11._._3_

Пример. Найти множество внутренней устойчивости для графа.(Алгоритм)

Шаг 1. Ориентированный граф и его матрица смежности

Шаг 2. Строим парные дизъюнкты по единицам матрицы смежности.

(A v B)(A v D)(B v E)(C v D)

Шаг 3. Приводим к ДНФ

(A v B)(A v D)(B v E)(C v D)=(A v BD)(BC v EC v BD v ED)= ABC v AEC v ABD v AED v BCD v BDEC v BD v BDE=ABC v ACE v ADE v BD

Шаг 4. Для каждой конъюнкции выписываем недостающие вершины.

{D,E},{B,D},{B,C},{A,C,E}

Пример. Найти множество внешней устойчивости графа. (Алгоритм)

Шаг 1 и 2. Матрица смежности графа, по диагонали 1.

Шаг 3. Выписываем дизъюнкты по единицам и получаем ДНФ.

(A v B v D)(B v E)(C v D)DE=ABCDE v ABDE v ACDE v ADE v BCDE v BDE v BCDE v BDE v DBCE v DBE v DEC v DE = DE

{D,E} – множество внешней устойчивости, вершины A,B,C имеют дуги в Е и D.

В данном графе {D,E} - ядро

Найдём для этого же графа множество внутренней устойчивости

Шаг 1. Матрица смежности (убрали 1 по диагонали)

Шаг 2 и 3. Строим парные дизъюнкты по единицам матрицы смежности.

(A v B)(A v D)(B v E)(C v D) = ABC v ABD v ACE v AED v ADBC v ADB v ADEC v ADE v ABC v BD v BCE v BED v DBC v DB v BDEC v BDE= ACE v ADE v ABC v BD

Шаг 4. Для каждой конъюнкции выписываем недостающие вершины.

{B,D},{B,C},{D,E},{A,C,E}

Мы доказали, что D,E - ядро графа.

Пример 20.

1.Найдем множества внутренней устойчивости:

(1v3)(1v4)(2v4)(2v5)(3v5)

Перейдем к ДНФ

123v125v145v234v345

Для каждой конъюнкции выписываем недостающие вершины, образующие множества внутренней устойчивости.

{4,5},{3,4},{2,3},{1,5},{1,2}

Наибольшее из них – число внутренней устойчивости.

2.Найдем множества внешней устойчивости:

(1v3)(2v4)(3v5)(1v4)(2v5)

Перейдем к ДНФ

123v125v145v234v345

{1,2,3}{1,2,5},{1,4,5},{2,3,4},{3,4,5}

Наименьшее из них – число внешней устойчивости

Пример 28. Используя метод Магу, определить максимально внутренне устойчивые, а также минимально внешне устойчивые множества вершин орграфов и найти их ядра.

1.Найдем множества внутренней устойчивости:

(1v2)(1v3)(2v3)(3v4)

Перейдем к ДНФ

13v23v124

Для каждой конъюнкции выписываем недостающие вершины, образующие множества внутренней устойчивости.

{2,4},{1,4},{3}

Наибольшее из них – число внутренней устойчивости.

2.Найдем множества внешней устойчивости:

(1v2v3)(2)(2v3v4)(3v4)

Перейдем к ДНФ

23v24

Множества внешней устойчивости:

{2,3},{2,4}

Наименьшее из них – число внешней устойчивости

{2,4} - ядро графа.

Построим булеву матрицу графа

Найдем множества внутренней устойчивости:

1. Ф_s=(a v b)(a v e)(a v f)(b v c)(b v d)(d v e)(e v f)(f v g)(g v h)(h v d)(h v f)=1

2. (a v ab v ae v be)(a v f)(b v bc v bd v cd)(de v e v df v ef)(fg v g v fh v gh)(h v dh v hf v df)=1

3. (a v be)(a v f)(b v cd)( e v df)(g v fh)(h v df)=1

4. (a v abe v af v bef)(be v cde v bdf v cdf)(gh v fh v gdf v dfh)=1

5. (a v bef)(be v cde v bdf v cdf)( gh v fh v gdf)=1

!!! + = v

6. abegh + acdegh + abdfgh + acdfgh + abefh + acdefh + abdfh+ acdfh + abedfg + acdefg + abdfg + acdfg + befgh + befcdgh + befdgh + befcdgh + befh + befcdh + befdh + befcdh + bdefg + bdefcdg + bdefdg + bcdefdg= abegh + acdegh+ acdfh+ acdfg+ abdfh+ abdfg + befh + bdefg=1

7. Ф_s= abegh + acdegh+ acdfh+ acdfg+ abdfh+ abdfg + befh + bdefg=1

Для каждой конъюнкции выписываем недостающие вершины, образующие множества внутренней устойчивости.

Таким образом, граф обладает восемью максимальными внутренне устойчивыми подмножествами:

{C,D,F},{B,F},{B,E,G},{B,E,H},{C,E,G},{C,E,H},{A,C,D,G},{A,C,H}.

Наибольшее из них – число внутренней устойчивости.(4)

Найдем множества внешней устойчивости:

(A v B v E v F)(A v B v C v D)C(D v E)(D v E v F)(E v F v G)(G v H)(D v F v H)=

=(A v B v CE v DE v CF v DF)C(D v E)(EH v FH v G)=( A v B v CE v DE v CF v DF)C(DFH v DG v EH v EG)= ACDFH+BCDFH+CDEFH+CDEFH+CDFH+CDFH+ACDG+BCDG+CDEG+CDEG+CDFG+CDFG+ACEH+BCEH+CEH+CDEH+CFEH+CDFEH+ACEG+BCEG+CEG+CDEG+CFEG+CDFEG

= CDFH+ACDG+BCDG + CDFG+ CEH + CEG

ДНФ:

Ф_s= CDFH+ACDG+BCDG + CDFG+ CEH + CEG=1

Множества внешней устойчивости:

{C,D,F,H}, {A,C,D,G}, {B,C,D,G}, {C,D,F,G}, {C,E,H}, {C,E,G}

{A,C,D,G},{C,E,H}, {C,E,G} – ядра графа.

Пример раскраски графа по алгоритму Магу-Вейсмана.

С помощью алгоритма Магу—Вейсмана выполнить правильную раскраску вершин графа с минимальным количеством цветов.

Начальный граф:

Скелет графа: Убрали повторяющиеся ребра

Раскраска графа

Шаг 1. Построить матрицу инцидентности графа G.

Шаг 2. Выписать дизъюнкты по единицам для столбцов матрицы и получить ДНФ.

P=(x1+x2)(x1+x3)(x2+x3)(x2+x4)(x3+x5)(x5+x6)(x5+x7)(x6+x7)(x6+x8)(x7+x8) (x1+x8) = (x1+x2x3x8)(x2+x3x4)(x5+x3x6x7)(x6+x7x8)(x7+x8)=

=(x1x2+x1x3x4+x2x3x8+x2x3x4x8)(x5x6+x3x6x7+x5x7x8+x3x6x7x8)(x7+x8)=

=(x1x2+x1x3x4+x2x3x8)(x5x6+x3x6x7+x5x7x8)(x7+x8)=

=(x1x2+x1x3x4+x2x3x8)(x5x6x7+x3x6x7+x5x7x8+x5x6x8+x3x6x7x8+x5x7x8)=

=(x1x2+x1x3x4+x2x3x8)(x5x6x7+x3x6x7+x5x7x8+x5x6x8)=

=(12567+134567+235678+12367+13467+23678+12578+134578+23578+12468+134568+23568)=

=(x1x2x5x6x7+x1x2x3x6x7+x1x3x4x6x7+x2x3x6x7x8+x1x2x5x7x8

+x1x3x4x5x7x8 +x2x3x5x7x8+x1x2x4x6x8+x1x3x4x5x6x8+x2x3x5x6x8)

Шаг 3. Для каждой конъюнкции выписать недостающие вершины до полной системы образующих.

x3x4x8, x4x5x8, x2x5x8, x1x4x5, x3x4x6, x2x6, x1x4x6, x3x5x7, x2x7, x1x4x7

Получили полный обзор всех максимальных пустых подграфов графа G. Шаг 4. Упорядочить полученные множества вершин в порядке убывания их кардинальных чисел. (количество элементов множества)

x3x4x8, x4x5x8, x2x5x8, x1x4x5, x3x4x6, x1x4x6, x3x5x7, x1x4x7, x2x6, x2x7

Определяем хроматическое число γ(G) графа G.

Шаг 5.

1. Припишем вершинам первого множества x3x4x8 цвет «1». Удалим раскрашенные вершины из всех множеств и оставшиеся множества упорядочим в порядке убывания их мощности.

x2x5, x1x5, x1x6, x5x7, x1x7, x2x6, x2x7, x5, x6

2. Припишем вершинам второго множества x2x5 цвет «2». Удалим раскрашенные вершины из всех множеств и оставшиеся множества упорядочим в порядке убывания их мощности.

x1x6, x1x7, x7, x6, x1

3. Припишем вершинам третьего множества x1x6 цвет «3». Удалим раскрашенные вершины из всех множеств и оставшиеся множества упорядочим в порядке убывания их мощности.

x7

4. Припишем вершинам четвертого множества x7 цвет «4». Удалим раскрашенные вершины из всех множеств и оставшиеся множества упорядочим в порядке убывания их мощности.

Осталось пустое множество.

Всё. Хроматическое число графа: