2 ) |
||||
Для отримання цілочисельного рішення необхідно увести ці рівняння у останню симплекс-таблицю (див. модифіковану таблицю 1) і знову виконати пошук оптимального рішення.
Модифікована таблиця 1
|
β |
y4 |
y2 |
τ |
91,6 |
-0,2 |
-2,2 |
|
|||
x3 |
17,6 |
-0,2 |
-0,2 |
|
|||
y1 |
14,6 |
-0,2 |
0,8 |
|
|||
x2 |
11 |
0 |
1 |
|
|||
x1 |
3,4 |
0,2 |
-0,8 |
|
|||
y3 |
2,4 |
0,2 |
0,2 |
|
|||
s1 |
-0,6 |
-0,8 |
-0,8 |
|
Оптимальне рішення
|
β |
s1 |
y2 |
τ |
91,75 |
-0,25 |
-2 |
|
|||
x3 |
17,75 |
-0,25 |
0 |
|
|||
y1 |
14,75 |
-0,25 |
1 |
|
|||
x2 |
11 |
0 |
1 |
|
|||
x1 |
3,25 |
0,25 |
-1 |
|
|||
y3 |
2,25 |
0,25 |
0 |
|
|||
y4 |
0,75 |
-1,25 |
1 |
|
Отримане рішення x1= 3,25, x2=11, x3=17,75 знову не є цілочисельним, тому вводимо ще одне обмеження на базі змінних x3, y1, або y4 (див. модифіковану таблицю 2) і повторюємо пошук оптимального рішеня.
Модифікована таблиця 2
|
β |
s1 |
y2 |
τ |
91,75 |
-0,25 |
-2 |
|
|||
x3 |
17,75 |
-0,25 |
0 |
|
|||
y1 |
14,75 |
-0,25 |
1 |
|
|||
x2 |
11 |
0 |
1 |
|
|||
x1 |
3,25 |
0,25 |
-1 |
|
|||
y3 |
2,25 |
0,25 |
0 |
|
|||
y4 |
0,75 |
-1,25 |
1 |
|
|||
s2 |
-0,75 |
-0,75 |
0 |
|
Оптимальне рішення
|
β |
s2 |
y2 |
τ |
92 |
-0,33 |
-2 |
|
|||
x3 |
18 |
-0,33 |
0 |
|
|||
y1 |
15 |
-0,33 |
1 |
|
|||
x2 |
11 |
0 |
1 |
|
|||
x1 |
3 |
0,33 |
-1 |
|
|||
y3 |
2 |
0,33 |
0 |
|
|||
y4 |
2 |
-1,67 |
1 |
|
|||
s1 |
1 |
-1,33 |
0 |
|
τ = 3 3+11+4 18 = 92хв.
Отримане оптимальне рішення x1= 3, x2=11, x3=18 є цілочисельним. Значення критерію оптимальності в цілочисельній задачі більший на 0,4хв ніж в ОЗЛП, але це кращий варіант з тих, що може бути практично реалізований.
|
β |
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
β |
|
|
τ |
,6 |
,2 |
,2 |
|
τ |
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
,6 |
,2 |
,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,6 |
, |
,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
,2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
β |
|
|
τ |
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
β |
|
|
τ |
|
τ |
||||||
s1
β
τ
s1
β
τ
s2