Функции / Предел и непрерывность / Правило Лопиталя

Теорема (правило Лопиталя).

Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения производных этих функций (конечному или бесконечному).

(1)

Если функция f(x) и φ(x) при х → х₀ являются бесконечно малыми, то предел в левой части равенства (1) является неопределенностью вида:

.

Если функция f(x) и φ(x) при х → х₀ являются бесконечно большими, то предел в левой части равенства (1) является неопределенностью вида:

.

Данные неопределенности можно устранить, если от отношения функций f(x)/φ(x) при вычислении предела в соответствии с (1) перейти к отношению производных этих функций .

Пример 1.

Вычислить предел:

.

Решение. Данный предел приводится к первому замечательному пределу:

.

Вычислим данный предел, используя правило Лопиталя. Для этого найдем производные числителя и знаменателя дроби.

(sin ax)' = a cos ax

(x)' = 1.

В соответствии с формулой (1) запишем:

.

В некоторых случаях при переходе от отношения функций f(x)/φ(x) к отношению производных устранить неопределенность не удается. В этом случае правило Лопиталя можно записать в виде:

(2)

где f^(k)(x) и φ^(k)(x) производные k-того порядка от функций f(x) и φ(x). То есть для снятия неопределенности вида или иногда необходимо k раз продифференцировать числитель и знаменатель дроби.

Пример 2.

Вычислить предел .

Решение. При х → ∞ числитель х и знаменатель е^х дроби являются бесконечно большими величинами. Мы получаем неопределенность вида .

Для снятия данной неопределенности нужно продифференцировать числитель и знаменатель дроби три раза:

По формуле (2) записываем:

.

Следует обратить внимание, что при применении правила Лопиталя (1) и (2) берется отношение производных, а не производная отношения.

Пример 3.

Решение.Вычислим предел при х → +∞:

.