A.M. Kotochigov Metodichka 1 sem Matan

Все готово для рассмотрения центрального момента в круге вопросов, которым посвящено это пособие, возможности приближать функции многочленами. Чтобы понять происхождение формулы и специфику приближения, рассмотрим ее сначала на примере многочленов

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn,

q(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + amxm, n > m.

Очевидно, что многочлен q приближает многочлен p в окрестности x = 0 с точностью до m-го порядка, т. е.

p(x) − q(x) = o(xm), x → 0.

Хотя это приближение эффективно только в окрестности нуля, его легко

”перестроить“ под любую точку x0:

p(x) = a0 + a1((x − x0) + x0) + . . . + an((x − x0) + x0)n = = b0 + b1(x − x0) + . . . + bn(x − x0)n.

Чтобы получить коэффициенты bk, достаточно воспользоваться биномом Ньютона. Способ вычисления коэффициентов громоздкий и, главное, применим только для многочленов. С другой стороны, легко проверить, что bk = k!p(k)(x0), и это обстоятельство оказывается решающим.

Теорема 3.10 (формула Тейлора). Если функция f имеет в окрест-

ности точки x0 n непрерывных производных, то она допускает представле-

íèå âèäà

f(x) = p(x) + o((x − x0)n) ïðè x → x0,

ãäå p(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + . . . + n1!f(n)(x0)(x − x0)n многочлен Тейлора.

Доказательство. Достаточно проверить, что

lim f(x) − p(x) = 0.

x→x0 (x − x0)n

Из определения многочлена следует, что f(k)(x0) = p(k)(x0), k = 0, 1, . . . , n. Вычислим производные числителя

((x − x0)n)(k) = n(n − 1) · · · (n − k + 1)(x − x0)n−k, k = 0, 1, . . . , n,

для вычисления предела можно n раз использовать правило Лопиталя, что приводит к равенству

50

Последнее равенство вытекает из равенства f(n)(x0) = p(n)(x0) и непрерывности f(n).

Доказанную формулу называют формулой Тейлора с остатком в форме Пеано. Если предположить существование еще одной производной, то

Лагранжа.

Доказательство. Доказательство проходит по той же схеме. Но на на- чальном этапе надо поставить в знаменатель (x − x0)n+1 и вместо правила

Лопиталя применять теорему Коши. Последнее возможно, поскольку все производные числителя и знаменателя обращаются в 0 в точке x0. В итоге получим:

Последнее равенство следует из теоремы Лагранжа (формулы конечных приращений) и дает нужное выражение для остатка.

Пример 3.22 (формула Тейлора для основных функций). Воспользуемся результатами вычислений из примера 3.19 и получим:

51

(1 + x)a = 1 + ax + . . . + a(a − 1) · · · (a − n + 1)xn + o(xn). n!

Однако для большинства функций так просто разложение не выписать. В приложениях может возникать необходимость формировать многочлены Тейлора невысоких степеней, которые можно получать за счет тождественных преобразований. В основе этих действий лежит формула для перемножения многочленов:

(a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn) · (b0 + b1x + . . . + bmxm) =

= c0 + c1x + . . . + cn+mxn+m;

ck = akb0 + ak−1b1 + . . . + ak−jbj + . . . + a0bk.

В последней формуле все ”несуществующие“ коэффициенты надо считать нулями.

Воспользуемся этой техникой для вычисления предела tg sin x−sin tg x.

Пример 3.23 (использование формулы перемножения многочленов): 1) вычислим многочлен Тейлора седьмой степени для функции sin2 x:

Перемножим многочлены, приравняем свободный член к 1, а остальные коэффициенты к нулю и решим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов a0, . . . , a7. В итоге получим:

3) вычислим многочлен Тейлора седьмой степени для функции tg x

52

4) вычислим многочлен Тейлора седьмой степени для функции tg sin x:

Последнее равенство требует предварительного разложения по формуле Тейлора для функций sin3 x, sin5 x è sin7 x.

5) аналогичное рассуждение, использующее разложения по формуле Тейлора для функций tg3 x, tg5 x è tg7 x, позволит получить многочлен Тей-

лора седьмой степени для функции sin tg x:

sin tg x = x + x3 − x5 − 275x7 + o(x7) 6 40 7!

Проведенная подготовка позволяет завершить решение примера:

Эта задача является трудной по существу. Здесь приведен только план решения. Громоздкие и рутинные вычисления, сопровождающие формирование многочленов Тейлора, опущены. Современное состояние программного обеспечения (поддержка символьных вычислений) меняет оценки сложности задач. Полезным и доступным упражнением является проверка предъявленных разложений с помощью программ, поддерживающих символьные вычисления.

3.5 Исследование функций по производным

Накопленная информация о свойствах производной и понимание ее геометрического смысла дают мощный инструмент для исследования функций. Простым, но очень важным следствием определения производной является следующая теорема.

Теорема 3.11 (об условии монотонности). Если функция f(x) дифференцируема на отрезке [a, b] и ее производная не меняет знака во всех точках отрезка, то функция монотонна на этом отрезке.

Доказательство. Рассмотрим случай положительной производной. Надо проверить, что для любых точек x1, x2 [a, b] таких, что x1 6 x2,

выполнено неравенство f(x1) 6 f(x2). Воспользуемся теоремой Лагранжа, согласно которой f(x2) − f(x1) = f0(x3)(x2 − x1), здесь x3 (x1, x2). По условию f0(x3) > 0 è x2 − x1 > 0, следовательно, f(x2) > f(x1).

53

Условие убывания функции доказывается аналогично.

Доказанный признак монотонности имеет важное приложение он дает способ доказательства неравенств. Алгоритм его очень прост: если функция положительна в начальной точке отрезка и возрастает на отрезке (производная положительна), то она положительна на всем отрезке. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих эффективность алгоритма.

Пример 3.24

1) Докажем, что ex > 1 + x. Рассмотрим функцию f(x) = ex − 1 − x.

Достаточно доказать, что f(x) > 0. Заметим, что f(0) = 0, и рассмотрим промежуток 0 6 x < ∞. На этом промежутке f0(x) = ex − 1 > 0, ò. å.

функция возрастает и, в частности, f(x) > f(0) = 0, что равносильно тре-

буемому неравенству. Рассмотрим функцию на промежутке −∞ < x 6 0. Здесь f0(x) 6 0 и функция убывает, следовательно, f(x) > f(0) = 0, т. е. ex − 1 − x > 0, и неравенство полностью доказано.

устроена достаточно сложно и, кажется, алгоритм не сработал. Тем не ме-

нее, шансы сохраняются. Действительно, требуется проверить неравенство cos12 x −1−x2 > 0, которое тождественными преобразованиями переводится

в неравенство tg2 x−x2 > 0, а оно на рассматриваемом отрезке равносильно неравенству tg x > x. Для доказательства неравенства g(x) = tg x − x > 0

Важным элементом описания функции являются точки экстремумов.

Определение 3.7 Точка x0

f(x), если в некоторой окрестности этой точки V = (x0−ε, x0+ε) выполнено неравенство f(x) 6 f(x0) ïðè x V .

Эта ситуация обозначается так: f(x0) = max f(x).

Аналогично определяется точка минимума. В этом случае пишут f(x0) = min f(x). Точки максимума и минимума объединены общим названием точки экстремума.

54

Как и в случае монотонности, можно говорить о строгих экстремумах. Например, x0 точка строгого максимума, если f(x) < f(x0) ïðè x V ,

x 6= x0.

Доказательство. Из определения экстремума следует, что можно выбрать достаточно малый отрезок (c, d) [a, b], x0 (c, d) такой, что в f(x0)

наибольшее (или наименьшее) значение функции на отрезке (c, d). Следовательно, по теореме Ферма f0(x0) = 0.

Условие теоремы не является достаточным. У функции f(x) = x3 f0(0) = 0, но функция является возрастающей и не имеет экстремумов.

Тем не менее точки, где производная обращается в ноль, очень важны для исследования функций и имеют собственное название.

Определение 3.8 Точки, в которых производная функции обращается в ноль, называют стационарными.

В терминах первой производной можно сформулировать и достаточное условие.

Теорема 3.13 (первое достаточное условие экстремума). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема во всех точ-

ках отрезка, за возможным исключением точки x0 (a, b), и существует ε > 0 такое, что f0(x) > 0 ïðè x (x0 −ε, x0), f0(x) < 0 ïðè x (x0, x0 + ε),

òî x0 точка максимума.

Доказательство теоремы сводится к простому анализу определений, и мы его опускаем. Ниже будет приведен второй достаточный признак, более удобный в применении.

(поиск стационарных точек):

1) f(x) = x(x2 − 1), f0(x) = 3x2 − 1 здесь легко проверить условия

минимума;

2) f(x) = sinx x, x 6= 0, f(0) = 1. Эта функция имеет максимум в нуле, что легко проверяется по достаточному признаку. Если положить f0(0) = 0,

то производная будет непрерывной на всей прямой;

55

3) f(x) = e−1/|x|, x 6= 0, f(0) = 1. Эта функция тоже имеет максимум в

нуле (проверяется по достаточному признаку). Однако производной в нуле не существует, и оговорки в условии теоремы оказываются существенными; 4) продолжим рассмотрение циклоиды (пример 3.14). Параметриче- ская кривая x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) описывает движение фикси-

рованной точки, расположенной на окружности, катящейся по прямой. В

точках, отвечающих t = (2n + 1)π, производная обращается в 0, а в точ- ках, отвечающих t = 2nπ, производная обращается в бесконечность. Доста-

точный признак показывает, что в первой серии точек функция достигает максимальных значений, а во втором минимальных;

5) в примере 3.11 были вычислены производные неявной функции

Теорема о неявной функции позволяет рассматривать неявную функцию y = y(x) при всех значениях x, для которых существует y такое, что

по y обращается в ноль. Анализ производной показывает, что экстремумы

1

неявной функции могут появляться только при x = 0, x = ±√2 . Èç уравнения получаем соответствующие точки на кривой

Теорема о достаточном условии экстремума гарантирует, что первые три точки это точки максимумов, а вторая тройка это точки минимумов.

Аналогичным образом можно рассмотреть ”обратную“ неявную функцию x = x(y). При этом выясняется, что плохие точки для функции y = y(x)

оказываются точками экстремума для функции x = x(y) и наоборот. Ана-

лиз может показаться противоречивым (в одной точке функции принимают по два значения), но противоречия здесь нет. Теорема о неявной функции

56

гарантирует существование явной функции только в некоторой окрестности

точки на кривой;

6) декартов лист x3 + y3 = 3axy. Для исследования на экстремум

этой кривой мы используем параметрические выражения для нее самой и ее производных, полученные в примере 3.15:

Проанализируем все точки, где одна из производных обращается в ноль: t = 0 x = 0, y = 0, x0 = ∞, y0 = 0, минимум по x,

Заключения об экстремумах можно получить из теоремы о достаточном условии экстремума, но, как будет показано далее, это легко следует из анализа второй производной. Это связано с тем, что вторая производная отвечает за выпуклость.

Определение 3.9 Кривая, определяемая графиком дифференцируемой функции y = f(x) называется выпуклой вниз, если в каждой точке

ее график лежит выше касательной. Аналогичным образом определяется выпуклость вверх (график ниже касательной).

Иногда эту же ситуацию описывают словами ”выпуклая функция“ è ”вогнутая функция“. Все эти термины используются не так часто и, чтобы не путаться в терминах, удобно сравнивать поведение исследуемой функции

с ”эталонными“ функциями y = x2 è y = −x2. Более того, опыт работы с неявными функциями показывает, что терминов ”вверх“, ”âíèç“ (”âû- пукла“, ”вогнута“) недостаточно. В точках, где касательная вертикальна, придется говорить: график лежит справа (слева) от касательной. Как по-

казывает следующая теорема, вторая производная позволяет смотреть на свойство выпуклости локально, что значительно расширяет возможности его применения.

Теорема 3.14 (достаточное условие выпуклости). Если функция y = f(x) имеет в окрестности точки x0 непрерывную вторую производную,

57

è f(2)(x0) > 0, то график функции является выпуклым вниз в этой точке. (Если f(2)(x0) < 0, то график функции в этой точке выпуклый вверх.)

Доказательство. Разложим функцию по формуле Тейлора

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + f(2)(x0)(x − x0)2 + o((x − x0)2).

По условию, график лежит выше касательной, что равносильно неравенству f(x) − (f(x0) + f0(x0)(x − x0)) > 0 èëè f(2)(x0)(x − x0)2 + o((x − x20)) > 0.

Последнее неравенство верно, так как f(2)(x0) > 0, и по определению бесконечно малой найдется окрестность x0, ãäå f(2)(x0)(x − x0)2 > o((x − x0)2).

Как правило, график функции находится по одну сторону от касательной. Точки, где это условие нарушено, очень важны для анализа поведения функции.

Определение 3.10 Точка называется точкой перегиба, если в любой ее окрестности существуют точки на графике, лежащие по разные стороны от касательной.

”Сокращенная“ формулировка: в точке перегиба касательная пересекает график.

Наглядное представление точек перегиба дают графики функций y = x3, y = x3 + x в окрестности точки ноль. Необходимое условие появле-

ния точек перегиба вытекает из предыдущей теоремы.

Следствие 3.8 Если функция y = f(x) имеет в окрестности точки

x0 непрерывную вторую производную и эта точка является точкой перегиба,

òî f(2)(x0) = 0.

Условие выпуклости позволяет сформулировать удобное для проверки достаточное условие экстремума.

Теорема 3.15 (второе достаточное условие экстремума). Если функция f(x) дважды дифференцируема на отрезке [a, b], x0 [a, b],

f0(x0) = 0 è f(2)(x0) > 0, òî x0 точка минимума. (Если f(2)(x0) < 0, òî x0 точка максимума.)

Доказательство прямо следует из определений: график выше касательной, касательная горизонтальна.

Пример 3.26 (обработка результатов наблюдений) Допустим, проведено n измерений величины x, которые дали значения a1, a2, . . . , an,

содержащие погрешности измерения. ”Наиболее вероятным“ значением x считается то, для которого сумма квадратов отклонений наимень-

шая, т. е. для нахождения x надо найти наименьшее значение функции f(x) = (x − a1)2 + (x − a2)2 + . . . + (x − an)2. Вычислим производные этой

58

функции:

f0(x) = 2(x − a1) + 2(x − a2) + . . . + 2(x − an), f(2)(x) = 2n > 0.

Можно утверждать, что во всех стационарных точках функция имеет ми-

стационарной точкой, и в этой точке достигается наименьше значение. Упражнение 3.2 (построение графиков): 1) график циклоиды

x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t). В примерах 3.14 и 3.20 вычислены первая и вторая производные:

В примере 3.25(4) показано, что при t = 0 функция имеет минимум, причем

при подходе к этой точке касательная стремится занять вертикальное положение, при t = π функция достигает максимума, касательная в этой точке

горизонтальна. Вторая производная такова, что функция всюду выпукла

вверх. Остается заметить, что функция периодична, и построить график; 2) график x2 + y2 = x4 + y4. Заметим, что кривая симметрична отно-

сительно начала координат: если точка (x, y) лежит на кривой, то и точка (−x, −y) лежит на кривой. Более того, кривая симметрична относительно обеих осей и биссектрис: если точка (x, y) лежит на кривой, то и точки (±x, ±y), (±y, ±x) лежат на кривой. Следовательно, достаточно построить

кривую в угле 0 6 x 6 y. На левом краю угла при x = 0 y = 1, далее p √

лее функция убывает и выходит из угла при x = 1, y = 1. Теперь легко

нарисовать полученную кривую и далее воспользоваться отмеченной симметрией кривой, чтобы получить ее график. Остается заметить, что точка x = 0, y = 0 тоже удовлетворяет уравнению.

Чтобы нарисовать декартов лист (множество точек, удовлетворяющих уравнению x3 + y3 = 3axy), надо сделать еще один шаг подготовки. Дело в

том, что при t → −1 кривая уходит на бесконечность, и желательно уточ-

нить, как это происходит. Такая возможность есть, но для этого потребуется еще одно определение.

Определение 3.11 Говорят, что график функции y = f(x) имеет

59