Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Калужский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана (Национальный Исследовательский Университет)» (КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана)

ФАКУЛЬТЕТ	М-КФ «Машиностроительный»
КАФЕДРА	М10-КФ «Высшая математика»

ДОМАШНЯЯ РАБОТА №2

Вариант 19

ДИСЦИПЛИНА:	"Функции комплексной переменой"
ТЕМА:	"Функции комплексной переменой"

Выполнил: студент гр. ИУК1-31Б	_ ______________(Прудников А. Ф.) Подпись Ф.И.О.
Проверил:	_______________(Беляев В. А. ) Подпись Ф.И.О.

Дата сдачи (защиты):
Результаты сдачи (защиты): -Балльная оценка -Оценка

Калуга, 2020 г.

Задача №1

Найдите круг и радиус сходимости степенного ряда , исследуйте сходимость ряда в точках .

Решение:

Рассмотрим ряд модулей членов данного ряда, т.е. ряд .

К последнему ряду применим теорему Коши.

Имеем .

– круг сходимости степенного ряда с центром в точке и радиусом .

В точке ряд расходится, т.к. точка лежит вне круга сходимости.

В точке ряд расходится, т.к. точка лежит вне круга сходимости.

В точке ряд расходится, т.к. точка лежит вне круга сходимости

Задача №2

Найдите круг и радиус сходимости степенного ряда , исследуйте сходимость ряда в точках .

Решение:

Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т.е. ряд .

К последнему ряду применим признак Даламбера. Для этого найдём предел .

Следовательно данный ряд сходится абсолютно в каждой точки комплексной плоскости,

Задача №3

Дана функция . Выделить действительную и мнимую части функции и проверить выполнение условия Коши-Римана. Если возможно, то найти производную данной функции.

Решение:

Функции и вместе с частными производными первого порядка непрерывны во всей комплексной плоскости.

Условия Коши-Римана , выполняются во всей комплексной плоскости.

Поэтому данная функция дифференцируема в каждой точке комплексной плоскости. Производную функции можно найти по формуле:

Имеем:

Задача №4

Решить дифуравнение , операционным методом.

Решение:

Пусть , тогда , .

Переходим к оригиналу:

.

Проверка:

Теперь подставим в исходное уравнение.

Получили тождество, решение найдено верною.

Ответ: .