ИЭ / 4 семестр / Презентации с лекций / Лекция № 2
.pdf
Санкт-Петербургский политехнический университет
Высшая школа киберфизических систем и управления
Метрология, стандартизация, сертификация
Лекция 2: Представление результатов измерений. Косвенные измерения.
Семенов Константин Константинович
13.02.2021
Экскурс: способы представления погрешности 13.02.2021
Мы обсуждали три способа представления характеристик погрешности результатов измерений:
– абсолютная погрешность x и ее предельное значение :
x = xизм – xист, | x| ,
– относительная погрешность x и ее предельное значение :
x = x / xизм, |
| x| , |
– приведенная погрешность x |
и ее предельное значение : |
x = x / xнорм, |
| x| . |
Как перейти от одного представления к другому?
Ниже даны выражения для пересчета пределов погрешности.
что известно |
что необходимо вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
= / |xизм|, |
= / xнорм. |
|
|
= |xизм|, |
= |xизм| / xнорм. |
|
|
= xнорм, |
= xнорм / |xизм|. |
1 |
Правила представления результатов измерений 13.02.2021
Каковы основные правила представления результатов измерений?
Во время выполнения метрологических операций (например, измерений) нам необходимо обеспечить взаимное доверие к результатам измерений.
Значит, мы не должны сохранять недостоверные разряды в числовом представлении результатов измерений!
Естественный вопрос: какие разряды могут быть интерпретированы как достоверные, а какие – нет?
Ответ находится в определении обеспечения единства измерений:
–мы должны принимать во внимание характеристики погрешности результатов измерений,
–пределы погрешности результатов измерений содержат
информацию о том, какие разряды следует сохранять. |
2 |
Правила представления результатов измерений13.02.2021
Чтобы удовлетворить условиям обеспечения единства измерений, следует представить их результаты в форме
(xизм ) [единицы],
где xизм – результат выполненного измерения, – это максимально возможное значение модуля абсолютной погрешности, терм [единица] следует заменить на единицу измеряемой величины.
Алгоритм (российские нормы):
1. Вычислить значение .
2. Округлить полученное значение в большую сторону до одной, максимум двух значащих цифр (две цифры должны быть сохранены, если первая цифра есть 1, 2 или 3, а вторая – 5).
3. Округлить результат измерений до количества разрядов, равного количеству разрядов в округленном значении . Остальные знаки
могут быть неверны!
Замечание: чтобы определить, какой разряд достоверен, нам
необходимо представлять значения в нормализованном виде, |
|
используя мантиссу и эксопненту. |
3 |
|
|
Значимость разрядов в метрологии |
13.02.2021 |
|
|
|
|
Все разряды, сохраненные в мантиссе рассматриваемого числа, представленного в нормализованном виде, являются значимыми (т.к. первый разряд слева не равен нулю).
Ниже представлены несколько примеров определения того, какие разряды значимы, а какие – нет.
1.Пусть xизм = 10,1203 В.
В нормализованном представлении, xизм = (1,01203 101) В.
значащие цифры
2.Пусть xизм = 0,0284 A.
В нормализованном представлении, xизм = (2,84 10–2) В.
значащие цифры
3.Пусть xизм = 5067,4 Вт.
Внормализованном представлении, xизм = (5,0674 103) Вт.
значащие цифры |
4 |
|
Примеры округления результатов измерений 13.02.2021
Рассмотрим несколько примеров применения данного алгоритма к результатам измерений.
1. Пусть xизм = 1,024 В и = 1%.
Тогда = |xизм| = 0,01 1,024 = 0,01024 В < 0,015 В.
Значит, округление xизм приведет к числу 1,024 В.
Витоге, получаем интервал (1,024 0,015) В.
2.Пусть xизм = –19,45 В и = 2%.
Тогда = |xизм| = 0,02 19,45 = 0,389 В < 0,4 В.
Значит, округление xизм приведет к числу –19.5 В.
Витоге, получаем интервал (–19,5 0.4) В.
3.Пусть xизм =1298 В и = 0.7%.
Тогда = |xизм| = 0,007 1298 = 9,086 В < 10 В.
Значит, округление xизм приведет к числу 1300 В.
В итоге, получаем интервал (1300 10) В. |
5 |
Примеры округления результатов измерений 13.02.2021
Замечание. Иногда процедура округления может приводить к возникновению смещения.
Последний рассмотренный пример был следующий:
Пусть xизм равен 1298 В и = 0,7%.
Неокругленное значение было 9,086 В. Итоговый полученный интервал был (1300 10) В.
Но! |
|
|
|
Iокругл. |
= (1300 10) В = [1290; |
1310] В, |
|
Iнеокруг. |
= (1298 9,086) В = [1288,914; 1307,086] В. |
||
|
|
Iнеокруг. Iокругл. f f f fv f f f f f f f f f f |
|
Для обеспечения достоверности, необходимо чтобы
|
Iнеокруг. Iокругл. |
f |
6 |
|
Интервал должен быть |
[1288; 1308] В или (1298 10) В. |
|
||
Прямые и косвенные измерения |
13.02.2021 |
|
|
|
|
Измерения разделяют на два типа:
–прямые (когда мы можем измерить искомые величины напрямую и получить результаты измерения непосредственно),
–косвенные (когда мы не можем измерить искомую величину напрямую и вынуждены измерять значения других величин, связанных с искомой известными зависимостями).
Пример: измерение сопротивления электрическому току. R = U / I,
Мы измеряем значения напряжения U и силы тока I напрямую и вычисляем значение сопротивления косвенно.
Пусть характеристики погрешности значений U и I известны из технической документации на вольтметр и амперметра.
Как мы можем оценить погрешность значения R? |
7 |
Погрешность результата косвенных измерений 13.02.2021
Математическая постановка задачи y f x1, x2,..., xn ,
где x1, x2, … xn – значения размера физических величин, которые могут быть измерены напрямую, y – значение величины, измеряемое косвенно, f – функция, которая выражает зависимость между величинами, измеряемыми напрямую и косвенно (уравнение косвенных измерений).
Пусть |
~ ~ |
~ |
x1, x |
2,..., xn – результаты измерений x1, x2, … xn, |
x1, x2, … xn – их абсолютные погрешности,
1, 2, … n – пределы возможных значений абсолютных погрешностей соответственно:
| xi| i.
Насколько большой может быть погрешность | y|
результатов косвенных измерений? |
8 |
Погрешность результата косвенных измерений 13.02.2021
~
y y y,
где y = f(x1, x2, …, xn) – истинное значение величины y,
~
y – результат измерения y, полученный косвенно. Таким образом,
|
~ ~ |
|
~ |
|
y f x1, x |
2,..., xn f x1, x2,..., xn . |
|||
~ |
|
|
|
~ |
Т.к. xi xi xi, |
имеет место выражение xi xi x. |
|||
|
~ |
~ |
~ |
- x1,..., xn - xn . |
y f x1,..., xn f x1 |
||||
Используя разложение в ряд Тейлора гладкой функции f (только линейные члены ряда), получаем
~ |
~ |
|
~ |
~ |
n |
|
y f x1,..., xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f x1,..., xn |
||||||
|
|
|
|
|
i 1 xi |
|
n |
|
~ |
~ |
|
|
f x1,..., xn xi. |
|
|
|||
i 1 xi |
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
f x ,..., x |
n |
x |
||
1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
9