Добавил:

pro100durachok Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Кратные интегралы задачи

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.04.2021

Размер:

249.9 Кб

Скачать

☆

Кратные интегралы

Вычислить повторные интегралы (№ 1.1 ÷ 1.6):

1.1. ∫2

∫1( 2 + 2 )

1.2. ∫4 ∫2

1.3. ∫1

∫1

1 ( + )2

0 1 + 2

√1− 2

( + 2 ) 1.6.

√1 − 2 − 2 .

1.4. ∫

∫

1.5. ∫

∫ 2

∫

−4

⁄2

−3

Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле

( , )

для указанных областей двумя способами (№ 1.7 ÷ 1.14):

1.7. - прямоугольник , где

(0; 0), (2; 0),

(2; 1), (0; 1).

1.8. - треугольник ,

где (0; 0), (1; 0), (1; 1)

1.9. - трапеция , где (0; 0), (0; 1), (1; 1), (2; 0).

1.10. - параллелограмм , где

(1; 0), (1; 3),

(2; 5), (2; 2).

1.11. – круговой сектор с центром в точке (0; 0), у которого концы дуги

(1; 1) и (−1; 1).

1.12. – параболический сегмент с осью , ограниченный параболой с вершиной (0; 0) и отрезком прямой , соединяющим точки (−1; 2) и (1; 2). 1.13. – круговое кольцо, ограниченное окружностями радиусов = 1 и = 2, с

общим центром (0; 0).

1.14. – область, содержащая начало координат, ограниченная гиперболой

2 − 2 = 1							и окружностью 2										+ 2 = 9.
	Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах
(№ 1.15 ÷ 1.24):
1.15.	∫2 ∫6 2									( , )							1.16. ∫1						∫3 ( , )
		0					3														0				2
							√
	∫						√	2− 2					( , )											∫				√2 − 2				( , )
1.17.	∫		∫ 2− 2										( , )				1.18. ∫							∫								( , )
	0																					⁄2				0
	0							2														⁄2				0
								2
1.19. ∫2				∫√													1.20. ∫1						∫1−
									4						( , )																( , )
														2	( , )															2	( , )
	0						√2 −														0				−√1−

																			√2
		1					√3− 2												√2											1					√1− 2
		1					√3− 2																							1					√1− 2
1.21.	∫		∫ 2									( , ) 1.22. ∫ 2									∫				( , ) + ∫√									∫			( , )
1.21.	∫		∫ 2									( , ) 1.22. ∫ 2									∫				( , ) + ∫√								2	∫			( , )
	0																	0					0							2				0
							2																							2

1.23.	∫	1	∫					( , ) + ∫								√2	∫	√2− 2				( , )
	0			0											1		0
1.24. ∫√3				∫0							2				( , )		+ ∫2			∫0							( , )
1.24. ∫√3				∫0							2	−2			( , )		+ ∫2			∫0						2	( , )
	0						√4−					−2					√3					−√4−
		Вычислить двойные интегралы (№ 1.25 ÷ 1.44):
1.25.					, где – треугольник с вершинами																								(0; 0), (0; 1),							(1; 1).
1.26.					, где область ограничена прямой, проходящей через точки
(0; 2), (2; 0),										и правой полуокружностью с центром в точке (0; 1) радиуса 1.
1.27.													, где – часть круга радиуса с центром в точке																							(0; 0),

					√
					√	2− 2− 2
лежащая в первой четверти.

1.28.					√ 2 − 2 , где – треугольник :																								(0; 0), (1; −1), (1; 1).

						2

1.29.			√ − 2 , где – треугольник : (0; 0), (10; 1), (1; 1).

1.30.					⁄	, где – криволинейный треугольник, ограниченный параболой
1.30.						, где – криволинейный треугольник, ограниченный параболой
= 2		и прямыми = 0, = 1.
1.31.							, где – параболический сегмент, ограниченный параболой

				2 + 2
=	2	и прямой = .
=	2	и прямой = .
	2
1.32.			2 , где область ограничена параболой 2 = 2 и прямой = .

1.33. D (6 + 243 3) , ограничена линиями: = 1, = −2, = √								.
1.33. D (6 + 243 3) , ограничена линиями: = 1, = −2, = √								.

1.34. D	(4 + 32 2) , ограничена линиями: = 1, = 2, = − √			.
	(4 + 1763 3) , ограничена линиями: = 1, = −3, = √					.
1.35. D	(4 + 1763 3) , ограничена линиями: = 1, = −3, = √					.
	(24 + 182 2) , ограничена линиями: = 1, = 3, = − 3√				.
1.36. D	(24 + 182 2) , ограничена линиями: = 1, = 3, = − 3√				.
1.37.	3,	ограничена линиями:	− + 4 = 0, = 0, 2 − 2 = 0.


1.38.	24 ( + 2) , ограничена линиями: + 3 − 4 = 0, = 0, = √						.
1.39.	24 , ограничена линиями: − 2 + 2 = 0, = 0, 2 + 2 = 4.

1.40.	8 ,	ограничена линиями:	2 − + 2 = 0, = 0, 2 − 2 = 4.

1.41.	2 ,	ограничена линиями:	3 + 2 = 12, = 0, − 2 = 0.
1.42.	102 , ограничена линиями: + = 6, = 2, = 0 ( ≥ 0).

1.43.	, где ограничена: = 6 − 2, = 2 − 2, = 0, = 0 ( ≥ 0).

1.44.	8 , где ограничена: = 1 + 2, 2 = 2, = 0, = 2 ( ≥ 0).

Вычислить двойные интегралы, переходя к полярным координатам

(№ 1.45 ÷ 1.54):

1.45. √2 + 2 , где – первая четверть круга радиуса с центром в начале координат.

1.46. , где – верхний полукруг диаметра с центром в точке (2 ; 0)

1.47. √2

− 2 − 2

, где – верхний полукруг радиуса с центром в

начале координат

1.48.

+ 2) , где – круг 2

+ 2 ≤ 2

1.49.

, : 2+ 2 ≤ 2 1.50.

, :

9 ≤ 2+ 2 ≤ 25

D 2+ 2

2+ 2−1

1.51. ( + ) ,

: {

2+ 2 ≤ 4

1.52. ,

: {

2+ 2 ≤ 2

≥

− √3 ∙ ≥ 0

1.53. D

: {

2+ 2 ≤ 2

1.54. D , : {

2+ 2 ≤ 4

√

≤

2 + 2

Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями

(№ 1.55 ÷ 1.64):

1.55. + = 2, = √ , = 12 , = 0

, = 0

1.56. 2+ 2 = 8, = √2

, = 0, =

1.57. 2

+ 2

+ 4 = 0, = 8 − 2, = 0

1.58. 2

+ 2

= 4 , = 4 − 2, = 0

1.59. = 2 2

− 1, = 1, = 2 − 5 2

− 3, = 2 − 5 2 − 6

1.60. = 2 2

− 3, = −7 2 + 6, = 1 + √

2 + 16 2

, = −3 + √

2 + 16 2

9 = 2 + 2

1.61. = 3√

2 + 2

, = 10 − 2 − 2

1.62. = √36 − 2 − 2,

1.63. = 2 − 4( 2 + 2), = 8 + 2

1.64. = 10( 2 + 2) + 1,

= 1 − 20

Вычислить тройной интеграл по пространственной области ,

ограниченной заданными поверхностями (№ 1.65 ÷ 1.76):

1.65. Ω 24( + 2 ) ,

Ω: = 0, = 0, = 0, + = 1, = +

1.66. Ω (3 + 4 ) ,

Ω:

= 1, = 0, = 0, = , = 5( 2

+ 2)

1.67. Ω (1 + 2 3) ,

Ω:

= 1, = 0, = 0, = 3 , = √

1.68. Ω , Ω: = 1, = 0, = 0, = 3 , =

1.69. Ω (3 2 + 2) ,

Ω: = 0, = 0, = 0, + = 1, = 10

1.70. Ω (15 + 30 ) ,

Ω: = 1, = 0, = 0, = , = 2

+ 3 2

1.71. Ω (4 + 8 3) ,

Ω:

= 1, = 0, = 0, = , = √

1.72. Ω 21 ,

Ω:

= 2, = 0, = 0, = , =

1.73. ( 2

+ 3 2) ,

Ω: = 0, = 0, = 0, + = 1, = 10

1.74.

2 , Ω: = 2, = 0, = 0, = 3 , =

1.75.

( + ) ,

Ω:

= 1, = 0, = 0, = , = 30 2 + 60 2

1.76. Ω 2 , Ω:

= 0, = 0, = 0, + = 1, = 10( + 3 )

Вычислить объем тела , переходя к сферическим координатам

(№ 1.77 ÷ 1.88):

4 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 64

1 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 36

1.77. Ω: {

− √3 ≤ ≤ 0

1.78. Ω: { − √3 ≤ ≤ √3

≥

√ 2+ 2 ≤ ≤

√ 2+ 2

√15

√3

√99

4 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 64

16 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 100

≤ ≤ 0

1.79. Ω: {

1.80. Ω: {

√3 ≤ ≤ 0

−1

√

≤ ≤

√

2+ 2

≤ ≤

√

2+ 2

√35

√3

√

√3

9 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 81

36 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 100

1.81. Ω: {

0 ≤ ≤ −

1.82. Ω:

≤ ≤ √3

√3

−1

√ 2+ 2 ≤ ≤

√ 2+ 2

−1

{

≥

√

√3

√35

√63

9 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 81

49 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 169

1.83. Ω:

≤

≤ 0

1.84. Ω:

≥

≥ 0

√3

−1

√

≤ ≤ 0

{ 0 ≤ ≤

√ 2+ 2

{

2+ 2

√24

16 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 100

64 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 196

0 ≤ ≤

1.85. Ω: {

1.86. Ω: {

0 ≤ ≤ √3

−1

√

≤ ≤

−1

√

2+ 2

≤ ≤

√

2+ 2

√3

√35

√3

√15

64 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 144

16 ≤ 2+ 2+ 2 ≤ 100

1.87. Ω:

0 ≤ ≤

1.88. Ω:

≤ 0, ≤ −

√3

−1

0 ≤ ≤

{

≥

√ 2+ 2

{

√ 2+ 2

√63

√24

Приложения в механике

I. Двойные интегралы.

Пластинка D ограничена заданными линиями. Найти массу пластинки, если

известна поверхностная плотность (№ 1.89 ÷ 1.92):
1.89.	: = 1, = 0, 2 = 4 ( ≥ 0), = 7 2 +
1.90.	: 2+ 2 = 1, 2+ 2 = 4, = 0, = 0			( ≥ 0, ≥ 0), =		+
1.90.	: 2+ 2 = 1, 2+ 2 = 4, = 0, = 0			( ≥ 0, ≥ 0), =	2 + 2
					2 + 2
1.91.	: =	1	, = 0, 2 = 2 ( ≥ 0), = 4 + 9 2
1.91.	: =		, = 0, 2 = 2 ( ≥ 0), = 4 + 9 2
	2
1.92.	: 2 + 2 = 9, 2+ 2 = 4, = 0, = 0			( ≤ 0, ≥ 0), =		− 2
1.92.	: 2 + 2 = 9, 2+ 2 = 4, = 0, = 0			( ≤ 0, ≥ 0), =		2 + 2
						2 + 2

1.93. Найти массу круглой пластинки радиуса , если плотность ее пропорциональна расстоянию точки от центра и равна 3 ед. на краю пластинки.

1.94. Найти массу квадратной пластинки со стороной , если плотность ее пропорциональна расстоянию точки от одной из вершин квадрат и равна 3 ед. в центре квадрата.

1.95. Пластинка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами = 3 и = 4, причем плотность ее в любой точке равна расстоянию точки от большего катета. Найти статические моменты и пластинки относительно катетов треугольника.

Найти координаты центра тяжести ( 0, 0) однородных пластинок, ограниченных

следующими кривыми (№ 1.96 ÷ 1.102):

1.96.

= 2, + = 2

1.97. 2 = 4 + 4,

2 = −2 + 4

1.98.

√ + √ = √ ,

= 0, = 0

1.99.

, ≥ 0, ≥ 0

1.100. = 6( − ), = 6(1 − ),

[0; 2 ],

= 0

1.101.

= , [−

;

]

1.102. = 18∙(1 + ), = 0

Найти моменты инерции

и относительно осей координат однородных фигур,

ограниченных следующими кривыми: (№ 1.103 ÷ 1.104):

1.103.

+ = 2, = 2, = 2

1.104. 2

+ 2 = 9, 2+ 2 = 1

Найти момент инерции 0 относительно начала координат однородных фигур, ограниченных следующими кривыми (№ 1.105 ÷ 1.108):

1.105. = , = , = 0, = 0	( > 0)	1.106. 2 + 2 = 16,	2+ 2 = 4
1.107. = ∙(1 + )
1.107. = ∙(1 + )		1.108. = ∙√cos 2

II. Тройные интегралы.

Тело Ω ограничена заданными поверхностями. Найти - массу тела, если плотность в точке ( , , ) равна (№ 1.109 ÷ 1.112):

1.109. Ω: 0 ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ 2, 0 ≤ ≤ 3, = + +
1.110. Ω: 2	+ 2+ 2 = 4, + = 2			( ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0), Ω, = 3
1.111. Ω: 2	+ 2	=	4, 2+ 2 = 4 ,	= 0, = 0, = 0 ( ≥ 0, ≥ 0), = 5
1.112. Ω: 2	+ 2	=	2, 2+ 2 = , = 0, = 0 ( ≥ 0, ≥ 0), = 35

Найти координаты центра тяжести ( 0, 0, 0) однородных тел, ограниченных поверхностями (№ 1.113 ÷ 1.115):

1.113. 16 2+ 16 2 = 2, = 4 1.114. 2+ 2 = , + = 1, = 0, = 0, = 0

1.115. 2 + 2 + 2 = 1, = 0, = 0, = 0

4 16 64

1.116. Найти момент инерции прямого кругового цилиндра, высота которого и радиус основания , относительно оси, проходящей через диаметр основания.

1.117. Найти момент инерции неоднородного шара 2 + 2 + 2 ≤ 2 массы относительно оси его диаметра, если плотность шара в точке пропорциональна расстоянию этой точки от центра шара.

Найти моменты инерции											, ,			относительно координатных плоскостей

однородных тел, ограниченных поверхностями (№ 1.118 ÷ 1.120):
1.118.		+			+		= 1, = 0, = 0,							= 0
1.118.	2	+			+	4	= 1, = 0, = 0,							= 0
	2		3			4
	2			2				2					2		2		2
1.119.			+			+			= 1	1.120.				+		=		, = 5
1.119.	1		+	9		+			= 1	1.120.		1		+	4	=		, = 5
	1			9			25					1			4		25

Ответы

1.1. 4			2				1.2.					25			1.3.						1.4. 1,5					1.5.					50,4					1.6.						1.7. ∫1								∫2 = ∫2						∫1
1.1. 4		3					1.2.					24			1.3.	12					1.4. 1,5					1.5.					50,4					1.6.			6			1.7. ∫1								∫2 = ∫2						∫1
		3										24				12																							6						0					0				0		0
1.8.	∫1							∫1		= ∫1 ∫															1.9. ∫1					∫1			+ ∫2 ∫2−															= ∫1					∫2−
		0													0			0										0				0							1					0								0		0
						2			2 +1								2						1+								3			2									5		2

1.10.			∫				∫						=			∫						∫		2 + ∫								∫			+ ∫
1.10.			∫				∫						=			∫						∫		2 + ∫								∫			+ ∫										∫			1
				0				2 −2								0						1								2			1									3				2	−		2

							1									√2						√2− 2										0						√2− 2										1				√2− 2
1.11.					∫0				∫−			+ ∫1						∫−√2− 2									= ∫−1										∫−					+						∫0		∫

1.12.					∫1			∫2				2 =				∫2						∫√ ⁄2
						−1					2					0						−√ ⁄2

				−1						√4− 2											1			−√1− 2												1					√4− 2										2			√4− 2
1.13.	∫						∫								+				∫			∫							+					∫				∫												+ ∫		∫				=
1.13.	∫						∫							2	+				∫			∫						2	+					∫				∫						2						+ ∫		∫			2	=
		−2						−√4−												−1				−√4−										−1						√1−										1			−√4−

−1

√4− 2

−√1− 2

√4− 2

= ∫−2

∫−√4− 2

+ ∫−1

∫−√4− 2

∫−1 ∫√1− 2

∫1

∫−√4− 2

1.14. ∫

−2

∫

√9− 2

∫

√1+ 2

+ ∫

∫

√9− 2

−3

−√9−

−2

−√1−

−√9−

−1

√

2−1

−1

√9− 2

−√

2−1

√5

= ∫−√

∫−√9− 2

+ ∫−√

∫−√

+ ∫−1

∫−√9− 2

∫1

∫−√9− 2

2−1

1.15.

∫12 ∫√ ⁄3

1.16.

∫2

∫ ⁄2

+ ∫3

∫1

⁄6

⁄3

⁄2

√

2− 2

√

2− 2

1.17.

∫0

∫√

∫ ⁄2 ∫0

2−2

1.18.

∫ √

3⁄2 ∫

∫

−

⁄2

√3⁄2

−√

1.19.

∫

−√

2− 2

∫

2√2

∫

⁄4

−

⁄4

+√

1.20. ∫−01 ∫0√1− 2 + ∫01 ∫01−

1.21. ∫01⁄2 ∫0√2 + ∫1√⁄22 ∫01 + ∫√√23 ∫0√3− 2


					√	2⁄2											√1− 2																										1			√2− 2																												0									√4− 2
1.22.				∫0							∫																										1.23. ∫0							∫																						1.24.							∫−1 ∫√− 2 − 4

1.25.				1			1.26.											1			1.27.													1.28.									1.29.				6	1.30.										1				1.31.								2								1.32.								8√2		5			1.33.			1
1.25.			6				1.26.										6				1.27.								2					1.28.						6			1.29.				6	1.30.														1.31.								2								1.32.								21		5			1.33.			1
			6														6												2											6																2																														21
1.34.			0				1.35.										5				1.36.							−1							1.37. −14									1.38.				61							1.39.						27							1.40.							−9					1.41. 3									1.42. 704
1.43.			8				1.44.										18						1.45.								3					1.46.						3		1.47.					3							1.48.								3 4									1.49.													1.50.			∙ 3								1.51.
1.43.			8				1.44.										18						1.45.										6			1.46.					12			1.47.				3								1.48.										2							1.49.													1.50.			∙ 3								1.51.
																																	6								12							3																		2
8																					−			1																								−				4
8	(1 − √3)										1.52.													1			1.53.								8 − 5√2									1.54.								4			1.55.							5						1.56.						8						1.57. 28											1.58.					12
3	(1 − √3)										1.52.																1.53.								8 − 5√2									1.54.											1.55.							5						1.56.						8						1.57. 28											1.58.					12
3																							6																									3
1.59.			8				1.60.										48						1.61.									16						1.62.					85,5					1.63.								2						1.64.							5					1.65.									9			1.66.					7			1.67.

4√		3	1.68.								1,8								1.69.								1					1.70.						18			1.71. 1						1.72. 64														1.73.							1					1.74.							144						1.75.					16				1.76.
3			1.68.								1,8								1.69.								1					1.70.						18			1.71. 1						1.72. 64														1.73.							1					1.74.							144						1.75.					16				1.76.
3
1			1.77. 14																1.78.								43							1.79.						28				1.80.					26							1.81.									39							1.82.							49									1.83. 39									1.84.
103							1.85.									52							1.86.										62					1.87.					76				1.88.							52							1.89.							5					1.90.							2						1.91. 1					1.92.						3
1.93. 2 2																																																																																		1.96. = −										1	,				=	8
															1.94.								2√2							∙ (√2						+ (1 + √2))												1.95.													= 6,												= 9																			1						8
															1.94.								2√2							∙ (√2						+ (1 + √2))												1.95.													= 6,												= 9
																																																																																						0					2				0		5
																																																																																											2						5
1.97.				0			=			2			,		0 = 0											1.98. 0										= 0					=				1.99. 0									= 0						=			256				∙							1.100. 0													= 6 ,			0 = 5

										5																																	5																				315
										5																																	5																				315

1.101.								=				4√2					∙			,			= 0										1.102.								= 15,						=			32						1.103.											=						= 4								1.104.								= = 20
1.101.								=									∙			,			= 0										1.102.								= 15,						=									1.103.											=						= 4								1.104.								= = 20
			0								3										0																	0						0
											3
1.105.								=					2	4					1.106.														= 120									1.107.					=				35		4							1.108.												=				4							1.109. = 18
1.105.								=						4					1.106.														= 120									1.107.					=						4							1.108.												=				4							1.109. = 18
			0								3																		0															0				16																					0					8
											3																																					16																										8
1.110. = 8																	1.111. = 8																	1.112.							= 1 1.113. (0, 0, 3)																									1.114. (											2		,		2	,		7			) 1.115. (							3	,	3	, 3)
1.110. = 8																	1.111. = 8																	1.112.							= 1 1.113. (0, 0, 3)																									1.114. (													,	5		,					) 1.115. (							4	,		, 3)
																																																																										5						5			30											4	2
1.116. 2 (																2			+			2			)		1.117.										4	2						1.118.									= 6				2		,							= 1					3	,						= 3							3
1.116. 2 (																			+						)		1.117.											2						1.118.									= 6						,							= 1						,						= 3
															4						3															9																				5													5														5
															4						3															9																				5													5														5
1.119.									= 100 ,																		= 36 ,												= 4						1.120.										= 50 ,															= 2 ,													=
1.119.									= 100 ,																		= 36 ,												= 4						1.120.										= 50 ,															= 2 ,													=
																																																																																						2
																																																																																						2

Соседние файлы в папке Теория и задачи

#
22.04.2021249.9 Кб10Кратные интегралы задачи.pdf
#
22.04.2021795.01 Кб7Кратные интегралы теория.pdf
#
22.04.2021218.25 Кб8Криволинейные интегралы - задачи.pdf
#
22.04.2021744.21 Кб8Криволинейные интегралы - теория.pdf
#
22.04.2021217.24 Кб7Поверхностные интегралы - задачи.pdf
#
22.04.2021758.24 Кб8Поверхностные интегралы - теория.pdf