дз1фкп_другой вариант1
.docx
Задание №1
Изменить порядок интегрирования:
Решение:
Построим графики функций, указанные в пределах внутреннего интеграла. Тогда они будут пересекаться в точках со следующими координатами:
- по условию
Выразим y подставив и :
Т.о. графики пересекаются в точках , и .
Т.к. нам нужно сделать внешнем интеграл по dy, то проведем прямую параллельную оси абсцисс, пересекающую оба графика. Сначала она пересечёт график функции , потом . Сама область D разбивается на две части: и . Изменим порядок интегрирования:
Ответ: .
Задание №2
Вычислить объём тела ограниченного поверхностями:
Решение:
Построим графики плоскостей. На нём видно, что снизу тело ограничено снизу , а сверху .
Спроецируем эти поверхности на плоскость XOY.
Формула нахождения объёма:
Запишем эту формулу сразу в полярной системе координат с помощью формул:
И т.к. область D разбита на две части получим:
Подведем под дифференциал, получим и найдём внутренний интеграл. Также сразу вычислим внешний интеграл, потому что пределы внутреннего не содержат функций с аргументом :
Ответ:
Задание №3
Вычислить площадь числа поверхности (а), вырезанной поверхностями
Решение:
Начертим графики заданных функций. Поверхность (а) – цилиндр, параллельный плоскости YOZ, а остальные поверхности: цилиндр параллельный плоскости XOY и плоскость XOY. Спроецировав получившиеся кривые на плоскость XOY получим две окружность с радиусом R=2. Область D находится в этой окружности.
Формула нахождения площади:
;
Найдём и и подставим в формулу, а так же перейдём к полярной системе:
; ;
.
Ответ: .
Задание №4
Проверить зависит ли криволинейный интеграл от пути интегрирования.
Вычислить криволинейный интеграл.
Решение:
Вычислим и :
– тождество верно, а значит криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования
Начертим график заданных кривых. Видно x меняется на отрезке , и y на отрезке .
Т.к. интеграл не зависит от пути интегрирования, то он будет равен нулю, но чтобы доказать это мы его вычислим криволинейный интеграл по формуле:
.
Ответ: не зависит от пути интегрирования; 0.