Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Поверхностные интегралы - теория

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.04.2021

Размер:

758.24 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Если ( ) - поверхностная плотность массы, распределенной на поверхности ,

то = ( ) - масса этой неоднородной поверхности.

Если ( ) - поверхностная плотность заряда, распределенного на поверхности ,

то = ( ) - электрический заряд поверхности . Условия интегрируемости.

Теорема 3.4 (необходимое условие интегрируемости).

Если функция ( ) интегрируема по поверхности , то она ограничена на этой поверхности.

(Обратное утверждение неверно: есть ограниченные, но не интегрируемые функции). Теорема 3.5 (достаточное условие интегрируемости).

Пусть - гладкая поверхность, а функция ( ) непрерывна на поверхности . Тогда функция ( ) интегрируема по поверхности .

3.2.2. Свойства поверхностного интеграла 1 рода 1. Нормированность.

Поверхностный интеграл 1 рода от единицы по поверхности равен площади этой поверхности:

1 = ( ).

2. Линейность.

Пусть функции ( ) и ( ) интегрируемы по поверхности . Тогда справедливы следующие утверждения.

а) постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла 1 рода:

∙( ) = ∙ ( ) , = ;

б) поверхностный интеграл 1 рода от суммы функций равен сумме поверхностных интегралов 1 рода от этих функций:

( ( ) + ( )) = ( ) + ( ) .

Свойство линейности можно записать в следующем виде:

	(1	∙ ( ) + 2	∙ ( )) = 1∙	( ) + 2∙	( )	1, 2 = .

3. Аддитивность.

Пусть функция ( ) интегрируема по поверхности . Тогда справедливо следующее утверждение.

Если поверхность разбита на две части, то поверхностный интеграл 1 рода по всей поверхности равен сумме поверхностных интегралов 1 рода по каждой из этих частей:

	( ) =	( ) +	( ) ,	где = 1 2	и 1 ∩ 2 = .
	1	2

4. Интегрирование неравенств.

Пусть функции ( ), ( ) интегрируемы по поверхности и удовлетворяют неравенству: ( ) ≥ ( ) . Тогда справедливо неравенство:

( ) ≥ ( ) .

Следствие 3.1.

а) Если ( ) ≥ 0 , то ( ) ≥ 0.

б) Пусть ( ) ≥ 0 , тогда для любых поверхностей 1, 2 справедливо утверждение:

	1 2		( ) ≤	( ) .
		1	2
в) \|	( ) \| ≤	\|( )\|.

5. Оценки поверхностного интеграла 1 рода.

Если значения подынтегральной функции ( ) на поверхности ограничены величинами и , то значение интеграла ограничено величинами ∙( ) и ∙( ), где ( ) - площадь поверхности:

≤ ( ) ≤ ∙( ) ≤ ( ) ≤ ∙( ).

6. Теоремы о среднем значении. Теорема 3.6.

Пусть функция ( ) интегрируема по поверхности и пусть

= { ( ), };					= { ( ), }.
Тогда [ ; ]:				( ) = ∙( ), где ( ) - площадь поверхности.
Число =		1	∙	( ) - называется интегральным средним значением
	()

функции ( ) по поверхности .
Теорема 3.7.
Пусть функция ( ) непрерывна на поверхности . Тогда 0 :
( ) = (0)∙( ),						где ( ) - площадь поверхности.

Доказательство всех этих утверждений аналогично доказательству в случае кратных интегралов.

3.2.3. Вычисление поверхностного интеграла 1 рода

Вычисление поверхностного интеграла 1 рода ( ) сводится к вычислению двойного интеграла. Покажем это.

Теорема 3.8.

Пусть - гладкая поверхность, заданная явным уравнением: = ( , ), область - ее проекция на плоскость и ( , , ) - непрерывная функция, заданная на поверхности . Тогда поверхностный интеграл 1 рода вычисляется по формуле:

( , , ) = ( , , ( , )) ∙ √1 + (′)2 + (′)2 .

Доказательство.

По определению поверхностного интеграла 1 рода имеем:

( ) = ∑

( ) ∙ ∆ , или

λ → 0

( , , ) =

∑

( , , ) ∙ ∆ ,

λ → 0

где (

) - промежуточные точки на частичных поверхностях , полученных

при разбиении поверхности , а ∆

= ( ) - площади этих частичных поверхностей,

= 1, 2, … , .

Разбиение поверхности порождает разбиение области : = … .

По формуле для площади кривой поверхности (см. 3.1.5)

имеем:

∆

= ( ) =

| | ,

√

′

)

′

)

, а по теореме о среднем для двойного интеграла (см. п. 1.2.3)

где | | =

1 + (

+ (

можно записать:

̃′

)∙ ( ),

| | = | |(

′

- некоторая точка частичной области , а ( ) - площадь этой частичной

где

области.

Следовательно, имеем:

∑

( , ,

)∙∆

∑

( ,

, ( ,

̃′

)∙ ( ) =

))∙| |(

λ → 0

∑

( , , ( ,

))∙√1 +

( ′)2( ′ , ′ ) + ( ′)2( ′ , ′ )∙ ( ).

λ → 0

С другой стороны, по определению двойного интеграла имеем:

( , , ( , ))∙√1 + ( ′)2

+ ( ′)2

∑

( , , ( , )) ∙ √1 + (

′)2

( ,

) + ( ′)2

( ,

)∙ ( ).

λ → 0

Как видим, разница заключается лишь в значениях подкоренных выражений. В

одном случае это значение вычисляется в точках ′

( ,

), которые являются

проекциями произвольно взятых точек

( , ,

) на координатную плоскость , а

вдругом - в специальных (из теоремы о среднем) точках ̃′ ( ′ , ′ ), которые уже не

являются произвольными.

Однако можно показать (доказательство опускаем), что разность между этими интегральными суммами ввиду непрерывности подынтегральных функций стремится к нулю при λ → 0, а значит, одну сумму в пределе можно заменить другой суммой.

В результате получаем:

( ) =

∑

(

, (

, )) ∙ √1 +

( ′)2

( ′

, ′ ) + ( ′)2

( ′

, ′ )∙ ( ) =

λ → 0

∑

( , , ( ,

)) ∙

√1 + ( ′)2

( ,

) + ( ′)2( ,

)∙ ( ) =

λ → 0

= ( , , ( , )) ∙ √1 + ( ′)2 + ( ′)2 .

Теорема доказана.

Применение этой формулы обычно сопровождается следующей записью:

= ( , ), ( , )( , , ) = [ = √1 + ( ′)2 + ( ′)2 ] =

= ( , , ( , ))∙√1 + ( ′)2 + ( ′)2 .

Замечание 3.5.

Если поверхность задается уравнением: = ( , ), то поверхностный интеграл 1 рода вычисляется по формуле:

( , , ) = ( , ( , ), ) ∙ √1 + (′)2 + (′)2 ,

где область - это проекция поверхности на координатную плоскость .

Если поверхность задается уравнением: = ( , ), то поверхностный интеграл 1 рода вычисляется по следующей формуле:

( , , ) = ( ( , ), , ) ∙ √1 + (′)2 + (′)2 ,

где область - это проекция поверхности на координатную плоскость . В общем случае можно записать:

( , , ) = ( , , ( , )) ∙ | | , или:

( , , ) = ( , ( , ), ) ∙ | | , или:

( , , ) = ( ( , ), , ) ∙ | | ,

где , , - проекции поверхности на координатные плоскости, соответственно, и , а - вектор нормали к поверхности в произвольной точке:

= ( , ) {−′ ; −′ ; 1}; = ( , ) {−′; 1; −′}; = ( , ) {1; −′ ; −′ }.

3.2.4. Приложения поверхностного интеграла 1 рода

Площадь поверхности : ( ) = 1.

Масса неоднородной поверхности : = ( , , ) , где ( , , ) – поверхностная плотность массы, распределенной на поверхности ;

Электрический заряд поверхности : = ( , , ) , где ( , , ) – поверхностная плотность заряда, распределенного на поверхности .

Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей

, и :

∙( , , ) ,

∙( , , ) .

Координаты центра тяжести (0, 0, 0) поверхности :

∙ ,

∙ .

Моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей, , , относительно координатных осей , , и относительно точки - начала координат:

2( , , ) ,

(2 + 2)( , , ) ,

(2 + 2 + 2)( , , ) ,

+ =

( + + ).

Пример 3.5.

Для поверхности :

{

= 2

+ 2

- вычислить:

≤ 1

а) электрический заряд , если

поверхностная плотность заряда ( , , ) = = ;

б) массу , если поверхностная плотность массы ( , , ) = ∙ ,

= .

Решение.

( , ) = 2

+ 2,

′

′ = 2,

Здесь имеем:

= 2,

= √1 + 42 + 42 .

а) =

( , , ) =

= ∙( ) = ∙

√1 + 42 + 42 ;

область

представляет собой круг радиуса 1 с центром в начале координат (рис. 3.14).

Перейдем к полярной системе

координат:

= ∙

[ = ∙

]

= 2 + 2

= ∙

′ √1 + 42

∙ =

= ∙∫2

∫1

√1 + 42

∙ =

∙(1 + 4

= ∙8 ∫0

∫0 √1 + 4

= ∙

2∙

∙(1 + 42)

|10

(5√5

− 1)

Рис. 3.14. Иллюстрация к Примеру 3.5

б) =

( , , ) = ∙ =

= ∙

= ∙ (2 + 2)∙√1 + 42

+ 42

= [ = ∙ ] =

∙ = ∙∫2

∫1

∙ =

= ∙ ′ 2∙√1 + 42

2∙√1 + 42

= 1 + 42 2 =

− 1

] = ∙∫2

∫5

− 1

∙√

∙

= ∙

∙2∙∫5( − 1)∙√

= [

= 8 =

1 ≤ ≤ 5

= √

= 2

= [

] = ∙

∙ ∙∫1√5(2 − 1)∙22 = ∙

∙∫1√5(4 − 2) =

= 2 ∙ , 1 ≤ ≤ √5

5√5

10√5

2 + 50√5

(1 + 25√5)

∙(

−

) |√5

∙(5√5

−

) =

∙(

) =

∙

Ответ:

а) =

(5√5

− 1)

;

б) =

(25√5

+ 1)

3.3. Поверхностный интеграл 2 рода

Для продолжения изучения темы, связанной с поверхностными интегралами,

необходимо уточнить понятие стороны поверхности.

3.3.1. Сторона поверхности

Интуитивно кажется очевидным, что

= ( , )

у любой поверхности в пространстве есть две

стороны. Например, у поверхности, заданной

явным уравнением:

= ( , ) - есть

верхняя сторона и нижняя сторона (рис. 3.15).

−

Если поверхность задается уравнением:

= ( , ), то можно говорить о правой стороне

	и левой стороне; а если она задается уравнением:
	= ( , ), то можно говорить о ближней
		Рис. 3.15. К понятию стороны
	и дальней стороне поверхности.
		поверхности
	В случае, когда поверхность является

замкнутой, т.е. когда она ограничивает некоторое тело, то имеется внутренняя сторона, обращенная к телу, и внешняя сторона, обращенная к окружающему пространству.

Все эти поверхности можно назвать двусторонними поверхностями. Однако существуют и так называемые односторонние поверхности, т.е. поверхности, имеющие только одну сторону.

Классическим примером односторонней поверхности является так называемый лист Мебиуса. Его модель можно получить следующим способом.

Надо взять прямоугольный кусок 1 1 какой-нибудь материи (бумаги, ленты и т.д.) и, перекрутив этот кусок один раз, склеить его концы (точку с 1, точку с 1) - так, как показано на рисунке (рис. 3.16).

	1
			1
			1
	1		1
			1
Рис. 3.16. Схема получения листа Мебиуса
В результате получим перекрученное кольцо, которое и называется лист Мебиуса
(рис. 3.17). Эта поверхность обладает следующим
парадоксальным свойством: если ее начать красить
в какой-либо цвет, то можно, не переходя на другую
«сторону поверхности», тем не менее, покрасить
«обе стороны» поверхности этим цветом.
Это говорит о том, что у данной поверхности
Это говорит о том, что у данной поверхности		Рис. 3.17. Изображение листа
		Рис. 3.17. Изображение листа
всего одна сторона.		Мебиуса
Дадим определение односторонней поверхности.
Дадим определение односторонней поверхности.
Выберем некую точку 0	на поверхности и проведем через точку		0

замкнутый контур, лежащий на этой поверхности (не пересекающий ее границу). В каждой точке этого контура проведем нормаль к данной поверхности.

Пусть точка вместе со своей нормалью обходит этот контур, начиная движение из точки 0; при этом подразумевается, что вектор нормали меняет свое направление непрерывно по мере движения по контуру.

После обхода контура и возвращения в точку 0 направление вектора нормали может оказаться таким же, как и в начале пути, или же стать противоположным по отношению к исходному направлению.

Определение 3.11.

Гладкая поверхность называется односторонней, если на ней существуют точка0 и контур, проходящий через эту точку – такие, что при обходе контура направление вектора нормали меняется на противоположное направление.

Определение 3.12.

Гладкая поверхность называется двусторонней, если для любых ее точек 0 и любого содержащего эту точку контура направление вектора нормали сохраняется при обходе контура.

В дальнейшем мы исключим из рассмотрения односторонние поверхности. Все поверхности, о которых пойдет речь далее, считаются двусторонними.

На этих поверхностях фиксируется одна из сторон поверхности путем указания направления вектора нормали. Тем самым вводится определенная ориентация на данной поверхности. Сама поверхность при этом называется ориентированной.

3.3.2. Понятие потока вектора через поверхность
Рассмотрим поверхность , через которую
перемещаются (проходят, перетекают) частицы

некоторого вещества произвольной природы			( )
некоторого вещества произвольной природы
(например, газа или жидкости).

Пусть это движение задается вектором ( ),
который определяет величину и направление
скорости частиц в каждой точке поверхности
(рис. 3.18).
Определение 3.13.		Рис. 3.18. К понятию потока
		Рис. 3.18. К понятию потока

Потоком П вектор-функции ( ) через		вектора через поверхность
		вектора через поверхность
поверхность называется общее количество (объем)
	через эту поверхность за единицу времени.
вещества, протекающего со скоростью ( )	через эту поверхность за единицу времени.
Задача (о вычислении потока).
	через заданную поверхность .
Найти поток П вектор-функции ( )	через заданную поверхность .
Решение.
Если поверхность - плоская, а

вектор-функция ( ) - постоянная: ( ) = ,
то за единицу времени частицы, проходящие			0
через эту поверхность, заполнят			0
через эту поверхность, заполнят
цилиндрическое тело с основанием и

образующими, совпадающими с вектором

	(рис. 3.19).	Рис. 3.19. К задаче о вычислении потока
	Значит, поток П в этом случае равен	Рис. 3.19. К задаче о вычислении потока
	Значит, поток П в этом случае равен

объему цилиндрического тела, т.е. произведению площади основания ( ) на высоту . Высота цилиндрического тела равна проекции вектора на единичный вектор

0 нормали к плоскости (рис. 3.19), т.е. скалярному произведению этих векторов. Таким образом, для рассматриваемого случая имеем следующее выражение для потока:

П = ( )∙ = ( )∙Пр 0 ( ) = ( )∙ ( )∙ 0.

Чтобы вычислить поток в общем случае, выполним следующие действия. 1. Разбиваем поверхность на частичные поверхности: = 1 2 … и

обозначаем площадь -й частичной поверхности через ∆ = ( ), = 1 ÷ .

2. В каждой части выбираем промежуточные точки и вычисляем значения

( ) и 0( ), = 1 ÷ .

Предполагаем, что диаметры частичных поверхностей настолько малы, что эти поверхности почти не отличаются от плоских фигур, а значения ( ) и 0( ) при значениях незначительно отличаются от значений ( ) и 0( ).

Тогда поток через поверхность приближенно равен: П ≈ ∆ ∙ ( )∙ 0( ),= 1 ÷ , а весь поток вычисляется приближенно по формуле:

П ≈ ∑=1 ( )∙ 0( )∙∆ .

Эта приближенная формула тем точнее, чем меньше размеры частичных

поверхностей , = 1 ÷ , т.е. чем меньше ранг разбиения λ = .

1≤ ≤

В пределе получаем точное значение:

= ∑=1 ( )∙ 0( )∙∆ .

λ → 0

Замечание 3.6.

Поток удовлетворяет свойству аддитивности: если = 1 2,

1 ∩ 2 = , то

П = П

+ П , где П

- поток через поверхность ,

= 1, 2.

3.3.3. Примеры на вычисление потока радиус-вектора

Рассмотрим примеры на вычисление потока радиус-вектора

= ( ) = ( ) = ∙ + ∙ + ∙ (рис. 3.20) через различные поверхности.

Пример 3.6.

( )

Найти поток П радиус-вектора через

часть плоскости

= 1 ( , , > 0),

расположенную в первом октанте в направлении нормали,

образующей острые углы с осями координат.

Решение.

Применим формулу:

П =

∑

(

)∙ ( )∙∆ ,

где

Рис. 3.20. Изображение

λ → 0

( )

радиус-вектора точки

∙(

)

- единичный вектор

нормали к плоскости (рис. 3.21), λ = √

( )

Вычислим скалярные произведения векторов:

( )∙ ( ) =

∙(

) =

∙1 =

, = 1 ÷ .

0( )

В результате получим:

П = ∑

∙∆

∙ ∑

∆

∙( ),

λ → 0

=1 λ

λ → 0

где ( ) – площадь треугольника с вершинами в точках

( ; 0; 0), (0; ; 0), (0; 0; ) (рис. 3.21).

Площадь треугольника можно вычислить по

Рис. 3.21. К Примеру 3.6

площади его проекции на плоскость (см. 3.1.2):

= ∙ γ,

где γ - угол между векторами 0 {λ∙ ;

λ∙

; λ∙} и

{0; 0; 1};

γ =

| 0∙ |

( ) = = ∙λ∙ =

λ∙ .

λ∙

| 0|∙| |

Следовательно, поток равен: П = 1λ∙ = 1λ∙12 λ∙ = 12 .

Ответ: П = 12 .

Пример 3.7.

Найти поток П радиус-вектора через поверхность тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью + + = 1 ( , , > 0), в направлении внешней нормали.

Решение.

Поверхность тетраэдра состоит из 4-х граней: = 1

2 3 4,

= 1

где ,

: {

≥ 0, ≥ 0, ≥ 0

По свойству аддитивности потока имеем: П = П1 + П2 + П3 + П4, где П - поток через поверхность , = 1 ÷ 4. П4 = 12 (см. Пример 3.6).

Найдем потоки через поверхности (грани) 1, , 2, , 3. На поверхности 1 имеем:

0		( ){; ; 0}, 0( ){0; 0; −1} ( )∙ 0( ) = 0				1.
	( ) = −
На поверхности 2		имеем:
0	( ) = −	( ){ ; 0; }, 0( ){0; −1; 0}			( )∙ 0( ) = 0	2.
На поверхности 3		имеем:
0	( ) = −	( ){0; ; }, 0( ){−1; 0; 0}			( )∙ 0( ) = 0	3.
Следовательно, получаем: П			= П	= П = 0 и П = 0 + 0 + 0 + П =			1	.

		1	2	3	4	2

Ответ: П =		1	.
Ответ: П =			.
	2
Пример 3.8.
Найти поток П радиус-вектора через сферу радиуса с центром в начале
координат в направлении внешней нормали.

Решение.							( )	0	( )
							( )
Применим формулу для потока:
Применим формулу для потока:
П =	∑			(	)∙ (	)∙∆ ,
λ → 0		=1			0

где 0( ) - единичный вектор нормали к поверхности сферы (рис. 3.22).

						(градиент)
		Так как вектор нормали				(градиент)
к поверхности ( , , ) = 0 имеет вид (см. 3.1.4):
	′	( ),	′	′	( )}, то из уравнения сферы
{		( ),		( ),	( )}, то из уравнения сферы

2		+ 2 + 2 − 2 = 0 – получаем вектор нормали:
	′	= 2,	′	= 2,	′	= 2	{2 ; 2 ; 2 }.

Рис. 3.22. К Примеру 3.8

Единичный вектор нормали с точностью до знака имеет вид: ( ) = ±

| |

= ±

{2 ; 2 ; 2 } = ±

{ ; ; } = ±

( ),

√4 2+ 4 2+ 4 2

√ 2+ 2+ 2

т.е. на поверхности сферы вектор 0( ) и радиус-вектор ( ) - коллинеарны. Учитывая, что нормаль должна быть внешняя, векторы 0( ) и ( ) должны

быть одинаково направлены: 0( ) ↑↑ ( ) 0( ) = 1 ( ).

Подставляя это значение 0( ) в формулу для потока, получим:

П =

∑

( )∙

(

)∙∆

∙

∑

| |2(

)∙∆

∙

∑

2∙∆ =

λ → 0

= ∙

∑

∆ = ∙( ) = ∙42 = 43.

λ → 0

Ответ:

П = 43.

Пример 3.9.

Найти поток П радиус-вектора через прямой круговой цилиндр в направлении внешней нормали. Ось цилиндра совпадает с осью , высота равна , основание лежит

в плоскости и имеет радиус .

Решение.

Поверхность цилиндра состоит из 3-х частей – двух оснований и боковой

поверхности: = 1

3, где 1 - нижнее основание, 2 - верхнее основание,

3 – боковая поверхность (рис. 3.23).

0( )

Поток через всю поверхность цилиндра равен

сумме потоков через эти поверхности:

П = П1 + П2 + П3.

0( )

На поверхности

{( , , ) 3: = 0} имеем:

0( )

( ){; ; 0}, 0( ){0; 0; −1}

= −

( )∙ 0( ) = 0 1.

П =

∑

(

)∙ (

)∙∆

∑

0∙∆

( )

λ → 0

= ∑ =1 0 = 0 = 0.

λ → 0

Рис. 3.23. К Примеру 3.9

На поверхности

{( , , ) 3: = } имеем:

0( )

( ){; ; },

0( ){0; 0; 1} ( )∙ 0( ) =

П =

∑

(

)∙ (

)∙∆

∑

∙∆

= ∙

∑

∆ = ∙( )

→ 0

λ → 0

= ∙ 2 = 2 .

На поверхности

{( , , ) 3: 2 + 2

= 2} имеем:

- вектор нормали (градиент)

{2 ; 2 ; 0}

( ) = ±

= ±

{2 ; 2 ; 0} = ±

{; ; 0} = ±

{; ; 0}

√4

+ 4

| |

√

( )∙ ( ) = ± { ; ; }∙

{; ; 0} = ±

∙(2 + 2) = ±

∙ 2 = ±.

Учитывая, что нормаль должна быть внешняя, угол между векторами 0( ) и

( ) должен быть острым (рис. 3.23). Следовательно, имеем:

( )∙ 0( ) > 0 ( )∙ 0( ) = .

П =

∑

(

)∙ (

)∙∆

∑

∙∆

= ∙

∑

∆

= ∙( ) = =

→ 0

λ → 0

∙2 = 22 .

Окончательно получим:

П = П + П + П = 0 + 2 + 22 = 32 .

Ответ: П = 32 .

3.3.4. Понятие поверхностного интеграла 2 рода

Рассмотрим гладкую ориентированную поверхность в пространстве (рис. 3.24),

на которой задана вектор-функция

( ).

0( )

Выполним следующие действия.

Разбиение поверхности :

… .

Выбор промежуточных точек:

= 1 ÷ .

Вычисление скалярных произведений

векторов:

( )∙ 0( ), = 1 ÷

и интегральной суммы:

= ∑

)∙∆ ,

( )∙ (

где ∆

= (

)

– площадь

Рис. 3.24. Ориентированная поверхность

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Теория и задачи

#
22.04.2021249.9 Кб13Кратные интегралы задачи.pdf
#
22.04.2021795.01 Кб8Кратные интегралы теория.pdf
#
22.04.2021218.25 Кб11Криволинейные интегралы - задачи.pdf
#
22.04.2021744.21 Кб10Криволинейные интегралы - теория.pdf
#
22.04.2021217.24 Кб8Поверхностные интегралы - задачи.pdf
#
22.04.2021758.24 Кб10Поверхностные интегралы - теория.pdf