дз1фкп

Задание №1

Изменить порядок интегрирования:

Решение:

Построим графики функций, указанные в пределах внутреннего интеграла. Тогда они будут пересекаться в точках со следующими координатами:

Выразим x подставив :

Т.о. графики пересекаются в точках и , но т.к. область D по y ограничена в отрезке , то точка пересечения О будет иметь координаты .

Т.к. нам нужно сделать внешнем интеграл по dx, то проведем прямую параллельную оси ординат, пересекающую оба графика. Сначала она пересечёт график функции , потом . Сама область D разбивается на две части: и . Изменим порядок интегрирования:

Ответ: .

Задание №2

Вычислить объём тела ограниченного поверхностями:

Решение:

Построим графики плоскостей. На нём видно, что снизу тело ограничено снизу , а сверху .

Спроецируем эти поверхности на плоскость XOY.

Формула нахождения объёма:

Запишем эту формулу сразу в полярной системе координат с помощью формул:

И т.к. область D разбита на две части получим:

Подведем под дифференциал, получим и найдём внутренний интеграл. Также сразу вычислим внешний интеграл, потому что пределы внутреннего не содержат функций с аргументом :

Ответ:

Задание №3

Вычислить площадь числа поверхности (а), вырезанной поверхностями

Решение:

Начертим графики заданных функций. Поверхность (а) – параболоид, а остальные – плоскости параллельные плоскости XOY. Спроецировав получившиеся кривые на плоскость XOY получим две окружности с радиусами r=1 и R=2. Область D находится между этими окружностями.

Формула нахождения площади:

;

Найдём и и подставим в формулу, а так же перейдём к полярной системе:

; ;

Т.к. пределы внутреннего интеграла не содержат функций с пределом . Подведем выражение под знак дифференциала и выразим . Получим . Подставим в выражение и получим:

Ответ: .

Задание №4

1. Проверить зависит ли криволинейный интеграл от пути интегрирования.

2. Вычислить криволинейный интеграл.

Решение:

1. Вычислим и :

– тождество неверно, а значит криволинейный интеграл зависит от пути интегрирования

2. Начертим график заданных кривых. Видно x меняется на отрезке , а y на отрезке .

Т.к. интеграл зависит от пути интегрирования, то нам нужно воспользоваться Формулой Грина:

Подставим и в данную формулу:

Ответ: зависит от пути интегрирования; -2.