Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Поверхностные интегралы - теория

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.04.2021

Размер:

758.24 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

								21
частичной поверхности ,	= 1 ÷ .

Если ввести обозначение:					( ), = 1 ÷ ,		то интегральную сумму
Если ввести обозначение:			∆ = ∆ ∙ 0		( ), = 1 ÷ ,		то интегральную сумму
можно записать в виде:	= ∑				Пусть λ =			- наибольший из
можно записать в виде:	= ∑			( )∙∆ .	Пусть λ =			- наибольший из
		=1				1≤ ≤
диаметров частичных поверхностей - ранг разбиения.
Определение 3.14.
Число называется пределом интегральных сумм						при λ → 0, если для > 0

> 0 такое, что для любого разбиения поверхности с рангом разбиения λ < и при

любом выборе промежуточных точек {		}		выполняется неравенство:
		=1
	\|		− \| < .

Запись: = - означает, что при λ → 0					этот предел существует, он не
λ → 0

зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек, и равен числу .

Определение 3.15.

Конечный предел интегральных сумм

при λ → 0 называется поверхностным

интегралом 2 рода от вектор-функции ( ) по поверхности .

Обозначение:

Таким образом, имеем равенство:

( )∙ .

∑

( ) ∙ =

(

) ∙ ∆

λ → 0

Существует простая связь между поверхностными интегралами 1 и 2 рода:

( )

∙ =

( ∙ 0)

В левой части этого равенства стоит поверхностный интеграл 2 рода

( )∙

от вектор-функции ( ), а в правой части - поверхностный интеграл 1 рода

( ∙ 0)

от функции ( ) = ( )∙ 0( ), значения которой совпадают с проекцией вектора

на

единичный вектор нормали 0 в точке .

Запишем поверхностный интеграл 2 рода в координатной форме.

Пусть

( ) = (, , )∙ + (, , )∙ + (, , )∙ ,

где , , γ - направляющие углы вектора

0( ) = ∙ + ∙ + γ∙ ,

нормали 0

в точке . Тогда получаем:

(

)

(

, ,

)

∙ +

(

, ,

)

∙ +

(

, ,

)

∙ =

∙ γ

Вектор-функция ( ), для которой существует поверхностный интеграл 2 рода, называется интегрируемой по поверхности .

Пример 3.10.

Пусть ( ) ≡ 0 на поверхности . Тогда имеем:

0 = 0

0∙ =

∑=1

0∙∆

0∙ = 0.

λ → 0

Для поверхностных интегралов 2 рода по замкнутой поверхности принято

следующее обозначение:

(

)

∙ .

Физический смысл поверхностного интеграла 2 рода:

(

)

(

)

через поверхность .

П =

∙

- поток вектора

Теорема 3.9 (достаточное условие интегрируемости).

Пусть - гладкая ориентированная поверхность, а вектор-функция ( ) - непрерывна на (т.е. непрерывны все ее координатные функции). Тогда вектор-функция( ) интегрируема по поверхности .

Свойства поверхностного интеграла 2 рода.

Пусть вектор-функции ( ) и ( ) - интегрируемы по поверхности . Тогда справедливы следующие свойства.

1. Антисимметричность.

При изменении ориентации на поверхности поверхностный интеграл 2 рода меняет знак:


	+ ( )∙ = −		− ( )∙ ,

где + и −- это одна и та же поверхность , но с противоположными ориентациями.

2. Линейность.

а) постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла 2 рода:

					= ;
	( ∙ ( ))∙ = ∙		( )∙ ,

б) поверхностный интеграл 2 рода от суммы вектор-функций равен сумме поверхностных интегралов 2 рода от этих вектор-функций:

(		)	(	)		(	)	(	)
(			+		)∙ =		∙ +		∙ .

Свойство линейности можно записать в следующем виде:

		= 1∙			1, 2 = .
(1 ∙ ( ) + 2	∙ ( ))∙	= 1∙	( )∙ + 2∙	( )∙	1, 2 = .

3. Аддитивность.

Если поверхность разбита на две части, то поверхностный интеграл 2 рода по поверхности равен сумме поверхностных интегралов 2 рода по каждой из этих частей:

= 1 2, 1 ∩ 2 =
= 1 2, 1 ∩ 2 =	( )∙ =		( )∙ +		( )∙ .

		1		2
Доказательство всех этих свойств аналогично доказательству в случае
криволинейных интегралов 2 рода.
3.4. Вычисление поверхностного интеграла 2 рода
Рассмотрим методы вычисления поверхностного интеграла 2 рода
						( )∙ .
			)},	0( ) = { ; ; γ}
Пусть ( ) = { ( , , ); ( , , ); ( , ,			)},	0( ) = { ; ; γ}

( , , γ − направляющие углы вектора нормали 0 в точке ).

Тогда поверхностный интеграл 2 рода выражается через поверхностные интегралы 1 рода по следующим формулам:

= { ( , , ) ∙ + ( , , ) ∙ + ( , , ) ∙ γ} =

=( , , )∙ + ( , , )∙ + ( , , )∙ γ .

3.4.1. Метод проектирования на все три координатные плоскости

Пусть поверхность взаимно-однозначно проектируется на все три координатные плоскости , , и соответственно: , , - ее проекции на эти плоскости.

При этом поверхность задается следующими уравнениями:

= ( , ), где ( , ) ; = ( , ), где ( , ) ; = ( , ), где ( , ) .

В этих случаях вектор нормали к поверхности и его направляющие косинусы

(с точностью до знака) вычисляются по формулам:

′

| ∙ |

= ( , ) {−

; − ; 1} γ = ±

= ±

;

| |∙| |

| |

√1 + (′ )2 + (′ )2

′

| ∙ |

= ( , )

{− ; 1; − } = ±

= ±

√1 + (′ )2

;

| |∙| |

| |

+ (′)2

′

| ∙ |

= ( , ) {1; − ; − } = ±

= ±

| |∙| |

| |

√1 + (′ )2 + (′ )2

Применим формулы для поверхностных интегралов 1 рода (см. п. 3.2.3):

( , , )∙ = ±

= ±

( ( , ), , ) ;

( ( , ), , )| |

| |

( , , )∙ = ±

= ±

( , ( , ), ) ;

( , ( , ), )| |

| |

( , , )∙ γ = ±

= ±

( , , ( , )) .

( , , ( , ))||

| |

Таким образом, имеем формулу для вычисления поверхностного интеграла 2 рода через двойные интегралы:

= ± ( ( , ), , ) ± ( , ( , ), ) ± ( , , ( , )) .

Знак перед каждым двойным интегралом должен совпадать со знаком соответствующего косинуса. Например, если - острый угол, то > 0 и знак « + »; если - тупой угол, то < 0 и знак « − ».

Поверхностный интеграл 2 рода может быть записан в следующей форме:

		(, , ) + (, , ) + (, , ) или:
( )∙ =
			(, , ) + (, , ) + (, , ) .
	( )∙ =

В этом случае будут аналогичные формулы:

	( , , ) = ±		( ( , ), , ) ;

	( , , ) = ±		( , ( , ), ) ;

	( , , ) = ±		( , , ( , )) .
			( , , ( , )) .		1	0
					1


Пример 3.11.
Вычислить поверхностный интеграл 2 рода					O	1
от вектор-функции					O	1

		( ) = ∙ + ∙ + ∙
через часть сферы 2 + 2 + 2 = 1, расположенной
через часть сферы 2 + 2 + 2 = 1, расположенной					1
в первом октанте в направлении внешней нормали (рис. 3.25).					1
в первом октанте в направлении внешней нормали (рис. 3.25).
Решение.				Рис. 3.25. К Примеру 3.11
				=
	= ( )∙ = + +			=

= ± ( , )∙ ± ( , )∙ ± ∙( , ) .

Из уравнения сферы: 2 + 2 + 2 = 1 - выразим соответствующие функции:


( , ) = √1 − 2 − 2;			( , ) = √1 − 2 − 2		;	( , ) = √1 − 2 − 2.

Внешняя нормаль образует острые углы со всеми осями координат (рис. 3.25), следовательно, перед интегралами везде ставим знаки « + »:

= √1 − 2 − 2∙ + √1 − 2 − 2∙ + ∙√1 − 2 − 2 .

Каждая из проекций , , представляет собой часть круга радиуса 1, лежащую в первой четверти (рис. 3.26). Вычислим первое из этих слагаемых, переходя к

полярным координатам:
																						= ∙
																						= ∙ ] =
					√1 − 2 − 2∙ = [																	= ∙ ] =																			1

																					=
																					=
																								(∫1 2√1 − 2
=						′ 2√1 − 2								∙ =								∫	2	(∫1 2√1 − 2														) =
																						0					0																	1

						∙∫1 2√1 − 2														= ∫1 2√1 − 2
= ∫				2		∙∫1 2√1 − 2														= ∫1 2√1 − 2											=
	0									0														0															Рис. 3.26. Проекция
								=																															Рис. 3.26. Проекция
								=																				1												на плоскость
= [					= ] = ∫0												2	2				∙ 2 =						1		∙∫0			2	22 =						на плоскость
= [					= ] = ∫0												2	2				∙ 2 =						4		∙∫0			2	22 =
		√1 − 2 =
		1							1− 4						1				1
																										.
=			∙∫									=				∙( −					4 ) \|2 =
							2																				Аналогично получим:
	4						2																				Аналогично получим:
	4					0			2						8				4					0	16
										( , )∙ =														∙( , ) =													=		+		+		=	3	.
										( , )∙ =														∙( , ) =													=		+		+		=		.
																																			16			16	16		16			16
																																			16			16	16		16			16
Ответ:									=		3		.
Ответ:									=	16			.
										16
Пример 3.12.
																																									1				0

								Вычислить =											− +


																																										O				3
через верхнюю сторону части плоскости																											+					+				= 1,
																									2				3						1				2
																									2				3						1
вырезаемой координатными плоскостями (рис. 3.27).


Решение.


								Учитывая, что вектор 0															образует острые углы																Рис. 3.27. К Примеру 3.12

сосями координат, получаем:

= − + ( , ) =

= − + (1 − 2 − 3) .

Вычислим отдельно каждый из двойных интегралов. Проекции поверхности на координатные плоскости показаны на рисунке 3.28.

1. = ∫03 ∫01− 3 = ∫03 (1 − 3) = ∫03 ( − 13 2) =

= (	1	2 −			1	3) \|03 =			9		− 3 =					3	.

					9				2
2					9				2					2
			= ∫2							∫1−					= ∫2						1		\|1−		) =
2.																				(		2		2
														2
														2
						0					0							0		2			0
																				2
= ∫2			1	(1 −				)2 =			1	∙	1	(1 −					)3∙(−2)\|02				= −			1	(0 − 1) =		1	.

							2											2								3
0 2							2				2 3							2								3		3


																											3

				1														1
				1														1
						3
																						2									2
																						2

Рис. 3.28. Проекции на координатные плоскости

∫2 ∫ 3(1−

) (1 −

(1 −

−

) =

−

) =

= ∫2

) |3(1−

) −

2|3(1−

)) = ∫2

)2 −

(1 −

)2) =

((1 −

(3 (1 −

3 1

∫

(1 −

) =

∙

(1 −

) ∙(−2)|

= 1. В результате получим:

−

+ 1 = 2

2 3

Ответ:

= 2

3.4.2. Метод проектирования на одну координатную плоскость

Пусть поверхность проектируется

взаимно-однозначно на плоскость

в область

(рис. 3.29).

= ( , )

В этом случае поверхность можно

задать уравнением: = ( , ), а орт 0

нормали к поверхности вычисляется

по формуле:

{− ′

;− ′

; 1}

0 = ± ∙

= ±

√1 +

( ′ )2

| |

( ′ )2

Тогда поверхностный интеграл 2 рода

преобразуется к виду:

(

)

(

)

(

)

∙ =

∙ 0

( )∙ 0( )∙| | =

Рис. 3.29. Проекции поверхности на

= ±

( )∙ ∙

∙| | =

плоскость

| |

= ±

′

( )∙ = ±

{ ( , , ); ( , , ); ( , , )}∙{− ; − ; 1} =

= ±

{− ( , , ( , )) ∙ ′

− ( , , ( , )) ∙ ′ + ( , , ( , ))} .

Знак перед двойным интегралом берется « + », если угол между осью и

вектором 0 - острый и берется

« − », если угол между осью и вектором 0 - тупой.

Аналогичные формулы для вычисления поверхностных интегралов 2 рода можно

получить в случае взаимно-однозначного проектирования поверхности на другие

координатные плоскости:

Таким образом, имеем следующие формулы для вычисления

поверхностных интегралов 2 рода:

= ±

{− ( , , ( , )) ∙ ′

− ( , , ( , )) ∙ ′

+ ( , , ( , ))}

= ±

{− ( , ( , ), ) ∙ ′

+ ( , ( , ), ) − ( , ( , ), ) ∙ ′}

= ±

{ ( ( , ), , ) − ( ( , ), , ) ∙ ′ − ( ( , ), , ) ∙ ′ }

Пример 3.13.

Вычислить поверхностный интеграл 2 рода от вектор-функции

( ) =

∙ + ∙

по внешней стороне параболоида = 2

+ 2, ограниченного плоскостью = 2

Решение.

Параболоид проектируется взаимно-однозначно на плоскость в круг с центром в начале координат и радиуса √2 (рис. 3.30). Внешняя нормаль 0 образует тупой угол с осью , поэтому в формуле перед двойным интегралом берем знак « − »:

{− ( , , (, )) ∙

′

− ( , , (, )) ∙

′

+ ( , , (, ))} .

( )∙ = −

Здесь имеем:

( , , ) = 0, ( , , ) = 2, ( , , ) = ;

( , ) = 2 + 2, ′

= 2,

′ = 2;

= − {−0 ∙ 2 − 2 ∙ 2 + 2 + 2} =

= 2 + 2

(23 − 2 − 2) =

√2

= ∙

= [ = ∙ ] =

√2

= ′

(23 3 − 2)∙ =

Рис. 3.30.

К Примеру 3.13

= ∫02 (∫0√2(24 3 − 3) ) =

= ∫ 2

∫ 2

(3 (

|√2) −

|√2) =

(

8√2

3 − 1) =

∫ 2 (1 − 2) ( ) − 2 =

8√2

∫ 2 3 − 2 = −

8√2

3) |2 − 2 = −

) |2

= −

8√

( −

8√2

(

−

− 2 = 0 − 2 = −2.

Ответ: = −2.

В конкретных примерах на вычисление поверхностных интегралов 2 рода можно применять оба метода: метод проектирования на все три координатные плоскости и метод проектирования на одну координатную плоскость.

В Примере 3.12 вычислен поверхностный интеграл 2 рода от вектор-функции

= 1

через поверхность : {

(рис. 3.27) методом

( ) = ∙ − ∙ + ∙

≥ 0, ≥ 0, ≥ 0

проектирования на все три координатные плоскости. Так как поверхность взаимно-

однозначно проектируется на плоскость , то можно здесь применить и метод

проектирования на одну координатную плоскость. Покажем это.

{− ( , , (, )) ∙

′

− ( , , (, )) ∙

′

+ ( , , (, ))}

( )∙ =

Здесь имеем:

( , , ) = , ( , , ) = − , ( , , ) = ,

( , ) = 1 −

−

′

= −

′

= −

{ ∙

− ( , ) ∙

+ ( , )} =

{

−

(1 −

−

) + 1 −

−

} =

{

−

+ 1 −

−

} =

{

−

} ,

3 6

3 3

: {

0 ≤ ≤ 2

(рис. 3.28).

0 ≤ ≤ 3 (1 −

)

Вычисляя двойной интеграл через повторный интеграл, получим:

= ∫2	∫ 3(1−		)		2		1		5	) = ∫2		2		1	) \|3(1−		)		5	2\|3(1−		)) =
		2		(		−		+			((		−			2		+			2

							3		18					3					36
0	0			3						0	3				0					0

= ∫02 ((2 − ) (1 − 2) + 54 (1 − 2)2) = ∫02 (2 − 2 + 12 2 + 54 (1 − 2)2) =

= (2 − 2 + 16 3) |20 + 125 ∙(1 − 2)3∙(−2)|20 = 43 + 56 = 136 = 2 16.

Приходим к такому же результату, что и в Примере 3.12.

3.4.3.Приложения поверхностных интегралов 2 рода

1.Основным приложением поверхностных интегралов 2 рода является вычисление

потока вектора через заданную поверхность :

П =	(	)	(	)	∙ 0	(	)	.
П =		∙ =			∙ 0			.

В этих приложениях часто возникают задачи на вычисление потока через плоские области. Рассмотрим этот частный случай, когда поверхность является плоской областью.

Поток вектора через плоскую область.
Поток вектора через плоскую область.
Пусть поверхность – это область , лежащая
в плоскости (рис. 3.31):
				( )
	= 0	( , , )	O
	= 0		O
: {( , )		и ( ) = (( , , )).
		( , , )
В этом случае имеем:
В этом случае имеем:			Рис. 3.31.	Поток вектора
( , ) = 0, ′		= 0, ′ = 0,	Рис. 3.31.	Поток вектора
( , ) = 0, ′		= 0, ′ = 0,
			через плоскую область
а формула для вычисления поверхностного интеграла			через плоскую область
а формула для вычисления поверхностного интеграла
2 рода принимает вид:
П = ±	{− ( , , ( , )) ∙ ′ − ( , , ( , )) ∙ ′		+ ( , , ( , ))} =

= ± ( , , ( , )) = ± ( , , 0) .

Таким образом, в случае потока вектора через плоскую область имеем

формулу: П = ± ( , , 0) . Аналогичные формулы получаются в случае

расположения области в координатных плоскостях и :

П = ± ( , 0, ) и П = ± (0, , ) .

В этих формулах берется знак « + », если поток вычисляется в направлении, совпадающем с направлением соответствующей оси координат, и берется знак « − » в

противном случае.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача (о вычислении магнитного потока).
Рассматривается бесконечно длинный тонкий
прямой провод с током , который создает магнитное поле,
прямой провод с током , который создает магнитное поле,
характеризуемое в каждой точке пространства вектором
характеризуемое в каждой точке пространства вектором

магнитной индукции .


Вектор магнитной индукции
в произвольной точке выражается
	0
векторным произведением: =	2 ∙ 2∙( × ),	Рис. 3.32. К определению
		вектора магнитной индукции

где

- расстояние

- радиус-вектор точки ,

от точки до проводника (рис. 3.32), 0 - магнитная постоянная.

В одной плоскости с проводником расположена не пересекающая проводник

плоская рамка заданной формы.

Требуется найти величину (модуль) магнитного потока Ф сквозь данную рамку:

Ф =

(

)

∙ .

Решение.

Введем систему координат так,

чтобы проводник и рамка лежали в плоскости

(рис. 3.33), при этом ось направим

вдоль проводника.

Из определения магнитной индукции

( )

следует, что вектор

перпендикулярен

Рис. 3.33. Введение системы

плоскости , т.е. направлен по оси

декартовых координат

(в отрицательном направлении):

0∙

( )

= −| |∙ = −

2 ∙ 2∙| |∙| |∙ ∙ = −

2 ∙ 2∙ ∙ = −

2 ∙ ∙

0∙

( )

= − ∙ = − ∙ ,

где

2 = .

По условию задачи требуется найти величину (модуль) магнитного потока Ф,

поэтому направление вектора нормали 0( )

выберем так, чтобы поток был положителен,

т.е.

Тогда получим:

0( ) = − .

= ( )∙ =

( )∙ 0( ) =

Таким образом, магнитный поток сквозь рамку ,

расположенную в плоскости (рис. 3.34),

Рис. 3.34.

вычисляется по формуле:

0∙

∙

К вычислению

магнитного потока

Пример 3.14.

Найти магнитный поток сквозь плоскую рамку, имеющую форму прямоугольного

треугольника со сторонами, показанными на рисунке 3.35.

Решение.

Применим полученную выше формулу для вычисления магнитного потока: Ф = ∙ 1 ,

где = , а область задается неравенствами:

≤ ≤ + {0 ≤ ≤ ( + − ).

Вычисляя двойной интеграл с помощью повторного интеграла, получим:

Рис. 3.35. К Примеру 3.14

(+ − ) 1

+ 1

(+ − )

(

( + − ))

Ф = ∙∫

∫

= ∙∫

∫

= ∙∫

= =

∙∫ +

(

( + )

−

) = ∙(

( + ) ∙ | + − ) = ∙((1 +

) ∙ (1 +

) − 1)∙ .

Ответ: Ф =

0∙

∙((1 +

) ∙ (1 +

) − 1)∙ .

2. Одно из приложений поверхностных интегралов 2 рода связано с вычислением

объема тела Ω, ограниченного замкнутой поверхностью :

(Ω

)

= ;

)

;

(Ω = ;

(Ω =

(Ω

)

( + + )

= 3

(во всех случаях интеграл берется по внешней стороне замкнутой поверхности).

Пример 3.15.

Вычислить с помощью поверхностного интеграла 2 рода объем прямого кругового

конуса высотой и радиусом основания .
Решение.

Конус Ω высотой и радиусом основания задается неравенствами (рис. 3.36):

∙√2 + 2 ≤ ≤ .

Полная поверхность конуса состоит из основания 0и боковой поверхности бок:

= 0 бок.

Применим формулу для объема тела:

(Ω) = = 0 + бок .

Вычислим интеграл по основанию конуса:

0
	=	∙ √2 + 2
	=	∙ √2 + 2
	0

Рис. 3.36. К Примеру 3.15

0 = 0 = ∙ 0 = ∙(0) = ∙ 2 = 2 .

Вычислим интеграл по боковой поверхности конуса (рис. 3.36):

бок = − ∙√2 + 2 =

перед интегралом берем знак « − », так как вектор нормали 0 в каждой точке [образует тупой угол с осью ; − проекция бок на плоскость − круг радиуса ]

= ∙

=[ = ∙ ] = − ′ ∙ 2 = − ∫02 (∫0 2 ) = − ∙2 3 = − 2 2 .= 3 3

Складывая найденные величины, получим: (Ω) = 2 − 23 2 = 13 2 .

Ответ: конуса = 13 2 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке Теория и задачи

#
22.04.2021249.9 Кб13Кратные интегралы задачи.pdf
#
22.04.2021795.01 Кб8Кратные интегралы теория.pdf
#
22.04.2021218.25 Кб11Криволинейные интегралы - задачи.pdf
#
22.04.2021744.21 Кб10Криволинейные интегралы - теория.pdf
#
22.04.2021217.24 Кб8Поверхностные интегралы - задачи.pdf
#
22.04.2021758.24 Кб10Поверхностные интегралы - теория.pdf