В5

В5– ЭКЗАМЕН

1. 1) Критерий Левена: назначение, используемая статистика

2. Статистический анализ остатков

1) Критерии Левена использует анализ абсолютных отклонений наблюдаемых значений от соответствующих средних по группам повторных измерений. Статистика критериев имеет вид:

где m-количество сравниваемых выборок, ni (i=1,…,m)-объем i-ой выборки, Nобщее количество измерений, Zi − среднее (медиана) значений Zij по i-й выборке, Z - среднее (медиана) значений Zij по всем выборкам, а Zij может определяться одним из следующих способов:

1. Z =|y -y | ij ij i , где i y − среднее в i-й выборке для критерия Левена

Критерий Левене менее чувствителен к отклонениям анализируемых выборок от нормального закона, однако он оказывается и менее мощным.

2) Остатки называют рассчитанными значениями ненаблюдаемой помехи измерения отклика. Этот вывод лежит в основе анализа остатков и определяет набор используемых приемов анализа

Статистический анализ остатков включает:

1. Проверку нулевой гипотезы о равенстве нулю математического ожидания ( H0 : me  0 при H1 : me  0 ). Если нулевая гипотеза отвергается, то возможно:

 Ошибка в выборе структуры модели (наборе регрессоров),

 Ошибки при оценивании параметров модели,

 Коррелированность входных факторов,

 Накопленные расчетные ошибки при многократном пересчете оценок параметров.

2. Проверку нулевой гипотезы о постоянстве дисперсии и равенстве ее дисперсии помехи ( 2 2 H0 :e   при 2 2 H1 :e   ). Если нулевая гипотеза отвергается, то возможно:

 Дисперсия измерения отклика не постоянна, т.е. опыты не воспроизводимы,

 Ошибки в выборе структуры модели. 42 3. Проверку нулевой гипотезы о нормальности закона распределения. Отрицательное решение при проверке гипотезы ставит под сомнение результаты применения параметрических методов статистического анализа.

II.

1. Для приведенных исходных данных - измерений отклика по схеме однофакторного ДА при u=3 и m=3

- провести дисперсионный анализ общей суммы квадратов, т.е. разложение ее на составляющие с указанием соответствующих им параметров (число степеней свободы). Указать, как будут использованы эти суммы квадратов при проведении анализа значимости влияния входного фактора на отклик,

- провести проверку значимости влияния входного фактора на отклик.

	U1	Y5
Наблюдение 1	2	37,14
Наблюдение 2	2	39,49
Наблюдение 3	2	38,72
Наблюдение 4	4	70,42
Наблюдение 5	4	69,82
Наблюдение 6	4	67,73
Наблюдение 7	6	90,56
Наблюдение 8	6	102,45
Наблюдение 9	6	100,77

_____________________________________________________________________________________________________________

Общую среднюю можно получить как среднее арифметическое групповых средних:

На разброс групповых средних процента отказа относительно общей средней влияют как изменения уровня рассматриваемого фактора, так и случайные факторы. Для того чтобы учесть влияние данного фактора, общая выборочная дисперсия разбивается на две части, первая из которых называется факторной S²_ф, а вторая - остаточной S²_ост. С целью учета этих составляющих вначале рассчитывается общая сумма квадратов отклонений вариант от общей средней:

и факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая и характеризует влияние данного фактора:

Последнее выражение получено путем замены каждой варианты в выражении S_общ групповой средней для данного фактора. Остаточная сумма квадратов отклонений получается как разность: S_ост = S_общ - S_ф Для определения общей выборочной дисперсии необходимо S_общ разделить на число измерений pq:

а для получения несмещенной общей выборочной дисперсии это выражение нужно умножить на pq/(pq-1):

Соответственно, для несмещенной факторной выборочной дисперсии:

где p-1 - число степеней свободы несмещенной факторной выборочной дисперсии. С целью оценки влияния фактора на изменения рассматриваемого параметра рассчитывается величина:

Так как отношение двух выборочных дисперсий s²_ф и s²_ост распределено по закону Фишера-Снедекора, то полученное значение f_набл сравнивают со значением функции распределения

в критической точке f_кр, соответствующей выбранному уровню значимости α. Если f_набл>f_кр, то фактор оказывает существенное воздействие и его следует учитывать, в противном случае он оказывает незначительное влияние, которым можно пренебречь. Для расчета S_набл и S_ф могут быть использованы также формулы:

Находим групповое средние по формуле 1.

N	П1	П2
1	2	37.14
2	2	39.49
3	2	38.72
4	4	70.42
5	4	69.82
6	4	67.73
7	6	90.56
8	6	102.45
9	6	100.77
∑	36	617.1
xср	4	68.567

Обозначим р - количество уровней фактора (р=2). Число измерений на каждом уровне одинаково и равно q=9. В последней строке помещены групповые средние для каждого уровня фактора. Общая средняя вычисляется по формуле:

X=(XсрP1+XchP2)/2=72.567/2=36.28

Для расчета Sобщ по формуле (4) составляем таблицу 2 квадратов вариант:

N	П21	П22
1	4	1379.3796
2	4	1559.4601
3	4	1499.2384
4	16	4958.9764
5	16	4874.8324
6	16	4587.3529
7	36	8201.1136
8	36	10496.0025
9	36	10154.5929
∑	168	47710.9488

S_общ = 168 + 47710.9488 - 9 * 2 * 36.28² = 24182.3 Находим S_ф по формуле (5): S_ф = 9(4² + 68.57² - 2 * 36.28²) = 18759.85 Получаем S_ост: S_ост = S_общ - S_ф = 24182.3 - 18759.85 = 5422.46 Определяем факторную дисперсию:

и остаточную дисперсию:

Если средние значения случайной величины, вычисленные по отдельным выборкам одинаковы, то оценки факторной и остаточной дисперсий являются несмещенными оценками генеральной дисперсии и различаются несущественно. Тогда сопоставление оценок этих дисперсий по критерию Фишера должно показать, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий отвергнуть нет оснований. Оценка факторной дисперсии больше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать не справедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки. Иначе говоря, в данном примере фактор Ф оказывает существенное влияния на случайную величину. Проверим нулевую гипотезу H₀: равенство средних значений х. Находим f_набл.

Для уровня значимости α=0.05, чисел степеней свободы 1 и 16 находим f_кр из таблицы распределения Фишера-Снедекора. f_кр(0.05; 1; 16) = 4.49 В связи с тем, что f_набл > f_кр, нулевую гипотезу о существенном влиянии фактора на результаты экспериментов принимаем (нулевую гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем). Другими словами, групповые средние в целом различаются значимо.