Добавил:

Bbolzhedor ghsts1231@gmail.com студент кф мгту им. Баумана теперь снова без стипендии(( Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Калужский филиал Московского государственногой технического университета им. H.Э. Баумана

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

ДЗ1

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2021

Размер:

477.51 Кб

Скачать

☆

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Калужский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

(Национальный Исследовательский Университет)»

(КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана)

ФАКУЛЬТЕТ	М-КФ «Машиностроительный»
КАФЕДРА	М10-КФ «Высшая математика»

ДОМАШНЯЯ РАБОТА №1

ДИСЦИПЛИНА:	«Теория вероятностей и математическая статистика»
ТЕМА:	«Основные понятия теории вероятностей»

Выполнил: студент гр. ИУК1-41Б

_______________(Прудников А.Ф.)

Подпись Ф.И.О.

Проверил:

_______________(Савотин А.И.)

Подпись Ф.И.О.

Дата сдачи (защиты):

Результаты сдачи (защиты):

-Балльная оценка

-Оценка

Калуга, 2021 г.

Задание №1

Вероятность того, что выстрел попадет в цель, равна p=0,66. Сколько нужно сделать выстрелов, чтобы вероятность хотя бы одного попадания была больше заданного значения δ=0,99.

Решение:

- выстрел попадает в цель

– одно попадание при n выстрелах.

Рассмотрим: – ни одного попадания в цель при всех выстрелах

Тогда , где q=1-p.

, т.е. . Отсюда

Умножим на -1 и выразим .

Подберём n:

Отсюда получаем ответ, что нужно сделать 5 выстрелов, чтобы вероятность хотя бы одного попадания была больше заданного значения δ=0,99.

Ответ: 5.

Задание №2

На некоторое обслуживающее устройство поступают две заявки. Каждая может поступить любой момент времени в течении T=150 минут. Время обслуживания заявки минут, второй минут. При поступлении заявки на занятое устройство она не принимается. При поступлении заявки даже в последний момент времени T, она обслуживается. Найти вероятность того, что:

А) Обе заявки будут обслужены

Б) Будет обслужена ровно одна заявка

Решение:

А – обе заявки будут обслужены

В – всего одна заявка будет обслужена

Так как на устройство не может не поступить ни одной заявки, то исходы А и В являются противоположными, значит В можно будет найти из выражения .

Рисунок 1

Множество благоприятных исходов А закрашено синим цветом и представляет собой объединение двух треугольников

При это треугольник ;

Площадь области А равна сумме площадей этих двух треугольников:

Найдём вероятность события А:

Это и будет ответ на задание а).

Это ответ на задание б).

Ответ: а) ; б) .

Задание №3

Задана структурная схема надёжности, состоящая из пяти элементов. Событие – отказ i-того элемента за некоторый промежуток времени. Вероятности безотказной работы заданы: (при i=1, 3, 5) и (при i=2, 4). Все события независимы в совокупности. Событие состоит в безотказной работе всех всей системы за рассмотренный промежуток времени. Требуется:

А) выразить событие через или (i=1, 2, 3, 4, 5);

Б) найти вероятность безотказной работы системы.

Решение:

Рисунок 2

А)

Рисунок 3 – Область А

Область В состоит из элементов и и т.к. элементы соединены параллельно, то её вероятность безопасной работы будет следующей:

Рисунок 4 – Область С

Область С состоит из элементов

и т.к. элементы соединены последовательно, то её вероятность безопасной работы будет следующей:

Рисунок 5 - Область D

Область D состоит из элементов и и т.к. элементы соединены параллельно, то её вероятность безопасной работы будет следующей:

Рисунок 6 - Область А

Область A состоит из элементов и и т.к. элементы соединены последовательно, то её вероятность безопасной работы будет следующей:

Раскроем все буквенные значения и таким выразим через :

Б) При вычислении будем пользоваться независимостью событий :

;

Ответ: А) ; Б) .

Задание №4

Из партии, содержащей изделий, среди которых – высшего сорта, для контроля выбирают наугад изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий ровно изделий высшего сорта, при условии, что выборка производится

А) с возвращением (выбранное изделие после проверки возвращается обратно в партию);

Б) без возвращения (выбранное изделие в партию не возвращается);

Решение:

А) Для нахождения события воспользуемся формулой Бернулли:

В нашем случае независимое число испытаний – , а количество наступления события А - . Найдём вероятность попадания изделия высшего сорта из всех изделий и обратную ей величину q:

Вычислим :

Подставим все полученные значения в начальную формулу:

Б) ,

Подставим в начальное уравнение:

Ответ: а) б)

Задание №5

Вероятность успешной сдачи экзамена на получение водительских прав равна . Найдите вероятность того, что в группе претендентов экзамен сдадут не менее человек.

Решение:

Требуется найти вероятность того, что из 140 человек сдадут . Вероятность высчитаем из интегрального приближенного уравнения Лапаса:

Где , а . Найдём и по формуле:

Где .

Т.к. функция Лапласа чётная, то . будем искать в таблице значений функции Лапласа. Т.о. . в таблице отсутствует, поэтому вычислим её:

Подставим получившиеся выражения в начальное уравнение:

Ответ:

Задание №6

В отдел технического контроля поступает партия, содержащая изделий, среди которых имеются бракованных. Контролёр для контроля отбирает 3 изделия, при этом в бракованном изделии он обнаруживает брак с вероятностью . Партия бракуется, если среди трёх отобранных для проверки обнаружится хотя бы одно бракованное изделие. Найти вероятность того, что данная партия изделий будет забракована.