Вопросы к тестированию по ДУ
ДУ 1-го порядка
1. Понятие решения дифференциального уравнения ′ = ( , ) с областью задания 2.
2. Задача Коши для дифференциального уравнения ′ = ( , ) и ее геометрический смысл.
3. Теорема Пеано о существовании решения задачи Коши для дифференциального уравнения ′ = ( , ) и ее геометрический смысл.
4. Теорема единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения′ = ( , ) и ее геометрический смысл.
5. Понятия общего решения дифференциального уравнения ′ = ( , ).
6. Понятия частного и особого решений дифференциального уравнения ′ = ( , ). 7*. Указать тип каждого из ДУ 1-го порядка (с Р.П., ОДУ, ЛДУ, ДУБ, в П.Д. или общего
вида).
8. ЛДУ – 1. Метод вариаций.
9. ЛДУ – 1 с постоянными коэффициентами. Общее решение. 10. Уравнения в полных дифференциалах. Общий интеграл.
ДУ 2-го порядка
1. Понятие решения дифференциального уравнения ′′ = ( , , ′) с областью задания 3.
2. Задача Коши для дифференциального уравнения ′′ = ( , , ′) и ее геометрический смысл.
3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для
|
дифференциального уравнения ′′ = ( , , ′) и ее геометрический смысл. |
|||
4. |
Понятия общего и частного решений дифференциального уравнения ′′ = ( , , ′). |
|||
5. Указать методы понижения порядка для дифференциальных уравнений вида: |
||||
|
а) ′′ = ( ), |
б) ′′ = ( ), |
в) ′′ = (′), |
г) ′′ = ( , ′), д) ′′ = ( , ′) |
6. ЛОДУ - 2. Свойства решений. |
|
|
||
7. |
Линейная зависимость и независимость функций 1( ), 2( ) на промежутке ( ; ). |
|||
8. |
Вронскиан. Критерий линейной зависимости и независимости решений ЛОДУ. |
|||
9. |
ЛОДУ – 2: ФСР, структура общего решения. |
|
||
10. ЛОДУ – 2 с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение.
11. Уравнение Эйлера. Приведение к ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 12. ЛНДУ – 2: структура общего решения.
*) Например: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
′ + ∙ = √ |
|
|
′ + ∙ = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
′ = |
|
√ |
2 |
+ 2 |
|
′ − 2 = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
( + 2) + 2 = 0 |
(3 + 2) − (2 + 3) = 0 |
|||||||||||||||||||||
|
(52 − 3) + (52 − 2) = 0 |
|
′ + √ |
|
= 2 |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
′ = 2 + 3 |
(1 + 2) + √ |
|
= 0 |
|||||||||||||||||||
1 + |
|||||||||||||||||||||||
|
′ + 2 |
= |
′ = |
+ 5 |
|
||||||||||||||||||
3 − |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
′ + |
|
|
|
= |
|
|
′ = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
+ (2 + ) = 0 |
′ = + |
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||