Добавил:

posterp Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта им. академика В. Лазаряна

Предмет:

Строительная механика

Файл:

Poper_zgyn_plastyn

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.04.2021

Размер:

446.27 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Міністерство транспорту України

Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту ім.В.А.Лазаряна Львівський факультет

Цикл загальнотехнічних дисциплін

Поперечний згин пластинок.

Для студентів IIІ курсу денної форми навчання спеціальності “Залізнична колія та колійне господарство”

Львів 2005

Укладачі: Лаушник Ігор Петрович, Пелех Стефанія Олексіївна, Соболевська Юлія Генріхівна

УДК 539.3

Поперечний згин пластинок/ Дніпропетровський національний технічний університет залізничного транспорту; Укладачі: Лаушник І. П., Пелех С.О., Соболевська Ю.Г. Львів, 2005. - 35 с.

В методичних вказівках розглянуто теоретичне обґрунтування розрахунку тонких прямокутних пластинок, які знаходяться під дією поперечного навантаження. Наведені основні гіпотези технічної теорії згину пластинок, отримане основне рівняння згину пластинки та сформульовані граничні умови для різних типів закріплення країв. Розглянуті різні методи розв’язання основного рівняння. Даний приклад визначення товщини прямокутної пластинки з умов міцності та жорсткості методом сіток.

Призначені для студентів ІІІ курсу денної форми навчання спеціальності “Залізнична колія та колійне господарство”

Іл. 11.Бібл. 9.

Рецензенти:

Стасюк Б.М. – Національний університет “Львівська політехніка” Станкевич В.З. – Дніпропетровський національний університет

залізничного транспорту

Затверджено на засіданні циклу загальнотехнічних дисциплін протокол № 8 від 28 травня 2004р.

1. Основні припущення.

На цей час пластинки широко використовуються в різних галузях техніки – будівництві, машинобудуванні, авіації, тощо. Це пояснюється тим, що притаманні тонкостінним конструкціям легкість та раціональність форм поєднуються з їхньою високою несучою здатністю, економічністю та технологічністю. Розглянемо питання розрахунку прямокутних пластин на поперечне навантаження.

Пластинкою називається призматичне або циліндричне тіло, висота якого є малою порівняно з його розмірами в плані.

Висота цього тіла називається товщиною пластинки та позначається h.

Площина, яка розділяє пластину навпіл по товщині, називається серединною. Під час згину пластинки серединна площина перетворюється на зігнуту поверхню, яка відповідно називається серединною поверхнею.

Лінія перетину бокової поверхні пластинки з серединною площиною називається контуром пластинки.

Тонкими називають пластинки, для яких відношення товщини до найменшого характерного розміру в плані bh ≤ 15 . Пластинку рахують жорсткою, якщо величина

очікуваного прогину не перевищує h5 . Такі пластинки широко розповсюджені в техніці.

Це є плоскі днища та кришки резервуарів, перекриття будівель, тощо.

Поперечні навантаження, тобто сили, перпендикулярні до серединної площини пластинки, а також моменти викликають її згин. При цьому в поперечних перерізах пластинки в загальному випадку виникають згинальні моменти, поперечні сили, розтяжні (стискні) сили, крутні моменти та відповідні їм нормальні та дотичні напруження.

Зусилля та моменти в пластинках зазвичай відносять до одиниці довжини того перерізу, в якому вони діють.

При розрахунку пластинки на згин зазвичай вибирають прямокутну декартову систему координат Оxyz , для якої площина Оxy співпадає з серединною площиною. Вісь Oz спрямовують вниз. Переміщення точок серединної площини по перпендикулярам до неї називають прогинами пластинки та позначають w(x,y). Функція прогинів w(x,y)одночасно є функцією, що описує серединну поверхню пластинки. Початок координат О вибирають в залежності від форми пластинки та характеру закріплення її країв.

Точна теорія згину пластинок, яка базується на основних рівняннях теорії пружності, є досить складною. Тому виникла необхідність у створенні наближеної теорії розрахунку пластинок, яка б давала близькі до точних, але простіші розв’язки практичних задач. Приймаються наступні основні гіпотези технічної теорії згину пластинок:

1. Гіпотеза прямих нормалей: вважається, що будь-який прямолінійний елемент, перпендикулярний до серединної поверхні, лишається прямолінійним та нормальним до серединної поверхні після деформування пластинки, та довжина його не змінюється. Ця гіпотеза аналогічна гіпотезі плоских перерізів в теорії згину балок. Прямолінійний елемент, перпендикулярний до серединної поверхні, направлений вздовж осі Оz. Тому з цієї гіпотези випливає, що

γ yz = 0, γ zx = 0, εz = 0 .

(1)

2. Гіпотеза про недеформованість серединної поверхні: в серединній поверхні відсутні деформації розтягу, стиску та зсуву, тобто вона є нейтральною та її горизонтальне та вертикальне переміщення

u0 = v0 = 0 .

(2)

3. Гіпотеза про відсутність тиску між шарами пластини,

паралельними серединній площині: ця гіпотеза дозволяє нехтувати напруженнями σz порівняно з σx , σ y .

Крім цього приймають, що матеріал пластинки є однорідним, ізотропним. Напруження, що виникають, менші за границю пропорційності, тому напруження та деформації зв’язані законом Гука.

Отже, задача про поперечний згин тонкої жорсткої пластинки є плоскою задачею теорії пружності. Узагальнений плоский напружений стан описується наступною системою диференціальних рівнянь теорії пружності:

а)статичні рівняння:

∂σ

∂τ

+ X = 0

∂x

∂y

- рівняння рівноваги;

∂τ yx

∂σ y

+Y = 0

∂x

∂y

=σ

l +τ

- умови на поверхні;

=τ

l +σ

б) геометричні рівняння:

співвідношення Коші ε

∂u

∂v

, γ

∂u

∂v

;

∂x

∂y

∂x

(3)

(4)

(5)

рівняння нерозривності деформацій

∂2

∂2ε

∂2γ

;

(6)

∂y2

∂x2

∂x∂y

в) фізичні рівняння (закон Гука):

εx		=	1		(σx − µσ y )
			E

εy		=	1		(σ y − µσx )			(7)
			E

γ	xy	=		2(1 + µ)		τ	xy

					E

У наведених рівняннях:

σx ,σ y ,τxy =τ yx - нормальні та дотичні напруження в точці,

X , Y - проекції на відповідні координатні осі об’ємних сил, віднесених до одиниці об’єму тіла,

Xν ,Yν - відповідні складові зовнішніх сил, що діють на поверхні тіла, на площинці з зовнішньою нормаллю ν ,

l, m - косинуси кутів між нормаллю ν та координатними осями,

εx , εy , γ xy - лінійні та кутова деформації,

u, v - проекції переміщення на координатні осі х, у,

Е– модуль Юнга, µ- коефіцієнт Пуассона.

2.Переміщення та деформації в пластинці та їх вирази через функцію

прогинів.

Визначимо переміщення та деформації в пластинці, яка несе поперечне навантаження. Виходячи з першої прийнятої гіпотези, εz = ∂∂wz = 0 , отже функція прогинів не залежить від координати z: w = w(x, y) . Розглянемо умови для кутових деформацій:

з яких випливає, що	∂v	= −	∂w	;	∂u
	∂z		∂y		∂z

γyz = ∂∂vz + ∂∂wy = 0

γzx = ∂∂wx + ∂∂uz = 0,

=− ∂∂wx . Проінтегруємо отримані вирази по z:

u= −z ∂∂w + f1 (x, y) x

v= −z ∂∂w + f2 (x, y) y

Для визначення невідомих функцій f1 ,			f2 скористуємося гіпотезою 2 про
недеформованість серединної поверхні: u(0) = u0 = f1 (x, y) = 0,					v(0) = v0 = f2 (x, y) = 0 .
Отже,
u = −z	∂w	, v = −z	∂w	.	(8)

	∂x		∂y

Складові деформації пластинки, які відрізняються від нуля, можуть бути знайдені з

(8) та співвідношень Коші (5):

∂u

= −z

∂2 w

;

∂x

∂x2

∂v

= −z

∂2 w

;

(9)

∂y

∂y2

∂u

∂v

= −2z

∂2 w

∂y

∂x

∂x∂y

Таким чином, складові переміщень та деформації в пластинці визначаються через

функцію прогинів серединної поверхні пластинки.

3. Напруження в пластинці.

Використовуючи закон Гука (7) та співвідношення (9), отримуємо вирази для

нормальних напружень в пластинці:

σx

(εx

+ µεy ) = −

(

∂2 w

+ µ

∂2 w

)

− µ2

∂x2

∂y2

(10)

∂2 w

σ y

(εy

+ µεx ) = −

(

+ µ

)

− µ2

∂y2

∂x2

= −

∂2 w

2(1

+ µ)

1 + µ ∂x∂y

Дотичні напруження в двох інших площинах, якщо виходити з припущень (1), дорівнюють нулю. Але для виконання рівнянь рівноваги (3) вони повинні бути ненульовими:

∂τxz

∂σ x

∂τxy

∂3 w

∂

3 w

∂3 w

∂

∂2 w

3 + µ

.(11)

= −

−

2 +

∂z

∂x

∂y

− µ

∂x

∂y

∂x∂y

1 − µ

∂x

∂y

∂x

1 + µ

∂x

Вводячи диференціальний оператор Лапласа, що визначається для функції φформулою:

∆ϕ = 2ϕ =

∂2ϕ

, співвідношення (11) можна переписати у вигляді:

∂x2

∂y2

∂τxz

∂

2 w

(12)

∂z

1 − µ2

∂x

Для знаходження дотичного напруження інтегруємо (12) по координаті z:

τzx =τxz =

Ez 2

∂

w + f3 (x, y).

(1 − µ2 ) ∂x

Довільна функція f3 знаходиться з умови відсутності дотичних напружень на

верхній та нижній поверхнях пластинки:

τzx = 0 при z = ±

, отже

0 =

Eh2

∂

w + f3 (x, y) f3

= −

Eh2

∂

w .

8(1 − µ2 ) ∂x

8(1

− µ2 )

∂x

Таким чином,

∂ 2

− z

(13)

τzx = −

(1 − µ

∂x

)

Взагалі, в перерізах пластинки, перпендикулярних її серединній поверхні, виникають такі напруження:

σx

(εx

+ µεy ) = −

(

∂2 w

− µ2

∂x2

σ y

(εy

+ µεx ) = −

(

∂2 w

− µ2

∂y2

= −

∂2 w

2(1

+ µ)

+ µ ∂x∂y

∂

τzx = −

− z

(1 − µ

∂x

)

∂

τ yz = −

− z

(1 − µ

∂y

)

σy	τxy

τzy	τyx

∂2 w) ∂y2

∂2 w) ∂x2

σx

(14)

τzx

На рис.1 показані закони зміни відповідних напружень по товщині пластинки.

Зформул (14) та рис.1 видно, що нормальні напруження та дотичне напруження

τxy =τ yx змінюються лінійно, досягаючи своїх максимальних значень на поверхнях

пластинки, а дотичні напруження τxz , τ yz змінюються по параболі, приймаючи

максимальне значення в точках серединної поверхні.

Відмітимо, що аналогічно розподіляються напруження при поперечному згині балок прямокутного перерізу.

4. Зусилля в пластинці.

Розглянемо, які зусилля відповідають напруженням (14) в перерізах пластинки, перпендикулярних до її серединної поверхні. Для цього розглянемо нескінченно малий елемент пластинки, вирізаний такими перерізами.

Розглянемо площадку з нормаллю, паралельною осі Ох. На ній діють складові напружень σx , τ yx , τzx .

h/2			dz	x
z	τxy	τyx	σx
	τxy		σx
			τzx
			τzx

h/2

σy τzy

z Рис.2

Позначимо через Nх нормальну силу, яка приходиться на одиницю ширини перерізу, що розглядається (рис.2). Вона дорівнює проекції на вісь х рівнодіючої внутрішніх сил в перерізі з нормаллю, паралельною осі х. На цю вісь проектується тільки нормальне напруження σx . Відповідна йому внутрішня сила дорівнюватиме σx dy dz , а на одиницю

ширини перерізу прийдеться сила σx dz . Для знаходження нормальної сили треба проінтегрувати отриманий вираз, враховуючи (14):

∂

N x = ∫σx dz

= −

∫zdz = 0 .

(15)

1 − µ

∂x

∂y

−

Аналогічно знаходимо згинальний момент:

∂

M x = ∫σx zdz = −

∫z

+ µ

(16)

− µ

∂x

∂y

= −D

∂x

∂y

−

де

D =

Eh3

циліндрична

жорсткість.

Вона є

фізико-геометричною

12(1

− µ2 )

характеристикою пластинки при згині та грає роль, аналогічну жорсткості перерізу балки при згині EJ.

Поперечна сила:

∂

Qx = ∫τzx dz = −

− z

(17)

2(1

− µ

) ∂x

w ∫

dz = −D

∂x

−

Зсувна сила:

Sx = ∫2

τ yx dz = 0

(18)

−

Крутний момент:

M yx = ∫2

τ yx zdz = −D (1 − µ)

∂2 w

(19)

∂x∂y

−

Аналогічно знаходяться зусилля в перерізі з нормаллю, паралельною осі у. Взагалі, під дією поперечного навантаження в перерізах пластинки, перпендикулярних до її серединної поверхні, виникають такі зусилля:

-згинальні моменти:

	M x = −D (	∂2 w	+ µ	∂2 w	)	(20)
		∂x2		∂y2

	M y = −D (	∂2 w	+ µ	∂2 w	)	(21)
		∂y2		∂x2

-	поперечні сили:

	Qx	= −D	∂		2 w				(22)
	Qx	= −D	∂x		2 w				(22)
			∂x
	Qy	= −D		∂		2 w			(23)
	Qy	= −D		∂y		2 w			(23)
				∂y
-	крутний момент:
	M yx = M xy				= H = −D (1 − µ)		∂2 w		(24)
	M yx = M xy				= H = −D (1 − µ)		∂x∂y		(24)
							∂x∂y
Моменти M x , M y , H , а також сили Qx , Qy вважаються додатними, якщо для точки
пластинки з координатою z > 0 вони дають відповідне напруження,								більше	нуля в
координатах xyz.	Звернемо увагу на індекси при зусиллях. Наприклад,							M x , Qx	мають

індекс х, який показує, що дане зусилля діє в перерізі, нормаль до якого паралельна осі х. Отже показано, що внутрішні силові фактори, як і переміщення та деформації, можна виразити через функцію прогинів w(x,y). Подальший розв’язок задачі зводиться до

визначення цієї функції.

5. Диференціальне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки.

Виріжемо з серединної площини пластинки нескінченно малий елемент розмірами dx ×dy та покажемо прикладені до нього зусилля (рис.3).

	x		Qy		H
y	Qx				H
y	Qx		qdxdy	My	M		+	∂M x	dx
	Mx		qdxdy	My		x		∂M x
								∂x
z								∂x
z
					dy			H +	∂H
H	M y +	∂M y dy						H +	∂x dx
			∂y

Qy + ∂∂Qyy dy

H + ∂∂Hy dy

∂Q Qx + ∂xx dx

Рис.3 Будемо враховувати, що в силу неперервності функцій на двох паралельних гранях,

які відстоять одна від одної на dx , виникають внутрішні зусилля:

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>