Вектора / 3. Векторная алгебра Скалярное произведение векторов

Векторная алгебра Часть 3

Скалярное произведение векторов.

24. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначается символом . Если обозначить угол между векторами и через , для скалярного произведения будем иметь

=

25. Пусть даны векторы и в пространстве с координатами

Скалярное произведение векторов в пространстве и в координатной форме равно сумме произведений их соответствующих координат

26. Угол φ между векторами и определяется по формуле:

В знаменателе дроби стоит произведение длин векторов и , а в числителе дроби - скалярное произведение этих векторов.

27. Скалярное произведение векторов на плоскости

(х₁; у₁) и (х₂; у₂) в координатной форме равно сумме произведений их соответствующих координат

28. Из формулы = можно выразить скалярное произведение двух векторов и иначе - это произведение модуля одного из них на проекцию второго на направление первого вектора (см. рисунок):

откуда .

29. Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, так как в этом случае .

30. Скалярное произведение имеет свойства, аналогичные свойствам произведений чисел:

Свойства:

1. (переместительное свойство);

2. (α ) = α( ) (сочетательное свойство относительно числового множителя α);

3. ( + ) = + (распределительное свойство относительно суммы векторов);

4. > 0, если - ненулевой вектор, и = 0, если - нулевой вектор.

5. Скалярный квадрат вектора .

6. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух ненулевых векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Достаточность:

Пусть вектора и ортогональны, φ - угол между ними равен 90 градусов. Тогда cos φ = 0 и в силу определения скалярное произведение равно 0.

Необходимость:

Так как и ненулевые вектора, то тогда из равенства = 0 и из определения следует, что cos φ = 0, т. е. векторы и ортогональны, т.к. угол между векторами должен в этом случае равняться 90⁰.

31. Если векторы и заданы проекциями на координатные оси

, то их скалярное произведение вычисляется по формуле

а косинус угла между этими векторами определяется по формуле

Если векторы и перпендикулярны (ортогональны), то их скалярное произведение равно нулю, и тогда

a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = 0

или

32. Если углы, образуемые вектором с координатными осями, обозначить через , а углы, образуемые вектором с координатными осями, - через , то косинус угла между векторами и определяется по формуле

Задача 1. Даны два вектора и . Найти скалярное произведение этих векторов.

Решение: (2; 3; -4) и (-3; 2; 5), = 2*(-3) + 3* 2 — 4*5= -20

Задача 2. При каких значениях α и β вектор перпендикулярен вектору , если ?

Решение. Так как , то по формуле длины (модуля) вектора =3;

( ) ² = 3 ², Находим β ² =9 -4 -1 откуда β = ±2.

Векторы и перпендикулярны, тогда, когда ,

при и произведение должно быть равным нулю

3·2 + (-1)·β +α·1 = 0; откуда α= β - 6.

1) при β = 2, имеем α = 2 - 6 = -4;

2) при β = -2, имеем α = -2 - 6 = -8.

Ответ: 1) (3; -1; -4) и (2; 2; 1) взаимно перпендикулярны.

Проверка: = 3*2 -1*2 -4*1 =0

2) (3; -1; -8) и (2; -2; 1) взаимно перпендикулярны.

Проверка 3*2- 1*(-2) - 8*1 =0

Задача 3. Коммерческий банк, участвующий в строительстве

многоэтажных автомобильных стоянок в Калининграде, предпринял

усилия для получения кредитов в трех коммерческий банках: «ВТБ»,

«Альфа-банк», «Сбербанк». Каждый из них предоставил кредиты

в размерах соответственно 20, 30 и 40 млрд. руб. под годовую ставку

40, 25 и 30 %.

Решение. В данном примере речь идет о двух векторах:

трехмерном векторе кредитов (20; 30; 40)

и векторе процентных ставок (40; 25; 30).

Используя простой расчет, управляющий коммерческим банком

может определить, сколько придется платить по истечении года на

кредиты, взятые у трех банков, применяя скалярное произведение.

В конце года банку ВТБ придется вернуть 20 млрд. руб и еще и 40% от этой суммы (20 + 20* 0,4 =20(1 + 0,4) = 20 *1,4= 28).

Аналогично и другим банкам.

Вектор заменяем на вектор (1,40; 1, 25; 1,30).

Выплатить по кредиту надо:

=20 *1, 40 + 30 *1,25 + 40 *1,30 = 28 +37,5 + 52 =117, 5 млрд. р