Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Криволинейные интегралы - задачи

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.04.2021

Размер:

218.25 Кб

Скачать

☆

Криволинейные интегралы

. Криволинейные интегралы 1 рода

а). Плоские кривые

	Вычислить криволинейный интеграл 1 рода вдоль заданной кривой (№ 2.1 ÷ 2.10):
2.1. ∫	( + ) ,														- контур треугольника , где															(0; 0), (1; 0), (0; 1).
2.2. ∫		,							- контур квадрата											\| \| + \| \| = ( > 0).
2.3. ∫													, - отрезок ,							где (0; 0), (1; 2).


		√2+ 2+ 4
																					2		2
2.4. ∫		,							- четверть эллипса													+		= 1, лежащая в первом квадранте.
2.4. ∫		,							- четверть эллипса												2	+	2	= 1, лежащая в первом квадранте.
2.5. ∫		2			,				- первая арка циклоиды														{ = ( − ) .
																							= (1 − )
	(			2						2)																				= + ∙
2.6. ∫				2		+				2)				, - дуга развертки окружности:																{ = − ∙ , 0 ≤ ≤ .
2.6. ∫						+								, - дуга развертки окружности:																{ = − ∙ , 0 ≤ ≤ .
2.7. ∫		,							- дуга гиперболы: { = 2 ,																		0 ≤ ≤ 3.
																					= 2
				4						4													2				2
2.8. ∫		(			3		+				3	) ,				- дуга астроиды:									3	+		3	= 4.

																- окружность: 2							+ 2
2.9. ∫		√2 + 2												,		- окружность: 2							+ 2				= .

2.10. ∫						,		- цепная линия: = .
2.10. ∫			2			,		- цепная линия: = .
	Найти длину дуги кривой (№ 2.11 ÷ 2.18):
														2																= ( ),		≤ ≤
	2.11.							=						2	√ ,				1 ≤ ≤ 4								2.12.
	2.11.							=						3	√ ,				1 ≤ ≤ 4								2.12.
														3																3		2

	2.13.							= ,										√3 ≤ ≤ √8									2.14. = , √3				≤ ≤ √8
	2.15.							= 2 −									1	, 1 ≤ ≤ 2									2.16.			= , 0 ≤ ≤ 1
	2.15.							= 2 −										, 1 ≤ ≤ 2									2.16.			= , 0 ≤ ≤ 1
																8
	2.17.							= (−), 0 ≤ ≤ 2																			2.18.			= − (1 − 2),		0 ≤ ≤	1
	2.17.							= (−), 0 ≤ ≤ 2																			2.18.			= − (1 − 2),		0 ≤ ≤	2
																																	2

2.19. Найти площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра 2 + 2 = 2, ограниченной плоскостями = 0, = ∙ ( > 0).

2.20. Найти площадь боковой поверхности параболического цилиндра = 38 2, ограниченной плоскостями = 0, = 0, = , = 6.

б). Пространственные кривые

Вычислить криволинейный интеграл 1 рода вдоль заданной кривой (№ 2.21 ÷ 2.26):

				=
2.21.	∫	( + ) ,		=	3	t2	, 0 ≤ ≤ 1
						t2

				: {	√2
					√2
				= t3			=
							=
2.22. ∫				- первый виток винтовой линии: { =
			,
		2+ 2+ 2	,
							=
							= ∙
2.23.	∫	, - коническая винтовая линия: { = ∙ ,						0 ≤ ≤ 4
							=

			2	+ 2 + 2 = 2
2.24. ∫ √2 2	+ 2	, - окружность: {			.
				=

Найти длину дуги кривой (№ 2.25 ÷ 2.26):

= 3

2.25. { = 3t2, 0 ≤ ≤ 3= 2t3

= − cos

2.26. { = − sin , 0 ≤ < +∞= −

. Криволинейные интегралы 2 рода

а). Плоские кривые

Вычислить криволинейный интеграл 2 рода вдоль плоской кривой (№ 2.27 ÷ 2.38):

2.27.

∫

( 2 − 2 ) + ( 2 + 2 ) , - дуга параболы = 2 от точки (1; 1)

до точки (2; 4).

2.28.

∫

− , - кривая, выходящая из точки (0; 0) и заканчивающаяся

в точке (1; 2): а) - отрезок прямой ;

б) - парабола = 2 2; в) - ломаная

, где (1; 0).

2.29.

∫

+ , - кривая, выходящая из точки (0; 0) и заканчивающаяся

в точке (1; 2): а) - отрезок прямой ;

б) - парабола = 2 2; в) - ломаная

, где (1; 0).

2.30.

∫

2 − 2 , - кривая, выходящая из точки

(0; 0) и заканчивающаяся

в точке (2; 1): а) - отрезок прямой ;

б) – парабола =

2; в) – парабола

= 2 2; г) - ломаная , где (2; 0);

д) - ломаная , где (0; 1).

2.31.

∫

2 + 2 , - кривая, выходящая из точки

(0; 0) и заканчивающаяся

в точке (2; 1): а) - прямая ;

б) - парабола =

2; в) – парабола = 2 2;

г) - ломаная , где (2; 0);

д) - ломаная , где (0; 1).

2.32.

∫

( 2 + 2) + ( 2 − 2) ,

- кривая

= 1 − |1 − |, 0 ≤ ≤ 2.

2.33.

∫

(2 −

)

= ( − )

+ , - дуга первой арки циклоиды { = (1 − ),

пробегаемая в направлении возрастания параметра .

2.34. ∫

( + ) +( − )

, - окружность

2 + 2 = 2, пробегаемая против хода

2+ 2

часовой стрелки.

2.35. ∫

2 + 2 , - верхняя половина эллипса

= 1, пробегаемая

по ходу часовой стрелки.

2.36. ∫

( + ) + ( − ) , - эллипс

= 1, пробегаемый против хода

часовой стрелки.

2.37.

∫

− ,

- отрезок прямой

= −

от точки (2; −2) до точки

(−2; 2).

2.38.

∫

+ ,

- отрезок прямой между точками (0; ) и ( ; 0).

Вычислить криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуру на плоскости двумя способами: а) непосредственно и б) по формуле Грина – выбрав положительное направление обхода контура, образованного заданными линиями (№ 2.39 ÷ 2.44):

2.39.	( 3 + 3 ) + ( − 2) , : = , = 2

2.40.	+ ( + 2) ,			: = 0, = 1 − 2
2.41.	2 + 3 , : = 2, = 2

2.42.	2 2 + 2 ,			: = 1, = 3, = 0

2.43.	3 +	1	2 ,	: = − 1, = 1 − , = 0
2.43.	3 +		2 ,	: = − 1, = 1 − , = 0
	2
2.44.	2 2 2 + 3 ,			: = 0, = 2, = 1

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуру на плоскости, образованному заданными линиями и пробегаемому в положительном направлении (№ 2.45 ÷ 2.48):

2.45.

(3 2 2

− ) + (2 3 + 3 ) ,

: = , = 0, =

2.46.

(5 + 2) + (

2 + ) ,

: = 1 − , = 0, = 0

2.47.

(4 3 + ) + (2 − 3 2) ,

: = 0, = 0, = 1, =

2.48. ( 3

− 2 ) + (3 + 3) ,

: = 0, = 2, = 0, = 1

Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги от полного дифференциала

(№ 2.49 ÷ 2.56):

2.49.

∫

( 2 − ) + ( 2 − ) ,

(3; 2), (−1; 3)

2.50.

∫

( + 3 ) + (3 − 2 ) ,

(2; −1), (4; 2)

2.51.

∫

( 2 + 2 ) + ( 2 + 2 ) ,

(3; 1), (−2; 3)

2.52.

∫̆ 2 + (2 − 2) ,

(1; −3), (−2; 3)

2.53.

∫̆ (2 − 2) + ( 2 − 2 ) ,

(1; −2), (2; 3)

2.54.

∫

( 2 + 2) + (2 − 3) ,

(3; 2), (−3; 0)

2.55.

∫̆ (6 − 2) + (3 2 + 3 ) ,

(−3; 2), (3; 4)

2.56.

∫

( 2 − 2 ) + ( 2 − 2 ) ,

(0; 3), (−3; 6)

б). Пространственные кривые

Вычислить криволинейный интеграл 2 рода вдоль пространственной кривой (№ 2.57 ÷ 2.60):

2.57. ∫ ( 2 − 2) + 2 − 2 , : { = 2 , 0 ≤ ≤ 1.= 3

	=
2.58. ∫	+ + , : { = , 0 ≤ ≤ 2 .
	=		=
			=
2.59. ∫	( − ) + ( − ) + ( − ) ,	:	{ = , 0 ≤ ≤ 2 .
			=

2.60. ∫	( − ) + ( − ) + ( − ) , - окружность: {	2	+ 2 + 2 = 1
			=	,

пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны положительных значений .

Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги от полного дифференциала

(№ 2.61 ÷ 2.64):

2.61.

∫̆

+ − ,

(1; 0; −3), (6; 4; 8)

2.62.

∫

+ 2 − 3 ,

(4; 0; 2), (2; 3; −4)

2.63.

∫̆

+ + ,

(1; 2; 3), (6; 2; 1)

2.64.

∫

+ +

(1; 0; 0), (0; 3; 4)

√

Приложения в механике

I. Криволинейные интегралы 1 рода.

Найти массу плоской кривой с известной линейной плотностью = | |

(№ 2.65 ÷ 2.66):

2.65.

+ 2 = 1

2.66.

: 2 = 2 , 0 ≤ ≤

Найти координаты центра тяжести (0, 0) однородной плоской кривой

(№ 2.67 ÷ 2.68):

2.67. :

= ,

0 ≤ ≤ 3

2.68.

{ = ( − ) ,

0 ≤ ≤

= (1 − )

2.69. Найти статические моменты

и относительно координатных осей и

, ≥ 0, ≥ 0 ( > 0).

однородной плоской кривой :

2.70. Найти момент инерции однородной окружности радиуса

относительно ее

диаметра.

2.71. Найти момент инерции 0 контура квадрата: | | ≤ , | | ≤

( > 0) относительно

начала координат.

Найти массу пространственной кривой, если известна линейная плотность

(№ 2.72 ÷ 2.79):

= cos

2.72. { = sin , 0 ≤ ≤

; = 2 + 3 −

2.73. {

= sin

, 0 ≤ ≤

; = 12

= 2 − 2 cos

√2

cos

2.75. { = 2, 0 ≤ ≤ 1; = 2 + 9

2.74.

, 0 ≤ ≤

; = 12√2∙

√2

2 sin

= 3

{

= sin

= t ∙ cos

= 4

2.76. { = 4 , 0 ≤ ≤

; = + 2 + 8

2.77. { = t ∙ sin , 0 ≤ ≤ 2; = 3√2∙

= 1 +

= cos

2.78. { = sin , 0 ≤ ≤

; =

	=
2.79. {	=	, 0 ≤ ≤	; = 3(2 − 2)
2.79. {	=	, 0 ≤ ≤	; = 3(2 − 2)
= 1 − −		4
= 1 − −
Найти координаты центра тяжести (0, 0, 0) однородной пространственной
кривой (№ 2.80 ÷ 2.81):
2.80. - контур сферического треугольника: 2 + 2 + 2 = 2; ≥ 0,				≥ 0, ≥ 0.
= ∙ cos
2.81. : { = ∙ sin ,	−∞ < ≤ 0

2.82. Найти моменты инерции , , относительно координатных осей одного витка

= ∙ cos

однородной винтовой линии { = ∙ sin

( , = ), 0 ≤ ≤ 2.

∙

II. Криволинейные интегралы 2 рода.

Вычислить работу , производимую силой

вдоль кривой на плоскости

(№ 2.83 ÷ 2.88):

2.83.

= 3

√ ,

1 ≤ ≤ 4;

= 9

∙ − 2∙

2.84. = ( ), 6 ≤ ≤

∙ − 2

∙

∙ +

∙

2.85. = ,

√3 ≤ ≤ √8;

− ∙

2.86. =

, √3 ≤ ≤ √8;

= 48 2∙

2.87. =

−

, 1 ≤ ≤ 2;

= 16 ∙ + 24∙

2.88. = ,

0 ≤ ≤ 1;

2∙ + 4

∙

Вычислить работу , производимую силой

вдоль кривой в пространстве

(№ 2.89 ÷ 2.94):

√2

cos

2.89.

√2

, 0 ≤ ≤ 2 ;

= ∙ − ∙

∙ .

2 sin

{= sin

2.90. { =	2	, 0 ≤ ≤ 1;		+ ∙
			= ∙		+ ∙ .

= 3

= t ∙ cos

2.91. { = t ∙ sin ,

0 ≤ ≤ 2;

− ∙

= ∙

+ ∙ .

= cos

2.92. { =

sin , 0 ≤ ≤

;

2 ∙

+ 2 ∙

∙ .

∙

, 0 ≤ ≤ 1;

+ √2

2.93. {

√2

∙ .

= t3

= 4

2.94. { = 4 ,

0 ≤ ≤

∙ +

∙

∙ .

= 1 +

Ответы

																																																							( 2+ + 2)																																																			2							4
																																												3+√5																																						2.5.							256					3
2.1. 1 + √2																		2.2.								0									2.3.									3+√5				2.4.																																									256										2.6.												+
2.1. 1 + √2																		2.2.								0									2.3.							2						2.4.												3( + )																																							2.6.						2						+		4
																																										2																		3( + )																									15																				2								4
					4																																																		2 2																																									2																																		1
2.7.					4			(41√41 − 27)																										2.8. 512														2.9.																		2.10.																			2.11.											2		(5√5 − 2√2)																				2.12.												1		3
2.7.				81				(41√41 − 27)																										2.8. 512														2.9.																		2.10.																			2.11.										3			(5√5 − 2√2)																				2.12.									2					3
				81																																																																																											3																																2
												1							3																					1			3														1																																																													2.18. 3 −																1
2.13. 1 +												1							3	2.14.										1 +										1			3		2.15.						3 +						1			2										2.16.												1									2.17.									(2 + √3)																																		1
2.13. 1 +												2						2		2.14.										1 +									2			2			2.15.						3 +						8			2										2.16.												1									2.17.									(2 + √3)
												2						2																					2			2															8																																																																											2

2.19. 2 2																											16																												1																											2.22.								√		2+ 2								∙ (										2				)				2.23.									52√2
																		2.20.									16			(10√10 − 1)																		2.21.							1			(56√7 − 1)																																√		2+ 2																		2																	52√2
																		2.20.								27				(10√10 − 1)																		2.21.							54			(56√7 − 1)
																										27																													54																																																																								3
2.24. 2 2																																																								19																														2		; в) 2
																		2.25. 63																2.26. √3											2.27.						40					19							2.28. а)											0;								б)				2																2.29. а)											2; б)							2;							в)					2
																		2.25. 63																2.26. √3											2.27.						40				30								2.28. а)											0;								б)			3																	2.29. а)											2; б)							2;							в)					2
																																																							30																														3
2.30. а)											4		;			б)				0;					в)					12							; г) −4; д) 4																	2.31.									4 (а, б, в, г)																																	2.32 .	4				2.33. −2 2																			2.34. −2
2.30. а)													;			б)				0;					в)												; г) −4; д) 4																	2.31.									4 (а, б, в, г)																																	2.32 .					2.33. −2 2																			2.34. −2
								3																						5																																																																	3
2.35.							4		2									2.36. 0															2.37. −2 2															2.38. 0															2.39.								−			1								2.40.									−				4				2.41.									6						2.42. −											3
2.35.					3				2									2.36. 0															2.37. −2 2															2.38. 0															2.39.								−			3								2.40.									−				3				2.41.						35									2.42. −										8
					3																																																																					3																					3										35																			8
								2																		1																												1																																																									3												3
2.43.					−										2.44. −																			2.45. 3												2.46. −												2.47.								− 1																2.48. 10															2.49. =																− +															; = 6
2.43.					−			3							2.44. −										14									2.45. 3												2.46. −								6				2.47.								− 1																2.48. 10															2.49. =														3		− +											3				; = 6
								3																	14																													6																																																									3													3
2.50. =													2				+ 3 − 2;																						= 33								2.51. =												3				+ 2 +															3					; = −21																	2.52. = 2 −																				3						;			= −24
2.50. =														2			+ 3 − 2;																						= 33								2.51. =													3			+ 2 +																				; = −21																	2.52. = 2 −																										;			= −24
														2																																														3														3																																														3
2.53. = 2 − 2;																																	= 0										2.54. =									3			+ 2 −														4				; = −26																		2.55.								= 3 2 −																	3		+			3			2; = 54
2.53. = 2 − 2;																																	= 0										2.54. =								3				+ 2 −													4					; = −26																		2.55.								= 3 2 −																3			+		2				2; = 54
																																																			3																	4																																															3					2
2.56. =													3				− 2 +													3						; = 90									2.57.								1									2.58. − 2																									2.59. −2 ∙( + )																															2.60.									0
2.56. =														3			− 2 +																			; = 90									2.57.						35											2.58. − 2																									2.59. −2 ∙( + )																															2.60.									0
														3																3																					35
															2						2							2																																	2						3								4
2.61.							=											+						−								;						= −2							2.62.									=										+							−									;				= −57															2.63.						= ; = 6
2.61.							=							2				+		2				−					2			;						= −2							2.62.									=						2				+				3			−			4						;				= −57															2.63.						= ; = 6
														2						2									2																															2								3						4
																																																																													2																− 1)																						= 3 −														1		,
							= √ 2 + 2 + 2; = 4
2.64.																																																2.65.							2 +											2.66.															2(2√2																							2.67.																													=
2.64.																																																2.65.							2 +											2.66.															2(2√2																							2.67.																													=
																																																																										3																																					0																2					0
																																																																										3																																																					2
	5	+		3		3								2.68.															=										=		4				2.69.												=													3		2										2.70.										= 3												2.71.													=		32			3										2.72.
		+				3								2.68.															=										=						2.69.												=															2										2.70.										= 3												2.71.													=					3										2.72.
6				8																					0									0					3																															5																																											0					3
6				8																																			3																															5																																																3
			(5 −							2					)																																																					1																																							∙( 2							+ 4 + 12)
√2										2									2.73. 2√2 − 1																								2.74. 3√3									− 1								2.75.								1		(14√14 − 1)																									2.76. √17																																					2.77.
√2																			2.73. 2√2 − 1																								2.74. 3√3									− 1								2.75.								6		(14√14 − 1)																									2.76. √17																																					2.77.
								8																																																												6
																																																						2.80. (											4					,		4				,			4					)					2.81. (												2		, −		1			,	1			)
4∙(3√3 − 1)																			2.78. √3															2.79.										2√2 − 1																					4							4							4																						2				1				1
4∙(3√3 − 1)																			2.78. √3															2.79.										2√2 − 1																					3
																																																																	3							3 3																											5						5 2
																							2								2
2.82.										=									= (				2			+					2							)∙√4 2 2 + 2												,						= 2∙√4 2 2 + 2																																			2.83.									−1					2.84. 1
2.82.										=									= (							+												)∙√4 2 2 + 2												,						= 2∙√4 2 2 + 2																																			2.83.									−1					2.84. 1
																								2						3
																								2						3
2.85.							9∙ 22 −													3		23												2.86.								4∙ 3 −							9		2											2.87.								133 − 22																									2.88.									3∙ 1 + 2 − 3
2.85.							9∙ 22 −													8		23												2.86.								4∙ 3 −									2											2.87.								133 − 22																									2.88.									3∙ 1 + 2 − 3
																				8																												2
2.89.							1		−											2.90.										1										2.91. −							2	2.92.														+ 1								2.93. 2															1						2.94.
2.89.					3				−			4								2.90.										1										2.91. −								2.92.										4				+ 1								2.93. 2															4						2.94.								2
					3							4																																	3													4																											4														2

Соседние файлы в папке Теория и задачи

#
22.04.2021249.9 Кб10Кратные интегралы задачи.pdf
#
22.04.2021795.01 Кб7Кратные интегралы теория.pdf
#
22.04.2021218.25 Кб8Криволинейные интегралы - задачи.pdf
#
22.04.2021744.21 Кб8Криволинейные интегралы - теория.pdf
#
22.04.2021217.24 Кб7Поверхностные интегралы - задачи.pdf
#
22.04.2021758.24 Кб8Поверхностные интегралы - теория.pdf