дз1фкп_другой вариант2

Задание №1

Изменить порядок интегрирования:

Решение:

Построим графики функций, указанные в пределах внутреннего интеграла. Тогда пределы во внутреннем интеграле будут следующими:

Графически находим пределы внешнего интеграла. Это и .

Т.о. графики пересекаются в точках и , но т.к. область D по y ограничена в отрезке , то точка пересечения О будет иметь координаты .

Т.к. нам нужно сделать внешнем интеграл по dx, то проведем прямую параллельную оси ординат, пересекающую оба графика. Сначала она пересечёт график функции , потом .

Ответ: .

Задание №2

Вычислить объём тела ограниченного поверхностями:

Решение:

Построим графики плоскостей. На нём видно, что снизу тело ограничено снизу , а сверху .

Спроецируем эти поверхности на плоскость XOY.

Формула нахождения объёма:

Запишем эту формулу сразу в полярной системе координат с помощью формул:

И т.к. область D разбита на две части получим:

Ответ:

Задание №3

Вычислить площадь числа поверхности (а), вырезанной поверхностями

Решение:

Начертим графики заданных функций. Поверхность (а) – плоскость, а остальные – поверхности перпендикулярны плоскости XOY. Спроецировав получившиеся кривые на плоскость XOY получим две параболы и прямую. Область D находится между ними.

Формула нахождения площади:

;

Найдём и и подставим в формулу:

; ;

Ответ: .

Задание №4

1. Проверить зависит ли криволинейный интеграл от пути интегрирования.

2. Вычислить криволинейный интеграл.

Решение:

1. Вычислим и :

– тождество неверно, а значит криволинейный интеграл зависит от пути интегрирования

2. Начертим график заданных кривых. Видно x меняется на отрезке , а y на отрезке .

Применим теорему Гаусса:

Перейдём в полярную систему координат:

Ответ: зависит от пути интегрирования; .