Хачьян_В5

В5– ЭКЗАМЕН

1. 1) Критерий Левена: назначение!!!!!!, используемая статистика

2. Статистический анализ остатков

1. Критерий Левена предназначен для……

Обработка проводится с целью проверки воспроизводимости опытов, т.е.

неизменности условий эксперимента в n экспериментах, соответствующих

разным точкам пространства управляемых факторов. Проверка

воспроизводимости проводится как проверка однородности дисперсий

измерений отклика Y в разных точках пространства управляемых факторов.

Поскольку дисперсия помехи характеризует ее мощность, равенство дисперсий

говорит о неизменности условий эксперимента. Проверка может быть

выполнена с помощью параметрических критериев, в том числе критерий Левена.

При проверке однородности дисперсий проверяется нулевая гипотеза

H0: σY1=σY2=…=σYn

против альтернативной гипотезе H1:”хотя бы одна дисперсия отлична”

Для проверки гипотезы используются n выборок значений отклика

Yij , где i номер выборки, а j- номер измерения в выборке.

Критерии Левена использует анализ абсолютных отклонений наблюдаемых значений от соответствующих средних по группам повторных измерений. Статистика критериев имеет вид:

где m-количество сравниваемых выборок, ni (i=1,…,m)-объем i-ой выборки, Nобщее количество измерений, Zi − среднее (медиана) значений Zij по i-й выборке, Z - среднее (медиана) значений Zij по всем выборкам, а Zij может определяться одним из следующих способов:

1. Z =|y -y | ij ij i , где i y − среднее в i-й выборке для критерия Левена

Критерий Левене менее чувствителен к отклонениям анализируемых выборок от нормального закона, однако он оказывается и менее мощным.

КАК ПРИНИМАЕТСЯ РЕШЕНИЕ?

2) Остатки называют рассчитанными значениями ненаблюдаемой помехи измерения отклика. Этот вывод лежит в основе анализа остатков и определяет набор используемых приемов анализа

Статистический анализ остатков включает:

1. Проверку нулевой гипотезы о равенстве нулю математического ожидания ( H0 : me  0 при H1 : me  0 ). Если нулевая гипотеза отвергается, то возможно:

 Ошибка в выборе структуры модели (наборе регрессоров),

 Ошибки при оценивании параметров модели,

 Коррелированность входных факторов,

 Накопленные расчетные ошибки при многократном пересчете оценок параметров.

2. Проверку нулевой гипотезы о постоянстве дисперсии и равенстве ее дисперсии помехи ( H0 :²e  ² при H1 :²e  ² ).

Если нулевая гипотеза отвергается, то возможно:

 Дисперсия измерения отклика не постоянна, т.е. опыты не воспроизводимы,

 Ошибки в выборе структуры модели.

3. Проверку нулевой гипотезы о нормальности закона распределения. Отрицательное решение при проверке гипотезы ставит под сомнение результаты применения параметрических методов статистического анализа.

АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ!!!

Графики остатков позволяют:

 увидеть возможную зависимость данных от времени,

 увидеть непостоянство дисперсии измерения отклика,

 увидеть резко выделяющиеся наблюдения,

 проверить выполнение исходных предположений о свойствах помехи,

 проверить адекватность модели в целом и корректность отдельных компонент. Обычно исследуют следующие виды графиков остатков:

 «общий график» в виде проекции значений остатков на ось абсцисс или гистограмму остатков,

 линейный график остатков от номера измерения,

 линейный график остатков от значений основных входных факторов,

 линейный график остатков от предсказанных по модели значений отклика. Рассмотрим типичные примеры для линейных графиков остатков от значений входного фактора xi (рис. 3.1).

II.

1. Для приведенных исходных данных - измерений отклика по схеме однофакторного ДА при u=3 и m=3

- провести дисперсионный анализ общей суммы квадратов, т.е. разложение ее на составляющие с указанием соответствующих им параметров (число степеней свободы). Указать, как будут использованы эти суммы квадратов при проведении анализа значимости влияния входного фактора на отклик,

- провести проверку значимости влияния входного фактора на отклик.

	U1	Y5
Наблюдение 1	2	37,14
Наблюдение 2	2	39,49
Наблюдение 3	2	38,72
Наблюдение 4	4	70,42
Наблюдение 5	4	69,82
Наблюдение 6	4	67,73
Наблюдение 7	6	90,56
Наблюдение 8	6	102,45
Наблюдение 9	6	100,77

_____________________________________________________________________________________________________________

ЧИТАЙТЕ ВНИМАТЕЛЬНО УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ

ПОЛЬЗУЙТЕСЬ КОНСПЕКТОМ, ТАМ ЕСТЬ ВСЕ ФОРМУЛЫ !!!

РАЗБЕРИТЕСЬ В МАТЕРИАЛЕ, ЗАДАЧА РЕШЕНА НЕВЕРНО

Решение:

Исходные данные запишем таблицу :

j/1	1	2	3	j= jl
1	37,14	39,49	38,72	38,45
2	70,42	69,82	67,73	69,32
3	90,56	102,45	100,77	97,92
				= j=68,56

1) провести дисперсионный анализ общей суммы квадратов, т.е. разложение

общей суммы квадратов на составляющие

S₀=5938,4592 S_x=5307,5979 Sε=89,6717

2) провести расчет оценок дисперсий, используя S0, Sx , Sε и соответствующие значения параметров ν (число степеней свободы)

Суммы квадратов	Число степеней свободы ν	Оценки дисперсий
2=5938,4592	ν=u*m-1=8	S02=5938,4592/8=742,3074
2=5307,5979	ν=m-1=2	S2=5307,5979/2=2653,7989
)2=89,6717	ν=u(m-1)=6	Sε2=89,6717/6=14,9452

3) провести расчет выборочного значения F-статистики для проверки значимости влияния входного фактора на отклик

F_выб= S²/ Sε²=2653,7989/14,9452=177,5686

4) провести проверку значимости влияния входного фактора на отклик –

 Критическое значение F-статистики. найденное из таблицы П3.1 (конспект лекций)

Fкр= F0,05; ν1=2;ν2=6=5,14;

 Поскольку Fвыб> Fкр нулевая гипотеза о равенстве дисперсий должна быть отвергнута, а влияние входного фактора должно быть признано существенным.

5) Пояснить, влияние каких факторов оценивают рассчитанные оценки дисперсий и рассчитать оценку дисперсии фактора

А) Поскольку входной фактор оказывает значимое влияния на отклик, оценки дисперсий имеют следующий смысл:

- S₀² - оценивает влияние как входного фактора, так и случайной помехи измерения отклика,

- Sε² - оценивает влияние случайной помехи измерения отклика,

- S² – оценивает влияние входного фактора и ослабленное действие помехи (случайного фактора).

Б) оценка дисперсии фактора

S_x²=1/m(S² - Sε²)=1/3(2653,7989-14,9452)=2638,8537

6) Считая, что входной фактор оказывает значимое влияния на отклик, рассчитать оценку расхождения 𝛿_c² математических ожиданий серий

D_c²=u-1/um((S_x/u-1)- Sε²)=2/9((51,3697/2)-14,9452=2,3865