Функции / Линии второго порядка / Линии второго порядка.Построение

Линии второго порядка

Все кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола в некоторой системе координат могут быть записаны с помощью уравнения

, причем 

Если при этом:

1. , то уравнение задает окружность;

2.  – уравнение определяет эллипс;

3.   – уравнение определяет гиперболу;

4.  , то линия является параболой.

В практических задачах встречается параллельный перенос эллипса:

Уравнение     задаёт эллипс с большой полуосью «а», малой полуосью «в» и центром симметрии в точке   .

Изобразим на чертеже эллипс  .

Согласно формуле:  , то есть наш подопытный эллипс «переехал» в точку  : Значения    остались прежними, а вот фокусы, разумеется, мигрировали, и формулы их координат придётся находить с поправкой на соответствующие сдвиги:

Здесь всё обходится значительно проще, чем при повороте, и если по условию не нужно приводить уравнение к каноническому виду, то лично я предпочту оставить его в виде   .

Что делать, если нужно приводить?

«Чайникам» в большинстве случаев простят фразу: «Осуществим параллельный перенос эллипса в начало координат и перепишем уравнение   в каноническом виде:   ».

Но академический подход предполагает параллельный перенос не самой фигуры, а системы координат!

Поэтому людям, изучающим высшую математику по профилю и/или углублённо, гораздо лучше завернуть примерно следующее: «С помощью параллельного переноса исходной системы координат перейдём к новой прямоугольной системе координат   

с началом в точке    и запишем уравнение эллипса в каноническом виде   ».

Задание. Определить тип линии и построить  

Преобразуем выражение , выделив полные квадраты.

 

Уравнение   задаёт окружность радиуса   

с центром в точке  .

Таким образом, в практических задачах часто предварительно нужно выполнить обратное действие – выделить полные квадраты. Данный приём подробно разобран на уроках о геометрических преобразованиях графиков и интегрировании дробей. Хотя следующий простой пример не должен вызвать у вас затруднений даже без отработки данного метода:

Задание. Записать каноническое уравнение гиперболы (x-5)² + y² = 5(x-1)².

Решение. Преобразуем уравнение к каноническому виду.

х² - 10х + 25 + у² = 5х² - 10х + 5, получим: 4х² - у² = 20.

Разделим обе части уравнения на 20:

Это каноническое уравнение гиперболы. Из него видно, что действительная полуось равна а= , а мнимая b= .